# 代數導論二 Week 6 (Part 2) - Characteristic of a Field

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## 定義：Characteristic of a Field

:::warning

假定 $F$ 是一個 *field*。若定義 $n1_F$ 為「$1_F$ 自己加自己 $n$ 次」：

$$
n1_F = \underbrace{1_F + \dots + 1_F}_{n \text{ times}}
$$

1. 若存在 $n \in \Bbb N$，使得 $1_F$ 加 $n$ 次變成 $0$：

$$
\begin{align}
\exists n &\in \Bbb N.
\newline
&\underbrace{1_F + \dots 1_F}_{n \text{ times}} = n1_F = 0
\end{align}
$$

則定義所有這樣的 $n$ 當中最小的為 $F$ 這個 *field* 的 *characteristic*。並且用 $\text{char }F$ 表示。即：

$$
\text{char }F = \min \{n \in \Bbb N \mid n1_F = 0\}
$$

2. 若不存在這樣的正整數 $n$，則定義 $F$ 的 *characteristic* 為 $0$：

$$
\text{char }F = 0
$$

:::

### 定理：Character 不是 0 就是質數

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*。若令：

$$
p = \text{char } F
$$

則 $p$ 不是質數就是 $0$。

:::

假定 $p$ 不是質數，也就是存在 $a, b \in \Bbb Z$，使得：

$$
p = ab
$$

其中，$a, b$ 是比 $1$ 大的自然數：

$$
\Bbb N \ni a, b > 1
$$

且 $a, b$ 一定不大於 $p$ (因為 $p$ 的因數嘛) 這時候觀察：

$$
(ab)1_F = (\underbrace{1_F + \dots 1_F}_{a \text{ times }=\ a1_F})(\underbrace{1_F + \dots 1_F}_{b \text{ times }=\ b1_F})
$$

換句話說，$p1_F = 0$ 就可以推出下面這個結論：

$$
\underbrace{(ab)1_F}_{p1_F} = \underbrace{(a1_F)(b1_F)}_{0}
$$

因為 $F$ 是一個 *field*，所以是個 *integral domain*。兩個東西相乘為 $0$，就表示有人是 $0$。也就是：

$$
a1_F = 0 \text{ or } b1_F = 0
$$

這就表示 $1_F$ 加 $a$ 次或 $b$ 次之後就可以變成 $0$，不用加到 $p$ 次那麼多。但這就跟「$p$ 是 $F$ 的 *characteristic*」的前提矛盾了。

## 觀察：從 Homomorphism 的角度

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，並且：

$$
\text{char }\phi = p
$$

若定義以下的 *ring homomorphism*：

$$
\begin{align}
\phi : \Bbb Z &\to F
\newline
1 &\mapsto 1_F
\end{align}
$$

則 $\ker \phi$ 是一個 $\Bbb Z$ 中的 *prime ideal*，且依照 $p$ 是否大於 $0$ ，有以下兩種狀況：

1. 若 $p > 0$，則 $p$ 生成的 *ideal* 就是 $\ker \phi$：

$$
p\Bbb Z = \ker \phi
$$

2. 若 $p = 0$，則 $\ker \phi$ 就是 $\{0\}$：

$$
\{0\} = \ker \phi
$$

:::

如果對 $\phi$ 用第一同構，就會得到：

$$
\underbrace{\phi(\Bbb Z)}_{\subseteq F} \simeq \Bbb Z/\ker \phi
$$

因為 $\phi(\Bbb Z)$ 是一個 $F$ 中的 *subring*，而 $F$ 是一個 *field*，所以包在 $F$ 中的 $\phi(\Bbb Z)$ 當中不可能有 *zero divisor*。因此知道 $\phi (\Bbb Z)$ 是一個 *integral domain*。

既然 $\Bbb Z$ 被除了一個 $\ker \phi$ 是個 *integral domain*，所以 $\ker \phi$ 就是個 *prime ideal*。因此 $\ker \phi$ 就是 $\{0\}$ 或是 $n\Bbb Z$，其中 $n$ 是一個質數。

1. 如果 $p > 0$，這表示：

$$
\phi(p) = \underbrace{1_F + 1_F + \dots + 1_F}_{p \text{ times}} = 0
$$

因此 $p$ 就會在 $\ker \phi$，也就是 $n\Bbb Z$ 中：

$$
p \in \ker \phi = n\Bbb Z
$$

因為 $p$ 是質數，所以如果 $n$ 要生成出 $p$，而且 $n\Bbb Z$ 又要是個 *prime ideal*，那這個生成元就只能是 $p$ 自己：

$$
p \in n\Bbb Z \Rightarrow n \mid p \Rightarrow n = p
$$

2. 如果 $p = 0$，那麼任何整數都沒有辦法被映射到 $0$，所以只有 $0$ 會被送到 $0$。因此：

$$
\ker \phi = \{0\}
$$

## 定義：Prime Subfield

:::warning

假定 $F$ 是一個 *field*。則 $F$ 中包含 $1_F$ 的最小 *subfield* 稱為 $F$ 的 *prime subfield*。

:::

