# 代數導論二 Week 6 (Part 4) - Field Extension as a Vector Space

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## 觀察：Field Extension 可以作為 Vector Space

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$。若：

1. 使用 $K$ 中元素的加法
2. 使用 $K$ 中元素的乘法作為 $K$ 中元素與 $F$ 中元素的係數積

則 $(K, F, +, \cdot)$ 是一個 $F$ 上的向量空間。

:::

## 定義：Degree of Field Extension

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$。若將 $K$ 視為 $F$ 上的向量空間時，$K$ 的維度為 $n$，則稱 $n$ 為 $K$ 這個 *extension* 的 *degree of extension*。並且寫作 $[K:F]$。即：

$$
[K:F] := \dim_F(K)
$$

若對於 *extension* $K$，$[K:F]$ 是有限的，那就稱 $K/F$ 這個 *extension* 是有限的。

:::

## 定理：Degree of Extension 的計數

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假定 $F$ 是一個 *field*，且：

$$
F \subseteq K \subseteq L
$$

並且 $K/F$ 且 $L/K$。則：

$$
[L:F] = [L:K][K:F]
$$

並且若等號其中一邊是無窮，則另外一邊也是無窮。

:::

### Case 1：Fnite

假定：

$$
[L:K] = m < \infty
$$

$$
[K:F] = n < \infty
$$

分別令 $K/F$ 與 $L/K$ 的基底為：

$$
A = \langle\alpha_1 \dots \alpha_m\rangle \text{ be basis of }L/K
$$

以及：

$$
B = \langle\beta_1 \dots \alpha_n\rangle \text{ be basis of }K/F
$$

這邊就直接猜：$L/F$ 的基底是：

$$
C = \bigcup_{i = 1}^{m}\bigcup_{j = 1}^{n}\{\alpha_i \beta_j\}
$$

#### Step 1：Span

會這樣猜是因為：如果把 $K$ 當成 $L$ 的 *field*，那對於任意 $x \in L$，都存在 $a_1 \dots a_m \in K$，使得：

$$
x = \sum_{i = 1}^m a_i \alpha_i \quad a_i \in K
$$

因為 $K$ 又是 $F$ 上的向量空間，所以每一個 $a_i \in K$ 又可以用 $\beta_1 \dots \beta_n$ 表出來：

$$
a_i = \sum_{j = 1}^n b_{ij}\beta_j \quad \beta_{ij} \in F
$$

所以對於每一個 $x \in L$，最終都可以表為：

$$
x = \sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}b_{ij}\boxed{\beta_j \alpha_i}
$$

也就是：

$$
L = \text{span}_F(C)
$$

#### Step 2：Linearly Independent

接下來就是要證明 $C$ 裡面的元素在 $L/F$ 上線性獨立。假定存在 $b_{ij} \in F$，使得：

$$
\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}b_{ij}\boxed{\beta_j \alpha_i} = 0
$$

把他看成：

$$
\sum_{i = 1}^{m}\left(\sum_{j = 1}^{n}b_{ij}\beta_j\right) \alpha_i = 0
$$

因為 $\alpha_1 \dots \alpha_m$ 在 $L/K$ 中都是線性獨立的，所以：

$$
\left(\sum_{j = 1}^{n}b_{ij}\beta_j\right) = 0 \quad \forall i
$$

再一次，因為 $\beta_1 \dots \beta_n$ 在 $K/F$ 中是線性獨立的，所以：

$$
b_{ij} = 0 \quad \forall i\forall j
$$

所以 $C$ 真的是 $L/F$ 上的基底。而 $C$ 是 $m$ 個 $A$ 跟 $n$ 個 $B$ 組合出來的，因此：

$$
[L:F] = mn = [L:K][K:F]
$$

### Case 2：Infinite

1. $[L:F]$ 無窮：用上面的狀況 $1$。因為狀況一的敘述是：

$$
\begin{align}
&([K:F] \text{ finite}) \text{ and }([L:K] \text{ finite})
\newline
&\Rightarrow ([L:F] \text{ finite})
\end{align}
$$

換句話說：

$$
\begin{align}
&([L:F] \text{ not finite})
\newline
&\Rightarrow ([K:F] \text{ infinite}) \text{ or }([L:F] \text{ infinite})
\end{align}
$$

1. $[L:K]$ 無窮：這表示 $L/K$ 中存在大小並非有限的線性獨立集。但既然 *field* 用比較大的 $K$ 都會線性獨立了，用比較小的 *field* $F \subseteq K$ 也會線性獨立（不然那個 $0$ 在 $L/F$ 非零的線性組合也會是一個 $K/F$ 中非零的線性組合）。但這就表示 $[L:F]$ 也是無窮的。

2. 假定 $[K:F]$ 無窮：同理，這表示 $K/F$ 存在大小非有限的線性獨立集。但把這個線性獨立集放到 $L/F$，因為 $K \subseteq L$，而且他用的 *field* 一樣是 $F$，所以這個無限的線性獨立集從 $K/F$ 放到 $L/F$ 之後，還是線性獨立。既然存在無限大的線性獨立集，所以 $[L:F]$ 也是無窮的。

## 推論：同一個體上的 Extension 互相包含，則 Degree 整除 (C13)

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $L/F$ 跟 $K/F$ 都是是 $F$ 的 *field extension*。若 $K$ 是 $L$ 的 *subfield*，則：

$$
[K:F] \mid [L:F]
$$

:::

## 例子：判斷是不是 Irreducible

:::danger

假定：

$$
F = \Bbb Q (\sqrt[6]{2})[x]
$$

則以下的多項式：

$$
g(x) = x^3 - \sqrt{2}
$$

在 $F[x]$ 中是 *irreducible* 的。

:::

這時候可以觀察，因為：

$$
\Bbb Q \subseteq \Bbb Q(\sqrt{2}) \subseteq \Bbb Q(\sqrt[6]{2})
$$

1. 由 *Eisenstein* 可以知道 $x^6 - 2$ 在 $\Bbb Q$ 中是 *irreducible*，而且是 $\sqrt[6]{2}$ 的 *minimal polynomial*，所以

$$
[\Bbb Q(\sqrt[6]{2}):\Bbb Q] = 6
$$

2. 同理，對 $[\Bbb Q(\sqrt{2}):\Bbb Q]$，有：

$$
[\Bbb Q(\sqrt{2}):\Bbb Q] = 2
$$

3. 因為：

$$
\underbrace{[\Bbb Q(\sqrt[6]{2}):\Bbb Q]}_{6} = [\Bbb Q(\sqrt[6]{2}):\Bbb Q(\sqrt{2})]\underbrace{[\Bbb Q(\sqrt{2}):\Bbb Q]}_{2}
$$

所以就有：

$$
[\Bbb Q(\sqrt[6]{2}):\Bbb Q(\sqrt{2})] = 3
$$

因此 *degree of extension* 就是 $3$，所以 $\Bbb Q(\sqrt{2})[x]$ 中，$\sqrt[6]{2}$ 的 *minimal polynomial* 次數就要是 $3$。然後就發現對 $g$ 這個 $\Bbb Q(\sqrt{2})[x]$ 中的三次多項式來說，$\sqrt[6]{2}$ 是他的根：

$$
g(\sqrt[6]{2}) = (\sqrt[6]{2})^3 - \sqrt{2} = 0
$$

所以 $g(x)$ 就是 $\sqrt[6]{2}$ 的 *minimal polynomial*，因此就 *irreducible*。