# 代數導論 (26) - Semidirect Product (Part 1)

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## 定義：Semidirect Product

:::warning
**Def (Semidirect PRoduct)**

假定 $H, K$ 是群，且 $\varphi$ 是一個將 $K$ 作用在 $H$ 上的 *group action* (或說：$\varphi$ 是個 *homomorphism*)：

$$
\boxed{\varphi : K \to \text{Aut}(H)}
$$

若定義 $H \times K$ 上的二元運算：

$$
\boxed{\begin{align}
(h_1&, k_1) \star (h_2, k_2)
\newline
&= (h_1\ k_1(h_2), k_1k_2)
\end{align}}
$$

其中，$k_1(h_1)$ 是 $\varphi$ 作為一個 *group action* 作用在 $h_1$ 上。則：

$$
(H \times K, \star)
$$

構成一個群，稱為 $H, K$ 的 *semidirect product*。並且記成：

$$
\boxed{G = H \rtimes_{\varphi} K}
$$

而在 $\varphi$ 不重要，或是前後文可以確定 $\varphi$ 為何時，也會寫成：

$$
\boxed{G = H \rtimes K}
$$

:::

這邊可以注意到：==$H \rtimes K$ 跟 $H \times K$ 這兩個群只差在兩者的運算不一樣，而這兩者的 underlying set 完全是一模一樣的==，都是 $H$ 跟 $K$ 的 *cartesian product*。

### 觀察：不只是 Group Action

這邊首先要觀察一件事：雖然說 $\varphi$ 可以視為是一個 *group action*。但注意到 $\varphi$ 這個函數的定義中，他==對應到的不只是 *bijection*，而是比 *bijection* 更強的 *automorphism*==：

$$
\varphi : K \to \text{Aut}(H)
$$

因此，這個 $\varphi$ 所對應到的 *group action* ==除了那些基本的 *group action* 性質，還會有 *automorphism* 中的所有性質==：比如說是個 *homomorphsim*。因此：對於任意 $k \in K$ 以及 $h_1, h_2 \in H$，有：

$$
\boxed{
\begin{align}
k(h_1) k(h_2) &= k(h_1h_2)
\newline
k(1) &= 1
\end{align}
}
$$

### 證明：Semidirect Product 是一個群

接下來證明這是一個群。

==單位元==

單位元第一眼應該會猜看看是不是 $(1, 1)$，然後就發現是了。因為對於任意 $(h, k) \in G$，有：

$$
\begin{align}
(1, 1)(h, k) &= (1\cdot 1(h), k)
\newline
&= (1\cdot h, k) = (h, k)
\end{align}
$$

以及：

$$
\begin{align}
(h, k)(1, 1) &= (hk(1), k)
\newline
&= (h \cdot 1, k) = (h, k)
\end{align}
$$

其中，因為 $\varphi$ 是個 *homomorphism*，而且他的對應域的所有元素也是 *homomorphism*。所以 $1$ 作用在任意 $h \in H$ 就是單位運算，也就是 $1(h) = h$; 而且因為每個 $k$ 作用在 $h$ 上面都是一個 *homomorphism*，所以對於任意 $k \in K$，有 $k(1) = 1$。

==反元素==：

現在要來找反元素的形式。假定 $(h_1, k_1)$ 是某一個元素，而假定他的反元素是 $(h_2, k_2)$。把這兩個東西乘起來：

$$
(h_1, k_1)(h_2, k_2) = (1, 1)
$$

依照 *semidirect product* 的定義展開：

$$
(h_1k_1(h_2), k_1k_2) = (1, 1)
$$

因為每個分量都要相等，所以就可以聯立寫成：

$$
\begin{cases}
k_1(h_2) = 1
\newline
k_1k_2 = 1
\end{cases}
$$

但這就是在說：

$$
\begin{cases}
h_2 = k_1^{-1}(h_1^{-1})
\newline
k_2 = k_1^{-1}
\end{cases}
$$

因此就會想猜：對於任意 $(h, k)$，其反元素就是：

$$
\boxed{(h, k)^{-1} = (k^{-1}(h^{-1}), k^{-1})}
$$

不過，反元素要左右作用都變成 $1$ 才行。而這只是臨門一腳，照定義展開就好：

$$
\begin{align}
&(k^{-1}(h^{-1}), k^{-1})(h, k)
\newline
&= (k^{-1}(h^{-1})k^{-1}(h), k^{-1}k)
\newline
&= (k^{-1}(h^{-1}h), k^{-1}k) = (1, 1)
\end{align}
$$

