# 流體力學 Week 6 - Flow Statics

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首先是[作業三](https://hackmd.io/s/Hyd_e5s2x)。死線貌似是 4/11

回顧一下質量守恆定律：

$$\frac {d}{d t}\int_{CV} \rho dV + \oint_{CS}\rho \vec{u{}}\cdot d\vec{A{}} = 0$$

寫成白話文的形式是：

$$\dot{m}_{CV} = \dot{m}_{in} - \dot{m}_{out}$$

然後也教了微分形式的質量守恆：

$$\frac {D\rho}{Dt} + \nabla \cdot (\rho \vec{u{}}) = 0$$

也介紹了這是一種 Eulerian 的觀點，關注的是點上面的物理量。同時也討論了一些特例。接下來簡單介紹幾個用連續方程式推論流體行為的例子。

# 兩個例子

只有連續方程式沒辦法解出完整的流速分佈，但是可以讓我們初步知道流體的行為。以下舉兩個這樣的例子：

## flow between two plate

首先可以假定探討的範圍是二維，所以物理量沿 z 方向(就是進入紙面的深度方向)沒有變化。也就是：

$$\frac {\partial}{\partial z}(任何東西) = 0$$

接著要引入一個概念叫 fully developement，就是++物理量沿流速方向不會變化++。也就是：

$$\frac {\partial }{\partial x}(任何東西) = 0$$

所以本來連續方程式是這樣：

$$\frac {\partial u}{\partial x} + \frac {\partial v}{\partial y} + \frac {\partial w}{\partial z} = 0$$

現在就只剩下：

$$\frac {\partial v}{\partial y} = 0$$

也就是 $v$ 是個常數。但是，因為邊界條件是板子上下沒有速度，只有左右移動。所以很顯然 $v$ 是 0。因此：

$$\vec{u{}} = u\ \hat{i{}}$$

就是速度只剩下左右的分量。然後，因為上面提到，沿 x, 沿 z 方向的物理量都不會變化，所以只剩下 y 方向會變。也就是：

$$\vec{u{}} = u(y)\ \hat{i{}}$$

## flow in a cylinder

一樣是用柱狀版的連續方程式：

$$\frac {1}{r}\frac {\partial (ru_{r})}{\partial r} + \frac {1}{r}\frac {\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac {\partial u_{z}}{\partial z} = 0$$

如果假定 fully developed, 就表示

$$\frac {\partial}{\partial z}(任何東西) = 0$$

但是現在還剩下兩項，所以希望可以把其中一項省掉。這裡是有機會的，可以這樣假定：

1. 一個圓管裡面的流應該要是++軸對稱++的
$$\frac {\partial }{\partial \theta}(任何東西) = 0$$
2. 假定管子裡面的流「不會繞著管子的中心軸旋轉」，所以：
$$u_{\theta} = 0$$

這樣就把中間那項拿掉了，所以剩下：

$$\frac {1}{r} \frac {\partial}{\partial r}(ru_{r}) = 0$$

所以得到：

$$ru_{r} = const.$$

但是因為表面的 $u_{r} = 0$，所以可以知道：

$$ru_{r} = const. = 0$$

所以速度就只剩下 $u_{z}$ 活著，也就是：

$$\vec{u{}} = u_{z}\ \hat{z{}}$$

然後，因為剛剛有說：

1. 軸對稱，所以 $\frac {\partial}{\partial \theta}(任何東西) = 0$
2. fully developed, 所以 $\frac {\partial}{\partial z}(任何東西) = 0$

綜合以上的話，可以知道：

$$\vec{u{}} = u_{z}\hat{z{}} = u_{z}(r)\hat{z{}}$$

不過連續方程式只能告訴我們這個速度場大致的分佈趨勢，更詳細的狀況要用第二定律算。

# Flow Statics

回顧之前提到，作用在流體上面的力可以大致分成下面兩類：

1. body force : 可以視為作用在質心的力
2. surface force : 作用在表面的力

大致上來說就是這樣：


首先考慮流體靜力學。因為流體沒有在流，所以沒有剪力，只要考慮壓力即可。這時候可以的 surface force 只要考慮壓力就好。所以把剛剛提到的兩種力的總和算出來：

* surface force : 對做用再每個小表面上的壓力做積分

$$\vec{F{}}_{s} = \oint (-p) d\vec{A{}}$$

* body force :

$$\vec{F{}}_{b} = \int \rho \vec{g{}} dV $$

所以把兩個加起來：

$$\vec{F{}}_{s} + \vec{F{}}_{b} = \oint (-p) d\vec{A{}} + \int \rho \vec{g{}} dV$$