這是因為 *subfield* 的交集還是 *subfield*，所以可以這樣定義。

### 觀察：Characteristic 跟 Prime Subfield 的關係

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，且：

$$
\text{char }F = p
$$

並且假定 $F$ 的 *prime subfield* 為 $P$，則：

1. 當 $p > 0$ 時：$F$ 的 *prime subfield* 跟 $\Bbb Z /p\Bbb Z$ 同構

$$
P \simeq \Bbb Z/p\Bbb Z
$$

2. 當 $p = 0$ 時：則 $F$ 的 *prime subfield* 跟 $\Bbb Q$ 同構。

$$
P \simeq \Bbb Q
$$

:::

定義以下的 *ring homomorphism*：

$$
\begin{align}
\phi : \Bbb Z &\to F
\newline
1 &\mapsto 1_F
\end{align}
$$

1. 因為 $\phi(1) = 1_F$，所以 $1_F$ 在 $\phi(\Bbb Z)$ 中。也就是：

$$
1_F \in \Bbb \phi(\Bbb Z)
$$

2. 因為 $\phi(1) = 1_F \in P$，而且 $P$ 是一個 *field*，所以：

$$
\phi(0) = 0 \Rightarrow\phi(\underbrace{-1 + 1}_{0}) = \phi(-1) + \phi(1) = 0
$$

換句話說，$\phi(-1)$ 也會在 $P$ 中：

$$
\phi(-1) \in P
$$

因為他就是 $1_F$ 的加法反元素。

3. 既然 $\phi(1), \phi(-1)$ 都在 $P$ 中，因此整個 $\phi(\Bbb Z)$ 都會在 $P$ 中：

$$
\phi(\Bbb Z) \subseteq P
$$

接下來分兩個狀況討論。

1. ($p > 0$)：這時 $\phi(\Bbb Z)$ 跟 $\Bbb Z/p\Bbb Z$ 同構，而 $\Bbb Z/p\Bbb Z$ 是一個 *field*，所以 $\phi(\Bbb Z)$ 是一個包含 $1_F$ 的 *field*，而且他還包在 $P$ 當中：

$$
1_F \in \underbrace{\phi(\Bbb Z)}_{\text{a field}} \subseteq P
$$

另外一方面，因為 $P$ 是「所有包含 $1_F$ 的 *subfield* 的交集」，所以：

$$
P \subseteq \phi(\Bbb Z)
$$

因此：

$$
P = \phi(\Bbb Z) \simeq \Bbb Z/p\Bbb Z
$$

2. ($p = 0$)：這時候 $\ker \phi = \{0\}$，所以是個 *injection*。換句話說整個 $\Bbb Z$ 可以透過 $\phi$ 嵌入 $F$ 當中：

$$
\Bbb Z \overset{\phi}{\hookrightarrow} P
$$

由 *field of fraction* 的性質，可以把 $\Bbb Z$ 嵌入 $P$ 這個 *field* 的話，$\Bbb Z$ 做出來的 *field of fraction*，也就是 $\Bbb Q$，也塞在 $P$ 當中。也就是存在一個 *injective homomorphism* $\psi$，使得 $\psi(\Bbb Q)$ 是一個 $P$ 中的 *subfield*：

$$
\text{Frac}(\Bbb Z) = \Bbb Q \overset{\psi}{\hookrightarrow} P
$$

既然 $\psi(\Bbb Q)$ 是個 $P$ 的 *subfield*，所以也是個 $F$ 的 *subfield*。所以他的單位元跟整個 *field* 的單位元一定要一樣，因此一定要包含 $1_F$：

$$
1_F \in \underbrace{\psi(\Bbb Q)}_{\text{a field}} \subseteq P
$$

可是 $P$ 是所有包含 $1_F$ 的 *subfield* 中最小的，所以：

$$
P \subseteq \psi(\Bbb Q)
$$

因此就得到：

$$
\psi(\Bbb Q) = P
$$

所以 $\psi$ 不只是 *injection*，還是一個 *surjection*。所以就得到：

$$
\Bbb Q \simeq P
$$

:::spoiler

> Since
>
> $$
> \Bbb Z/\ker \phi \hookrightarrow F
> $$
>
> If char $F$ is $p$, then
>
> $$
> \Bbb Z/p\Bbb Z = \Bbb F_p \hookrightarrow F
> $$
>
> IF char $F$ is $0$, then
>
> $$
> \begin{align}
> &\Bbb Z \hookrightarrow F
> \newline
> & \Rightarrow \Bbb Z \hookrightarrow \Bbb Q \hookrightarrow F
> \end{align}
> $$
>
:::

## 敘述：Field Homomorphism 不是嵌入就是 0

:::danger

假定 $F, F'$ 是兩個 *field*，且：

$$
\varphi : F \to F'
$$

是一個 *ring homomorphism*。則 $\varphi$ 會恰好滿足下面其中一點：

1. $\varphi$ 是個 *injection*。
2. $\varphi$ 是個 *zero homomorphism*。

:::

這是因為 *ring homomorphism* 的 *kernel* 是個 $F$ 中的 *ideal*：

$$
\ker \varphi \unlhd F
$$

但是 $F$ 是一個 *field*，所以裡面的 *ideal* 只可能是 $\{0\}$ 或是整個 $F$。所以：

$$
\begin{align}
&(\ker \varphi = 0)
\newline
&\text{or }(\ker\varphi = F)
\end{align}
$$

是 $\{0\}$ 的狀況就是 $\varphi$ 是 *injection*; 是整個 $F$ 就對應 $\varphi$ 是 $0$。