==結合律==

這其實也是暴力展開來驗證。不過中間用到了「不只是 *group action*」的那個觀察：

$$
\begin{align}
\bigg((h_1, k_1)(h_2, k_2)\bigg)(h_3, k_3) &= \bigg(h_1k_1(h_2), k_1k_2\bigg)(h_3, k_3)
\newline
&= \bigg(h_1\ \boxed{k_1(h_2)\ \ k_1k_2(h_3)}, k_1k_2k_3\bigg)
\end{align}
$$

另外一方面：

$$
\begin{align}
(h_1, k_1)\bigg((h_2, k_2)(h_3, k_3)\bigg) &= (h_1, k_1)\bigg(h_2k_2(h_3), k_2k_3\bigg)
\newline
&= \bigg(h_1\ \boxed{k_1(h_2\ \ k_2(h_3))}, k_1k_2k_3\bigg)
\end{align}
$$

因為 $k$ 分量都一樣，只有 $h$ 分量不一樣，所以關鍵的問題是 $h$ 分量有沒有一樣。更進一步是問「方形的部分有沒有一樣」。但看起來應該會，因為前面有提到 ==$k(h)$ 不只是 *group action*，他還是 *automorphism*==。比說拿下面的方框中的內容來說，因為 $k_1(h)$ 是個 $H$ 上的 *homomorphism*，所以：

$$
\begin{align}
\boxed{k_1( \underline{h_2}\ \ \underline{k_2(h_3)})} &= \underline{k_1(h_2)}\ \ \underline{k_1(k_2(h_3))}
\newline
&= \boxed{k_1(h_2)\ \ k_1k_2(h_3)}
\end{align}
$$

### 觀察：元素數目

:::danger

假定 $H, K$ 是兩個群，則：

$$
|H \rtimes K| = |H||K|
$$

:::

因為底下的集合都是 $(H \times K)$，所以數目根本跟 *direct product* 的狀況一樣。

### 觀察：分量跟原來的群同構

:::danger
假定 $H, K$ 是群，且 $G = H \rtimes K$。若定義：

$$
\begin{align}
G_H &= \{(h, 1) \mid h \in H\}
\newline
G_K &= \{(1, k) \mid k \in K\}
\end{align}
$$

則++分量跟原來的群同構++：

$$
\begin{align}
H &\simeq G_H
\newline
K &\simeq G_K
\end{align}
$$
:::

在 *Dummit* 的書中，可能因為要省符號的關係，所以把這裡的 $G_H$ 直接寫成 $H$，因此敘述就會像是 $H \leq G$ 跟 $K \leq G$。不過 $G$ 明顯就是個 *tuple*，在看定理敘述時有時候會有點困惑，所以這邊就用 $G_H$ 來表示所有形式如 $(h, 1) \in G$ 的元素，而原來的 $H$ 就用來表示所有的 $h \in H$。

雖然看起來可以說「證明跟 *direct product* 一樣」，不過問題是：==*semidirect product* 構成的群所使用的二元運算也變了==，所以能不能維持原先的 *homomorphism* 就會是個問題。不過可以觀察到：

$$
\begin{align}
(h_1, 1)(h_2, 1) &= (h_1h_2, 1)
\newline
(1, k_1)(1, k_2) &= (1, k_1k_2)
\end{align}
$$

左邊同時用 $(h, 1) \mapsto h$ 或 $(1, k) \mapsto k$ 送過去，就會發現這兩個映射是 *homomorphism*，所以就證完了。

### 觀察：分量是個子群

:::danger

假定 $H, K$ 是群，且 $G = H \rtimes K$。若定義：

$$
\begin{align}
G_H &= \{(h, 1) \mid h \in H\}
\newline
G_K &= \{(1, k) \mid k \in K\}
\end{align}
$$

則++分量也是個子群++：

$$
\begin{align}
G_H &\leq G
\newline
G_K &\leq G
\end{align}
$$

:::

直接用 *subgroup criteria* 爆開。

$K$ 分量就直接用反元素的公式爆開。這邊用到了對於任意 $k$，因為這個 *group action* 對應到的每個預算都是 *automorphism*，所以也是 *homomorphism*，因此對於任意 $k$，有 $k(1) = 1$。所以：

$$
\boxed{(1, k_2)^{-1}} = (k_2^{-1}(1^{-1}), k_2^{-1}) = \boxed{(1, k_2^{-1})}
$$

因此，利用 *subgroup criteria*：

$$
\begin{align}
(1, k_1)\boxed{(1, k_2)^{-1}} &= (1, k_1)\boxed{(1, k_2^{-1})}
\newline
&= (1, k_1k_2^{-1}) \in G_K
\end{align}
$$

