# 流體力學 Week 10 - Navier-Stokes Equation

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> 因為考完試後用了很多時間在檢討考卷，為了避免太零散所以兩週並一起～

>>(發完考卷)
>>蔡：「剛剛發考卷，也當作是熟悉大家名字...如果我有唸錯的話，記得跟我說一聲。」
>>蔡：「國外他們會很在意有沒有唸對名字，就算他們不太會念，也會盡力念。像我跟他們說：
>>
>>蔡： "My name is Shie-Chen Tsai"
>>外：『Shi*...Shi*...Shi*&$%?』
>>蔡："...You can just call me Chen."
>>
>>然後他們「蔡」的音也發不太出來：
>>
>>外：『賽...賽？』
>>
>>名字中有兩個字會被唸的很奇怪也是滿無奈的。我又不姓澄。
>>」

# Navier - Stokes and Euler Equation

這是一堆流體力學的 governing equation。首先要有以下一些假定：

## 假設

1. 流體本身是「等向性」的。
2. (Optional) 流體是不可壓縮流體。這樣子的話，表示表面力的張量可以寫成：
$$\sigma = -PI + \tau$$

其中：

$$\tau = 2\mu \dot{\epsilon}$$

不可壓縮流最主要是用在這個黏滯力的項。

## 推導

首先回顧一下 momentum equation

$$\rho(\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} + ( \vec{u{}} \cdot \nabla )\vec{u{}}) = \rho \vec{g{}} + \underbrace{\nabla\sigma}_{\nabla (-P) + \nabla(2\mu\dot{\epsilon})}$$

因為是不可壓縮流體，所以這裡密度就先提出來。

比較有問題的東西就是後面那個 $\sigma$ 的散度。因為不知道可以變成什麼樣子。所以這裡把爆開看看：

$$
\nabla \sigma = \nabla(-P) + \nabla(2\mu\dot{\epsilon})
$$

先講結論，上面這個東西會變成下面這坨東西：

$$
\nabla \sigma = \nabla(-P) + \mu\nabla ^ 2 \vec{u{}}
$$

主要是那個黏滯項的 Laplacian。這裡可以簡單這樣看：

首先，應變張量其實是：

$$\dot{\epsilon} = \frac {1}{2}(J + J^T)$$

其中 $J$ 是 Jacobian，就是微積分那個 Jacobian。為了方便把它寫出來：

$$
J =
\begin{bmatrix}
\frac {\partial u}{\partial x} &
\frac {\partial u}{\partial y} &
\frac {\partial u}{\partial z} \\
\frac {\partial v}{\partial x} &
\frac {\partial v}{\partial y} &
\frac {\partial v}{\partial z} \\
\frac {\partial w}{\partial x} &
\frac {\partial w}{\partial y} &
\frac {\partial w}{\partial z}
\end{bmatrix}
$$

然後很顯然對不可壓縮流而言：

$$\nabla J^T = 0$$

理由很簡單，因為張量的散度就是每一列取 divergent 得到的向量。現在把 $J^T$ 取張量散度，取完的++第幾個分量就是對 $J$ 的第幾「行」取 Divergent(因為是對轉置後的 $J$ 取) 。但是把偏微分提出來後，然後就可以發現連續方程式($\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$)跟你說每個算出來都是 0 ++。所以其實：

$$\nabla(2\mu\dot{\epsilon}) = \mu\nabla(J + J^T) = \mu \nabla J$$

然後再用張量散度的定義去做，就會發現那一坨東西是：

$$
\nabla(2\mu\dot{\epsilon}) = \mu\nabla J =
\mu\begin{bmatrix}
\frac {\partial^2 u}{\partial x^2} +
\frac {\partial^2 u}{\partial y^2} +
\frac {\partial^2 u}{\partial z^2} \\
\frac {\partial^2 v}{\partial x^2} +
\frac {\partial^2 v}{\partial y^2} +
\frac {\partial^2 v}{\partial z^2} \\
\frac {\partial^2 w}{\partial x^2} +
\frac {\partial^2 w}{\partial y^2} +
\frac {\partial^2 w}{\partial z^2}
\end{bmatrix} = \nabla^2 \vec{u{}}
$$

因此，把上面這個東西帶回去的話，請先深呼吸三口，就會得到 Navier-Stokes Equation：

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$$\rho(\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} + (\vec{u{}}\cdot \nabla)\vec{u{}}) = \rho \vec{g{}} + \nabla (-P) + \mu\nabla^2\vec{u{}}$$