如果對前面那項用散度定律：

$$\oint (-p) d\vec{A{}} = \int -\nabla p dV$$

所以兩項加起的結果現在變成：

$$\oint (-p) d\vec{A{}} + \int \rho \vec{g{}} dV = \int -\nabla p dV + \int \rho \vec{g{}} dV = \int(-\nabla p + \rho \vec{g{}})dV$$

因在如果是在靜止狀態，合力是 0 ，所以：

$$\int(-\nabla p + \rho \vec{g{}})dV = 0$$

然後再用萬能的 localization theorem ，所以推得：

$$-\nabla p + \rho \vec{g{}} = 0$$

這就是流體靜力學的 governing equation 了。

## Hydrostatic Pressure

通常流體靜力學裡面取的 control surface 不是垂直的就是水平的：

1. 水平：壓力都是常數
2. 垂直：壓力是線性的

但是通常想算壓力時，表面不一定是水平或垂直。這時候就要用積分：

$$F_{p} = -\int_{A}P\cdot dA$$

雖然看起來很短，但是這其實是一件很複雜的事，因為無法預期表面會是什麼樣子，所以那個積分有可能超難算。不過這裡有幾種比較好算的 case。

1. 表面是平的
2. 表面有點彎
2. 然後...沒有然後了，丟給電腦算。

接下來就看這兩個種特例：

## Hydrostatic Forces on Submerged "Plane" Surface

「放在水面下的平板」。這裡的關鍵是「平」板，所以他是平的。因為是平的，所以壓力的方向一看就知道是沿「板子的法向量」。因此接下來只要討論是「大小」「作用點」
就好。

### 大小


本來應該是要算這樣的：

$$\int_{A}-P\ d\vec{A}$$

因為 $dA$ 方向都一樣，所以可以只算大小，方向就看平面什麼方向決定：

$$|F_{p}| = \int P dA$$

但是:
$$P =P_{atm} + \rho g h =P_{atm} + \rho g y\ sin\theta$$

所以：

$$|F_{p}| = \int_{A} (P_{atm} + \rho g y\ sin\theta)dA$$

因為 $P_{atm}$ 是常數，所以前面那項直接乘面積就好。而 $sin\theta$ 也是常數，所以積分就可以化簡成：

$$|F_{p}| = P_{atm}A + \rho g sin\theta \int_{A}ydA$$

注意後面那一項積分項跟算質心有 87% 像。所以如果後面那項視為是：

$$\int_{A}ydA = y_{c}A$$

這樣的話，壓力就可以改寫成：

$$|F_{P}| = P_{atm}A + \rho g\ sin\theta\ y_{c} A = (P_{atm} + \rho g\ sin\theta\ y_{c})A$$

所以這樣只要找到形心的深度，就可以找到總壓力的值。

### 作用點

但是作用的點呢？作用點的關鍵是找到一個點 $y_{p}$ ，使得：

$$y_{p} \times 總力 = 總力矩$$

也就是：

$$y_{p}F_{R} = M_{c,O} =\int_{A}\underbrace{y}_{arm}p(y)dA = \int y(P_{atm} + \rho g\ sin\theta\ y)dA$$

把上式展開，並做一些化簡：

$$\int y(P_{atm} + \rho g\ sin\theta\ y)dA = \underbrace{ \int P_{atm}ydA}_{P_{atm}\ y_{c}} + \int \rho g\ sin\theta\ y^2 dA$$

前面那一項 $P_{atm}$ 很簡單。後面那項就稍微觀察一下的話可以發現：

$$ \int \rho g\ sin\theta\ y^2 dA = \rho g\ sin\theta\ \int y^2 dA$$

這東西跟轉動慣量有 87% 像。所以定義：

$$I_{xx,o} = \int y^2 dA$$

這樣一來，總力矩就可以寫成：

$$M_{x,o} = P_{atm}y_{c}A + \rho g\ sin\theta\ I_{xx,o}$$

然後，力作用點的位置假定是 $y_{p}$, 則 $y_{p}$ 必須滿足：

$$M_{x,o} = y_{p}|F_{P}|$$

然後解出 $y_{p}$ 就可以了：

$$P_{atm}y_{c}A + \rho g\ sin\theta\ I_{xx,o} = y_{p}(P_{atm} + \rho g\ sin\theta\ y_{c})A$$

