# 代數導論二 - Lattice Isomorphism Theorem

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## Lattice Isomorphism Theorem

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假定 $R$ 是一個 *ring*，$I$ 是一個 $R$ 中的 *ideal*。若令 $\mathcal H$ 為 $R$ 中所有包含 $I$ 的 *subring* 的搜集，$\bar{\mathcal H}$ 為 $(R/I)$ 中所有 *subring* 的搜集：

$$
\begin{align}
\mathcal S &= \{H \subseteq R\mid H \text{ is a subring and }I \subseteq H \}
\newline
\mathscr S &= \{H' \subseteq R/I \mid H' \text{ a subring of }R/I\}
\end{align}
$$

則

1. 以下的映射是一個雙射：

$$
\boxed{\begin{align}
\Phi : \mathcal S &\to \mathscr S
\newline
H &\to H/I
\end{align}}
$$

2. 更進一步：

$$
\boxed{\begin{align}
&H \text{ is an ideal in }R
\newline
& \iff H/I \text{ is an ideal in } R/I
\end{align}}
$$

:::

### 證明：$\Phi$ 是 Surjective

給一個 $H/I$ 中的 *subring*，$\bar A$，目標是要找到一個 $R$ 中包含 $I$ 的 *subring* $A$，使得 $A/I = \bar A$。這時候就找「$R$ 中所有做了 $r + I$ 之後會做出掉在 $\bar A$ 裡面的那些元素」：

$$
A = \{r \in R \mid r + I \in \bar A\}
$$

然後就猜 $S$ 是一個 *subring*。首先是 *subgroup test*：假定 $a_1, a_2 \in S$，問下面這個東西會不會掉到 $A$ 裡面。這也就是問下面這兩個東西是不是在 $\bar A$ 中：

$$
(a_1 - a_2) + I
$$

$$
(a_1a_2) + I
$$

第一個會，因為這個東西就是：

$$
\underbrace{(a_1 + I)}_{\in \bar A} + \underbrace{(-a_2 + I)}_{\in \bar A} \in \bar A
$$

第二個也是類似，因為 $I$ 是一個 *ideal*，$\bar A$ 是一個 *ring*，所以：

$$
(a_1a_2) + I = \underbrace{(a_1 + I)}_{\in \bar A}\underbrace{(a_2 + I)}_{\in \bar A} \in \bar A
$$

所以 $A$ 是一個包含 $I$ 的 *subring*。既然每一個 $\bar A$ 都找得到這樣的 $A$，所以就證明了是 *surjective*。

### 證明：Phi 是 Injective

因為他說要 *inclusion preserving*，所以就是要證明假定 $H', H$ 是兩個 $R$ 中的 *subring*，那麼就有：

$$
H'/I \subseteq H/I \Rightarrow H' \subseteq H
$$

這樣一來，假定 $H'/I = H/I$，這個意思是 $H'/I \subseteq H/I$ 且 $H'/I \subseteq H/I$，由上面的推論就有 $H' \subseteq H$ 且 $H \supseteq H'$。所以就證明完 *injection* 了。

隨便挑一個 $H'/I$ 中的元素 $(h' + I)$。假定他在 $(H/I)$ 中：

$$
h' + I \in H/I
$$

意思是：存在 $h\in H$，使得：

$$
\exists h \in H.h' + I = h + I
$$

換句話說：

$$
(h' - h) = i \quad \text{ for some }i \in I
$$

移項一下就會發現 $h'$ 也要在 $H$ 中：

$$
(h' - h) = i \in I \Rightarrow h' = h + i
$$

這是因為 $h \in H$，而且 $i \in I \subseteq H$ (前提)，所以 $i$ 也在 $H$ 裡面。因此：

$$
h' = h + i \in H
$$

### 證明：Phi 保持 Ideal

對於任意 $r \in R$，假定 $H$ 是一個 $R$ 中的 *ideal*，那麼隨便挑一個 $(R/I)$ 中的元素跟 $(H/I)$ 中的元素相乘時，就會有：

$$
(r + I)(h + I) = \underbrace{rh}_{\in H} + I \in H/I
$$

$$
(h + I)(r + I) = \underbrace{hr}_{\in H} + I \in H/I
$$

所以 $(H/I)$ 也是一個 $(R/I)$ 中的 *ideal*。

另外一方面，假定 $\bar H$ 是一個 $(R/I)$ 中的 *ideal*，前面的結論知道 $R$ 中存在一個包含 $I$ 的 *subgring* $H$，使得：

$$
H/I = \bar H
$$

因為 $\bar H$ 是個 *ideal*，所以對於任意 $(r + I)$，有：

$$
(r + I)(h + I) \in \bar H
$$

$$
(h + I)(r + I) \in \bar H
$$

但這就是在說：

$$
rh + I \in \bar H = H/I
$$

$$
hr + I \in \bar H = H/I
$$

所以就可以找到 $h', h'' \in H$，使得：

$$
rh + I = h' + I \Rightarrow (rh - h') \in I \subseteq H
$$

$$
hr + I = h'' + I \Rightarrow (hr - h'') \in I \subseteq H
$$

所以：

$$
rh = \underbrace{(rh - h')}_{\in H} + \underbrace{h'}_{\in H} \in H
$$

$$
hr = \underbrace{(hr - h'')}_{\in H} + \underbrace{h''}_{\in H} \in H
$$

因此 $H$ 也是個 *ideal*。