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這個就是傳說中的 Navier Stokes Equation。~~好險這東西手解不出來所以考試不會考怎麼解他吧~~

如果更進一步，這個流體是「非黏的」，也就是沒有黏滯力($\mu = 0$)，那麼上面這個東西就會變成：

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$$\rho(\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} + (\vec{u{}}\cdot \nabla)\vec{u{}}) = \rho \vec{g{}} + \nabla (-P)$$

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這個就是 Euler Equation。

這裡注意到 Navier Stokes Equation 最高微分項有到二次（黏滯項那裡），但是 Euler 只有一次，所以邊界條件上會不太一樣。

不過稍微想一下，有什麼流體是非黏的嗎？其實沒有。不過如果黏滯項相對其他項非常小，小到可以忽略的話，就可以用 Euler Equation 近似。

## 不同座標系下的形式

其實就是把對應定義的 $\nabla$ 算子丟到裡面去。

### Cartesian

* x component:
$$\rho(\frac {\partial u}{\partial t}+u\frac {\partial u}{\partial x}+v\frac {\partial u}{\partial y}+w\frac {\partial u}{\partial z}) = -\frac {P}{\partial x}+\rho g_{x} + \mu (\frac {\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac {\partial ^2 u}{\partial y^2}+\frac {\partial ^2 u}{\partial z^2})$$

* y component:
$$\rho(\frac {\partial v}{\partial t}+u\frac {\partial v}{\partial x}+v\frac {\partial v}{\partial y}+w\frac {\partial v}{\partial z}) = -\frac {P}{\partial y}+\rho g_{y} + \mu (\frac {\partial ^2 v}{\partial x^2}+\frac {\partial ^2 v}{\partial y^2}+\frac {\partial ^2 v}{\partial z^2})$$

* z component:
$$\rho(\frac {\partial w}{\partial t}+u\frac {\partial w}{\partial x}+v\frac {\partial w}{\partial y}+w\frac {\partial w}{\partial z}) = -\frac {P}{\partial z}+\rho g_{z} +\mu (\frac {\partial ^2 w}{\partial x^2}+\frac {\partial ^2 w}{\partial y^2}+\frac {\partial ^2 w}{\partial z^2})$$

>> 蔡：不用緊張，我們只會在多教一個(座標)

### Cylindrical

* $r$ 分量：

$$\rho(\frac {Du_{r}}{Dt} - \frac {u_{\theta}^2}{r}) =
-\frac {\partial P}{\partial r } +
\rho g_{r} +
\mu (\nabla ^ 2 u_{r} - \frac {u_{r}}{r^2} - \frac {2}{r^2}\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta})$$

* $\theta$ 分量：

$$\rho(\frac {Du_{\theta}}{Dt} + \frac {u_{r}u_{\theta}}{r}) =
-\frac {1}{r}\frac {\partial P}{\partial \theta } +
\rho g_{\theta} +
\mu (\nabla ^ 2 u_{\theta} - \frac {u_{\theta}}{r^2} + \frac {2}{r^2}\frac {\partial u_{\theta}}{\partial \theta})$$

* $z$ 分量：

$$\rho(\frac {Du_{z}}{Dt}) =
-\frac {\partial P}{\partial z } +
\rho g_{z} +
\mu (\nabla ^ 2 u_{z})$$

其中：

$$\frac {D}{Dt} = \frac {\partial}{\partial t} + u_{r}\frac {\partial}{\partial r} + \frac {u_{\theta}}{r}\frac {\partial}{\partial \theta} + u_{z}\frac {\partial}{\partial z}$$

$$\nabla ^ 2 = \frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(r\frac {\partial }{\partial r}) + \frac {1}{r^2}\frac {\partial ^ 2}{\partial \theta ^ 2} + \frac {\partial ^ 2}{\partial z^2}$$

(心好累)

>> 蔡：我的手速也滿快的嘛...去打英雄聯盟應該滿厲害的...