$H$ 分量也是類似：

$$
\boxed{(h_2, 1)^{-1}} = (1^{-1}(h_2^{-1}), 1^{-1}) = \boxed{(h_2^{-1}, 1)}
$$

因此：

$$
\begin{align}
(h_1, 1)\boxed{(h_2, 1)^{-1}} &= (h_1, 1)\boxed{(h_2^{-1}, 1)}
\newline
&= (h_1h_2^{-1}, 1) \in G_H
\end{align}
$$

### 觀察：合成後做 Conjugate 對應到 Group Action

:::danger

假定 $H, K$ 是群，且 $G = H \rtimes K$。若定義：

$$
\begin{align}
G_H &= \{(h, 1) \mid h \in H\}
\newline
G_K &= \{(1, k) \mid k \in K\}
\end{align}
$$

若令任意 $g_h \in G_H$ 以及 $g_k \in G_K$ 為：

$$
\begin{align}
g_k &= (1, k) \in G_K
\newline
g_h &= (h, 1) \in G_H
\end{align}
$$

則有：

$$
\boxed{g_hg_kg_h^{-1} = (k(h), 1)}
$$

或是展開來的形式：

$$
\boxed{(1, k)(h, 1)(1, k)^{-1} = (k(h), 1)}
$$

:::

課本的寫法比較懶惰，因為 $G_H \simeq H$ 且 $G_K \simeq K$，所以寫 $k$ 跟寫 $(1, k)$、寫 $h$ 跟寫 $(1, h)$ 在同構意義下根本是同一回事。所以就省略寫成：

$$
\boxed{\underbrace{khk^{-1}}_{(1, k)(h, 1)(1, k)^{-1}} = \underbrace{k(h)}_{(k(h), 1)}}
$$

證明也很直接，就直接通通照定義爆開：

$$
(1, k)(h, 1) = (k(h), k)
$$

又因為：

$$
\begin{align}
\boxed{(1, k)^{-1}} &= (k^{-1}(1^{-1}), k^{-1})
\newline
&= \boxed{(1, k^{-1})}
\end{align}
$$

所以前面那式，左右都乘上 $(1, k)^{-1}$，就會得到：

$$
(1, k)(h, 1)\boxed{(1, k)^{-1}} = (k(h), 1)
$$

### 觀察：對直和的期待

:::danger

假定 $H, K$ 是群，且 $G = H \rtimes K$。若定義：

$$
\begin{align}
G_H &= \{(h, 1) \mid h \in H\}
\newline
G_K &= \{(1, k) \mid k \in K\}
\end{align}
$$

則：

$$
\boxed{\begin{align}
G_H &\lhd G
\newline
(G_H \cap G_K) &= \{(1, 1)\}
\newline
\end{align}}
$$

:::

前面已經證明：對於固定某個 $(1, k) \in G_K$，對於任意 $G_H$ 中的元素 $(h, 1) \in G_H$，有：

$$
(1, k)(h, 1)(1, k)^{-1} = (k(h), 1) \in X_H
$$

既然跟每一個 $G_H$ 中的元素這樣作用之後，結果都還是在 $G_H$ 中，這也就是說：==任何 $G_K$ 中的元素，都可以 *normalize* $G_H$==。因此：

$$
G_K \leq N_G(G_H)
$$

另外一方面，對於任意一個子群，顯然==自己一定可以 *normalize* 自己==。所以：

$$
G_H \leq N_G(G_H)
$$

另外，可以觀察到：任意 $(g_1, g_2) \in G$，都可以寫成如下的形式 (可以自行用 $(H \rtimes K)$ 的定義乘開驗證)：

$$
(g_1, g_2) = (g_1, 1)(1, g_2)
$$

因此也就是說：

$$
\boxed{G = G_HG_K}
$$

所以，如果把任意 $g \in G$ 寫成 $g = hk$，其中 $h \in G_H$，$k \in G_K$。那麼，對於任意 $x \in X_H$，把他跟 $G$ 中的元素取共軛：

$$
\begin{align}
gxg^{-1} &= (kh)x(kh)^{-1}
\newline
&= (kh)x(h^{-1}k^{-1})
\newline
&= k(hxh^{-1})k^{-1}
\end{align}
$$

因為 ==$(hxh^{-1})$ 裡面 $x$, $h$, $h^{-1}$ 都在 $G_H$ 裡==面，所以乘起來也在 $X_H$ 裡面。加上前面證明了：==任何 $G_K$ 中的元素都可以 *normalize* $G_H$ 中的元素==，所以對於跟任意 $k \in G_K$ 取共軛得到的 $k(hxh^{-1})k^{-1}$ 也會在 $G_H$ 中，由此得證 *normal*。