不過上這樣有不方便，因為 $O$ 點可能會隨水面高低而變，所以每次狀況都不一樣。所以想辦法盡可能地把物理量帶成跟形狀有關的參數。

把轉動慣量代成距離質心得轉動慣量，所以用個平行軸原理：

$$I_{xx,o} = I_{xx,c} + y_{c}^{2}A$$

帶回去，得到：

$$P_{atm}y_{c}A + \rho g\ sin\theta\ (I_{xx,c} + y_{c}^{2}A) = y_{p}(P_{atm} + \rho g\ sin\theta\ y_{c})A$$

接著做一些化簡：

$$(P_{atm} + \rho g\ sin\theta\ y_{c})y_{c}A + \rho g\ sin\theta\ I_{xx,c} = y_{p}(P_{atm}+\rho g\ sin\theta\ y_{c})A$$

所以就可以算出 $y_{p}$：

$$y_{p} = y_{c} + \frac {\rho g\ sin\theta\ I_{xx,c}}{(P_{atm} + \rho g \sin\theta\ y_{c})A} = \frac {I_{xx,c}/A}{\frac {P_{atm}}{\rho g\ sin\theta}+y_{c}}$$

可以發現上面只有 $y_{c}$ 是跟深度有關，剩下的參數都只跟物體形狀與擺放位置有關。

舉個例子，如果是一個在水下的長方形：


合力就是「形心壓力乘面積」：

$$F_{P} = [P_{0} + \rho g (s + b/2)sin\theta]ab$$

作用的點稍微帶一下：

$$\begin{cases}
I_{xx,c} = \frac {1}{12}ab^3 \\
y_{c} = s + \frac {b}{2} \\
A = ab
\end{cases}
\Rightarrow
y_{p} = s + \frac{b}{2} + \frac {\frac {1}{12}b^2}{\frac {P_{atm}}{\rho g sin\theta}s + \frac {b}{2}}
$$

如果考慮 gage pressure, 令 $P_{atm} = 0$ 因為兩邊都有大氣壓力就抵消了。

### 註：更簡單的證明

上面是課本的做法。但是實際上可以有更簡化的推導。既然都要算跟直心有關係的性質，那不如一開始就把原點設在形心。這時候就是：

$$(y_{p} - y_{c})F_{R} = \int \rho g sin\theta (y-y_{c}) \cdot (y-y_{c})dA = \rho g sin\theta \underbrace{\int(y-y_{c})^2 dA}_{I_{xx,c}}$$

然後就發現上面的公式其實不用怎麼記，一看就可以知道要怎麼做了。

另外，在 x 方向的作用點可以這樣算出來：

$$F_{R}(x_{p} - x_{c}) = \int P (x-x_{c})dA = \rho g sin\theta \underbrace{\int (x-x_{c})(y-y_{c})dA}_{I_{xy,c}}$$

不過在具有某些對稱性時， $I_{xy, c}$ 的積分會因為對稱而消掉。也就是作用點會在對稱軸上的意思。

### 壓力柱 (Pressure Prism)

可以把在表面施加的壓力，看成像這樣：


箭頭長度表示的是壓力大小，箭頭方向是壓力的方向。

這種視覺化的方法叫做「壓力柱」。這時候可以注意到：
1. 計算「總壓力」就是計算「壓力柱的總體積」
2. 計算「壓力作用點」就是計算「壓力柱形心在平板表面的投影」

>>作業中有題目可以用到類似的技巧

## Hydrostatic Forces on Submerged Curved Surface

阿就把它進化成彎曲的表面啊：


這時候可以發現暴力積分聽起來不是一個很好的點子，因為那個 Curved surface 看起來實在是又多醜有多醜。

不過既然要算的是總力，所以如果取像圖中那樣，兩邊是水平或垂直的平面的 control volume :


因為左右、上下的壓力，與壁面給流體的力要平衡。而壁面給流體的力剛好跟流體給壁面的力，也就是想要算的總壓力。所以就可以輕鬆算出來了，就是：

$$\begin{cases}
x: F_{H} = F_{x}\\
y: F_{V} = F_{y} + W
\end{cases}
$$

不過力的方向是要有時候還是依據狀況調整一下，比如說如果形狀長這樣：


這樣列出來就會是：

$$\begin{cases}
x: F_{H} = F_{x}\\
y: F_{V} = F_{y} - W
\end{cases}
$$

反正就是看狀況做調整～U know what I mean.

不過這個方法就很難算出「力的作用點」，因為那個形狀很奇怪，所以很難算出轉動慣量跟形心。不過還是可以做一些特例的：

### Special Case

#### Circular Arc


這個特例的重點是在每一點的壓力都指向圓心。這個有時候可以簡化問題（像課本中的例題）。