## 到底有什麼是人算得出來的？

>> 蔡：如果這個東西手解的出來，機械系就不用有熱流組了。

上面的東西醜到不要不要的，所以到底有什麼東西是人解的出來的嗎？其實還是有。這裡有一些例子：

## Couette Flow

### 假定

回憶一下 Couette Flow 的條件：
1. Steady State :
$$\frac {\partial u{}}{\partial t} = 0$$
或者說 $\frac {\partial }{\partial t}(任何分量) = 0$
2. incompressible flow:
$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$
3. unidirection:意思就是說沿「深入紙面方向」的方向(這裡是 $z$ 軸的意思。$x, y$ 是紙面)什麼都不會變
$$w = 0, \frac {\partial \vec{u{}}}{\partial z} = 0$$
或是說 $\frac {\partial }{\partial z}(任何分量) = 0$
4. Fully Developed :
$$\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial x} = 0$$
或是說 $\frac {\partial }{\partial x}(任何分量) = 0$

>> 短一點的推導：
>>
>> 1. 1 + 3 + 4 直接把 $\vec{u{}} = \vec{u{}}(x, y, z, t)$ 砍成 $\vec{u{}} = \vec{u{}}(y)$。再加上 3 的 $w = 0$ 可以更進一步變成 $\vec{u{}}(y) = (u(y), v(y), 0)$
>>
>> 2. $(u(y), v(y), 0)$ 直接丟 incompressible 版的連續方程式，得到
>> $$\frac {\partial u(y)}{\partial x} + \frac {\partial v(y)}{\partial y} = 0 + \frac {dv(y)}{dy} = 0$$
>> 直接推 $v = const. = 0$
>>
>> 3. 這時再丟 Navier Stokes Equation 解。因為已經被砍成 $(u(y),\ 0,\ 0)$ 所以哪些偏微分會變 0 一眼就可以看出來。

### 推導

整個推導是從 incompressible 出發。因為深入紙面方向($z$)沒有變化，所以不可壓縮的條件就剩下兩個分量：

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = \frac {\partial u}{\partial x} + \frac {\partial v}{\partial y} = 0$$

但是又因為 fully developed, $\frac {\partial }{\partial x}(任何分量) = 0$, 所以知道 $\frac {\partial u}{\partial x} = 0$。所以剩下：

$$\frac {\partial v}{\partial y} = 0$$

然後再一次，因為對 $v$ 而言還是 fully developed($\frac {\partial v}{\partial x} = 0$)。再加上 unidirection ($\frac {\partial v}{\partial z} = 0$)，以及 steady state($\frac {\partial v}{\partial t} = 0$)。總合以上：

$$\begin {cases}
\frac {\partial v}{\partial y} = 0 & 連續方程式\\
\frac {\partial v}{\partial x} = 0 & fully\ developed \\
\frac {\partial v}{\partial z} = 0 & unidirection \\
\frac {\partial v}{\partial t} = 0 & steady\ state
\end{cases}$$

因此可以知道 $v$ 是常數。即：

$$v = const.$$

但是因為板子沒有上下移動，所以從邊界條件立刻知道：

$$v = 0$$

但是一開始就假定「$w = 0$」(在 unidirection 那裡)，所以本來以為速度有 $u$, $v$, $w$ 3 個分量，現在被砍到只剩下 $u$ 這個分量了：

$$\vec{u{}} = (u, 0, 0)$$

然後 $u$ 分量因為 unidirection ($\frac {\partial u}{\partial z} = 0$) 以及 fully developed ($\frac {\partial u}{\partial x} = 0$)，還有 steady state ($\frac {\partial u}{\partial t} = 0$)，所以最後就只 y 。也就是：

$$\vec{u{}} = (u(y), 0, 0)$$

把上面那個東西丟到 Navier Stokes Equation 裡面，就會得到：

$$
\begin{cases}
0 = -\frac {\partial P}{\partial x} + \mu\frac {\partial ^2 u}{\partial y^2} + \rho g_{x}\\
0 = -\frac {\partial P}{\partial y} + \rho g_{y} \\
0 = -\frac {\partial P}{\partial z} + \rho g_{z}
\end{cases}
$$

這裡有兩種狀況，一種是用平板拉（就是 Couette Flow），另外一種是平板不動，把流體擠進去。第一種狀況因為旁邊接觸的是大氣壓力，所以壓力到處都一樣，因此壓力的微分項就可以省去。如果更近一步假定重力可以省略，所以就會只剩下:

$$\mu \frac {\partial ^ 2 u}{\partial y^2} = 0$$

然後就發現這個流體是線性分布的，繞一大圈終於知道之前假定「平板之間流速分布是線性」是合理的。

但如果第二種狀況，也就是兩邊平板不動的話，壓力微分就不能省略，其實就是「壓力差推動流體流動」的意思。

## Poiseuille Flow

簡單來說就是流體流過一個圓管。

### 假定

1. Incompressible Flow :
$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$
2. steady :
$$\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} = 0$$
3. Ansisymmetric : 流體分佈是軸對稱的意思
$$\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial \theta} = 0$$
比較白話的說法是：$\frac {\partial }{\partial \theta}{(任何東西)} = 0$

