# 代數導論 (5.1) - Group Action Intro (Part 1)

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## 定義：Group Action

*Group action* 在後面會有專門的章節來介紹，不過接下來會先使用到與 *group action* 相關的用語，因此這邊先給出定義，以及其衍伸的一些子群。

*Group action*，定義有一些不同的思考角度，至少在 Dummit 這本書中有三種。分別是：

### 第一種敘述

:::warning
假定 $G$ 是一個群，$X$ 是一個集合。一個 $X$ 上的 *group action* $\star$ 是一個 $G \times X \to X$ 的映射：

$$
\boxed{\star : G \times X \to X}
$$

並且對於任意 $g_1, g_2 \in G$, $x \in X$，該映射滿足下列條件：

1. 結合律：
$$
\boxed{g_1 \star (g_2 \star x) = (g_1 \cdot g_2) \star x}
$$

2. 單位元作用之後不變：
$$
\boxed{1_G \star x = x}
$$
:::

這裡面有兩種二元運算，看起來似乎很容易分不清楚誰是誰。不過，有一個不那麼正式的小技巧，就是把 $(g \star x)$ 改成 $g(x)$。上面的敘述就會變成：

1. 結合律：
$$
g_1(g_2(x)) = (g_1g_2)(x)
$$

2. 單位元作用後不變：
$$
1(x) = x
$$

就會發現這個直覺跟函數的合成幾乎是一樣。所以某些程度來說，可以把 $g$ 的作用當作一堆 $X$ 上的函數，而函數的作用就遵守平常認知的那個函數作用。這個看法就引出了第二種敘述：

### 第二種敘述

首先，仍然假定 $G$ 是一個群，$X$ 是一個集合。而 *group action* 仍然是一個如下的映射：

$$
\star : G \times X \to X
$$

但不同之處在於：現在用函數的語言來描述。對於任意 $g \in G$，定義：

$$
\Phi_g : X \to X
$$

其中：

$$
\boxed{\Phi_g(x) = g \star x}
$$

那麼，原先 *group action* 的定義，就會變成下面的敘述：

:::warning

假定 $G$ 是一個群，$\star : G \times X \to X$ 是一個函數。定義對於任意一個元素 $g \in G$ $\Phi_g$ 為：

$$
\boxed{
\begin{align}
\Phi_g : X &\to X
\newline
x &\to g \star x
\end{align}}
$$

在這樣的定義下，若對於任意 $g_1, g_2 \in G$，$\Phi_{g_1}$ 與 $\Phi_{g_2}$ 滿足：

1. 結合律：
$$
\boxed{(\Phi_{g_1} \circ \Phi_{g_2}) = \Phi_{g_1 g_2}}
$$

2. 單位元：
$$
\boxed{\Phi_{1_G} = I_X}
$$

其中，$I_X$ 是 $X$ 上的單位運算。也就是對於任意 $x \in X$：

$$
I_X(x) = x
$$

則稱 $\star$ 是個 *group action*。
:::

轉換成這個看法後，可以發現：==對於任意 $g \in G$，$\Phi_g$ 都是 *bijection*==。因為 $\Phi_{g^{-1}}$ 就是他的反函數。或更明確的說：$\Phi_{g^{-1}}$ 既是 $\Phi_{g}$ 的左反，也是 $\Phi_{g}$ 右反：

$$
\begin{align}
&\Phi_{g} \circ \Phi_{g^{-1}} = \Phi_{gg^{-1}} = \Phi_{1_G} = I_X
\newline
&\Phi_{g^{-1}} \circ \Phi_{g} = \Phi_{g^{-1}g} = \Phi_{1_G} = I_X
\end{align}
$$

既然都必定存在反函數，再換句話說，每個 $\Phi_g$ 所對應的，都是一個把 $X$ 做 *permutation* 的方法。

在第一種敘述中有提到：似乎可以把一個 $g$ 所對應到的 *action* 當成 $X$ 上的函數，而這邊就證實了確實可以這樣看。甚至更好，因為每個函數都雙射，一定存在反函數。

### 第三種敘述

上面的敘述中，一個 $g$ 就會對應到一個 $\Phi_g$。所以「給 $g$，生出一個 *bijective* 的 $\Phi_g : X \to X$」這件事情的本身也是一個函數。因此，也可以說 *group action* 是一個映射：

$$
\boxed{\Phi : G \to \underbrace{\{f : X \to X : f \text{ bijection}\}}_{S_X}}
$$

其中：

$$
\Phi(g) = \Phi_g
$$

除此之外，*group action* 所要求的兩個性質，本質上就是在要求就變成：

$$
\Phi(g_1) \circ \Phi(g_2) = \Phi(g_1g_2)
$$

以及：

$$
\Phi(1_G) = I_{X}
$$

而先前已經知道：對於任意集合 $X$，上面所有雙射形成的集合 $S_X$，搭配函數的合成 $(S_X, \circ)$ 是一個群，且其單位元為 $X$ 上的單位運算，即 $I_X$。所以這看起來根本就是「$\Phi$ 是個 *homomorphism*」的定義。換句話說，*group action* 的定義所要求的條件，在這邊可以簡化成為：

:::warning

假定 $G$ 是一個群。對於任意 $g \in G$，$\star : G \times X \to X$ 是一個函數。若定義：

$$
\boxed{
\begin{align}
\Phi_g : X &\to X
\newline
x &\to g \star x
\end{align}}
$$

及定義 $\Phi$：

$$
\boxed{
\begin{align}
\Phi : G &\to S_X
\newline
g &\to \Phi_g
\end{align}
}
$$

的狀況下，$\Phi$ 是一個 *Homomorhism*：

$$
\boxed{\Phi \text{ is homomorphism}}
$$

則稱 $\star$ 是一個 *group action*。
:::

### 例子：群自身的二元運算

這大概是最明顯的例子。假定 $G$ 是一個群，則這個群所對應的二元運算：

$$
f : G \times G \to G
$$

其中：

$$
f(g, h) = gh
$$

則 $f$ 是一個 *group action*。因為群自動有結合律，而且也自動有單位元。

### 例子：Conjugate

$G$ 是一個群。考慮：

$$
f : G \times G \to G
$$

其中：

$$
f(g, x) = gxg^{-1}
$$

也就是把 $x$ 對 $g$ 取 *conjugate*，是個 *group action*。