# Week 11 - Descrete-Time Modeling (Part 1)

# Descrete-Time Modeling

知道數位類比轉換的過程該怎麼處理之後，現在就可以試著把這個動態加入控制系統的分析當中。首先，先看一個比較簡單的系統：


加入數位控制器後，整個系統訊號的流程大致是：

1. 電腦下一個離散的輸出 $t_m(k)$
3. 這個離散的輸出透過 *D/A* 轉換，變成連續的訊號，傳給連續系統。
4. 連續系統接收後，動態改變。
5. 連續系統的回授經由 *A/D* ，轉換成離散的訊號，傳給處理器作為計算的參考(比如在這個例子中是速度 $\omega(k)$)

接下來，示範兩種處理這個系統的方法：第一個方法先做連續系統 Laplace 分析，然後加入 ZoH; 第二個方法則是查表。

## Method 1

> (這個詳細的過程在 handout-1 中。上課時教的過程大致的過程有 8 個步驟。但為了筆記方便有些步驟合併起來。

### Step 1 : 解連續系統

==解連續系統的行為(這其實包含 4 步：找到 DE、做保留初始條件的 Laplace 等等)。這邊最最最最最重要的是==做 Laplace 的時候要保留初始條件==。以馬達系統為例，假定輸入是力矩，輸出是角速度。則微分方程是：

$$
J\frac {d}{dt}\omega = T_m
$$

對微分方程進行拉普拉斯轉換：

$$
W (s) - \omega(0) = \frac {1}{J} T_m(s)
$$

因此：
$$
W(s) = \frac {1}{s} \omega(0) + \frac {1}{Js} T_m(s)
$$

在這邊都是在連續時間做的東西。接下來就要開始進到離散時間了。

### Step 2 : 加入 ZoH

==在 manipulated input 加入 zero order hold==。注意這邊==只有 manipulated input 需要加。其他不是 manipulated input 的就不要動！==。也就是令：

$$
T_m = T_{m, ZoH} = t_{mag, t=0} \cdot \frac {1}{s}
$$

這個概念其實是這樣：對連續系統看到的是 ZoH 作用後產生的連續訊號，一段一段分段討論。但其實等一下會發現：只要找出第一段，後面的就可以立刻找出來，所以只要找第一段，也就是 $[0, T]$ 的行為就好。

在 $[0, T]$ 的時間來說，系統看到的輸入，會是被 ZoH 之後的輸入，也就是：

$$
T_m = T_m(t = 0)\cdot \frac{1}{s}
$$

把他帶入之後，得到 Laplace 域的輸出是：

$$
W(s) = \frac {1}{s} \omega(0) + \frac {1}{Js^2}T_m(t = 0)
$$

而這個就是在 $t \in [0, T]$ 的時間內，系統的響應。

### Step 3 : 做 Inverse Laplace Transform

==做 inverse Laplace transform==：

$$
\omega(t) = \omega(0) + \frac {t}{J}T_m(t = 0) \quad \forall t \in [0, T]
$$

不過這東西現在只包含了那個 $[0, T]$ 之間的行為。不過這樣 sample 只做了一半，因為還有 $\omega$ 要處理。

### Step 4 : 觀察遞迴關係

==Find the sample instance==：把 $t = T$ 帶入，可以得到 $\omega(1T)$ 時候，系統的速度應該要是：

$$
\omega(1T) = \omega(0) + \frac {T}{J}T_m(0)
$$

### Step 5 : 找到差分方程

==遞迴推廣==：有了上面的結論之後，很容易可以推廣出：

$$
\omega(k) = \omega(k - 1) + \frac {T}{J}T_m(k - 1)
$$

其中 $\omega(k)$ 是指 $\omega(kT)$ ，但因為太懶惰了所以就只寫前面的整數。

接下來就可以用類似 DP 的方式找出響應：

   w[2] = {W_NINT, 0};
   n = 0;
   while(1) {
   		++n;
   		w[0] = w[1];
   		w[1] += T / J * T(n);
    }

## Method 2 : Z-Table

大致上的過程是：

1. 找到 $s$ domain 的轉移函數
2. 找到 sampled s-domain 的轉移函數
3. 找到 z-domain 的轉移函數
4. k-domain

### Step 1 : ODE

先做連續系統的轉移函數[1]：
$$
\frac {d\omega}{dt} = \frac {1}{J} t_m(t)
$$

### Step 2 : Laplace Transform Before Sampling

並且找出 Laplace Transform[2]：
$$
\frac {\bar\omega(s)}{T_m(s)}\bigg{|}_{B.S.} = \frac {1}{Js}
$$

### Step 3 : New System Dynamic with ZoH (Impulse -> ZoH)

然後把 ==impulse response 變成 ZoH 輸入，並且找到 ZoH 輸入下系統的動態==。這件事很重要！一定要用 ZoH Input (而不是 impulse response)。這件事情其實就是把「$輸入$」通通用「$ZoH \cdot 輸入$」代替。也就是令：
$$
\frac {\bar\omega(s)}{T_{m, ZoH}(s)} = NSD(s) = ZoH(s) \cdot \frac {1}{Js}
$$
因為：
$$
ZoH(s) = \frac {1 - e^{-sT}}{s}
$$
故：
$$
NSD(s) = (1 - e^{-sT})\frac {1}{Js^2}
$$

### Step 4 : Output Response Before Sample (by Z - table)

因此：
$$
\omega(t) =\mathcal L^{-1}\left[(1 - e^{-sT})\frac {1}{Js^2}\right]
$$
然後理論上應該要找出來 $\omega$ 之後 sample 他，然後從 sampled s domain 轉到 z-domain ... 。不過，如果有 z-table 的話，可以讓人生簡單一點。這個表大概像這樣：


所以，現在我們要做的事情就是查表：
$$
\frac {\bar \omega(z)}{T_{m, ZoH}(s)} =\mathcal Z\left[(1 - e^{-sT})\frac {1}{Js^2}\right]
$$
這個表的用法是這樣：$z = e^{sT}$，然後剩下的就照上面查：
$$
\begin{align}
\mathcal Z\left[(1 - e^{-sT})\frac {1}{Js^2}\right] &= \mathcal Z\left[(1 - e^{-sT})\right] \mathcal Z\left[\frac {1}{Js^2}\right] \newline
&= (1 - z^{-1})\frac {1}{J}\frac {Tz^{-1}}{(1 - z^{-1})^2} \newline
&= \frac {1}{J} \frac {Tz^{-1}}{1 - z^{-1}}
\end{align}
$$

### Step 5 : Difference Equation in k-domain

因為現在已經有：
$$
\frac {\bar \omega(z)}{T_{m, ZoH}(s)} = \frac {1}{J} \frac {Tz^{-1}}{1 - z^{-1}}
$$
把他交叉相乘：
$$
\bar \omega(z) - z^{-1} \bar \omega(z) = \frac {T}{J} z^{-1}T_{m, ZoH} (z)
$$
然後因為 $z^{-1} = e^{-sT}$，表示延後一個 $T$，所以就是：
$$
\bar \omega(k) - \bar\omega(k - 1) = \frac {T}{J} T_{m, ZoH}(k - 1)
$$
然後就發現：這個跟之前做出來的方法是用一樣的！