4. no swirling : 就是流體不會繞著管子轉的意思
$${u_{\theta}} = 0$$

5. fully developed
$$\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial z} = 0$$

一樣，比較白話的說法是：$\frac {\partial }{\partial z}{(任何東西)} = 0$

>> 1. 2 + 3 + 5 就可以直接推 $\vec{u{}} = \vec{u{}}(r)$, 再加上 4 可以什麼都不動就先知道 $\vec{u{}}(r) = (u_{r{}}(r), 0, u_{z}(r))$
>> 2. 丟 incompressible 推：
>> $$\frac {\partial u_{r}(r)}{\partial r} + 0 + \frac {\partial u_{z}(r)}{\partial z} = \frac {d u_{r}(r)}{d r} + 0 + 0 = 0$$
>> 直接知道 $u_{r} = const. = 0$
>>
>> 3. 這時再丟 Navier Stokes Equation 。因為只剩 $(0, 0, u_{z}(r))$ 所以滿好消的。

### 推導

跟上面一樣是先用 incompressible flow 去展開推導，決定流體大致的分佈行為之後，再把他帶到 Navier Stokes Equation 去做。

所以根據 continuity equation :

$$\frac {\partial u_{r}}{\partial r} + \frac {1}{r}\frac {\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac {\partial u_{z}}{\partial z} = 0$$

但是因為$\frac {\partial }{\partial z}{(任何分量)} = 0$ 跟 $\frac {\partial }{\partial \theta}{(任何分量)} = 0$，所以：

$$\frac {\partial u_{r}}{\partial r} = 0$$

然後再一次因為 $\frac {\partial }{\partial z}{(任何分量)} = 0$ 跟 $\frac {\partial }{\partial \theta}{(任何分量)} = 0$，所以知道 $u_{r}$ 對 3 個方向的微分都是 0。因此

$$u_{r} = const = 0$$

一樣，等於 0 是因為邊界條件是管壁沒有在動。所以最後就得到：

$$\vec{u{}} = (0, 0, u_{z}(r))$$

然後丟到 Navier Stokes Equation 裡面：

$$
\begin{cases}
r : 0 = -\frac {\partial P}{\partial r}\\
\theta : 0 = -\frac {1}{r}\frac {\partial P}{\partial \theta}
\\
z : 0 = -\frac {\partial P}{\partial z} + \mu \nabla^2u_{z}
\end{cases}
$$

這時候的 Laplacian 會變成：

$$
\nabla ^ 2 = \frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(r\frac {\partial}{\partial r})
$$

所以重寫 z 方向的方程式：

$$\frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(r\frac {\partial u_{z}}{\partial r}) = \frac {1}{\mu}\frac {\partial P}{\partial z}$$

但是，左半邊是只有 r 的函數，右半邊只是 z 的函數，所以唯一的方法就是：

$$\frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(r\frac {\partial u_{z}}{\partial r}) = \frac {1}{\mu}\frac {\partial P}{\partial z} = B$$

因為速度現在只是 $r$ 的函數了，所以可以把它當成全微分。解：

$$\frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(r\frac {\partial u_{z}}{\partial r}) = B$$

得到：

$$u_{z} = \frac {B}{4}r^2 + C_{1}ln(r) + C_{2}$$

而邊界條件就是：

1. 因為管壁邊界的速度要是 0 ， 所以：
$$r = R\ ,\ u_{z}(R) = 0\\
\Rightarrow C_{2} = -\frac {B}{4}R^2
$$

2. 因為中間的速度是「有限」的，所以：
$$
C_{1} = 0
$$

最後解出來的東西就是：

$$u_{z} = \frac {BR^2}{4}(1 - \frac {r^2}{R^2}) = \frac {(dP/dz) R^2}{4\mu}(1 - \frac {r^2}{ R^2})$$

然後還可以導出一堆東西，比如：

$$u_{z,max} = u_{z}(0) = \frac {(dP/dz)R^2}{4\mu}$$

$$u_{z,avg} = \frac {1}{A}\int u_{z}(r)2\pi r dr = \frac {(dP/dz)R^2}{8\mu} = \frac {1}{2}u_{z,max}$$

還有更多東西可以算，比如說shear stress, pressure 等等，不過這些道 internal flow 時會有更進一步的探討。