# 代數導論二 Week 6 (Part 3) - Field Extension

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## 定義：Field Extension

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假定 $F, K$ 是兩個 *field*。若 $K$ 包含 $F$：

$$
F \hookrightarrow K
$$

則稱 $K$ 是一個 $F$ 的 *field extension*。並且寫作：

$$
K/F
$$

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比如說 $\Bbb C/\Bbb R$

## 定義：元素生成的 Field

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假定 $F$ 是一個 *field*，$K/F$。並且令：

$$
\alpha_1 \dots \alpha_n \in K
$$

由於 *subfield* 的交集還是 *subfield*，所以若令 $\mathcal J$ 為 $K$ 中「同時包含 $F$ 與 $\alpha_1 \dots \alpha_n$ 的 *subfield* 形成的搜集」，也就是：

$$
\begin{align}
\mathcal J = \{J \subseteq K \mid\ & K/J \text{, and }J/F
\newline
&\text{ and } \alpha_1 \dots \alpha_n \in J\}
\end{align}
$$

則所有這樣的 *subfield* 形成的交集：

$$
\bigcap_{J \in \mathcal J}J
$$

仍然會是一個 $K$ 中同時包含 $F$ 與 $\alpha_1 \dots \alpha_n$ 的 *subfield*。且這是所有「$K$ 中同時包含 $F$ 與 $\alpha_1 \dots \alpha_n$ 的 *subfield*」中最小的 *subfield*，稱為 *subfield generated by* $\alpha_1 \dots \alpha_n$ *over* $F$，並且記成：

$$
F(\alpha_1, \alpha_2 \dots \alpha_n) = \bigcap_{J \in \mathcal J}J
$$

:::

## 定義：Simple Extension

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假定 $F$ 是一個 *field*，$K/F$。若一個 $K$ 的 *subfield* $J$ 是由一個 $K$ 中元素在 $F$ 上生成的，即：

$$
J = F(\alpha)
$$

則稱其為一個 *simple extenson*，並且稱 $\alpha$ 為一個 *primitive element*。

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