# 代數導論二 - Third Isomorphism Theorem

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## 定理：Third Isomorphism Theorem

:::danger

假定 $R$ 是一個 *ring*，$I, J$ 是 $R$ 中的 *ideal*，且 $I \subseteq J$。則：

1. $\bar J$ 是一個 $\bar R$ 的 *ideal*

$$
\boxed{\bar J \unlhd \bar R}
$$

2. 兩者有以下關係：
$$
\boxed{\bar R/\bar J \simeq R/J}
$$

:::

第一個敘述直接由 *Lattice Isomorphism Theorem* 得到。所以現在只要證明同構的關係就可以了。現在的狀況是這樣：有一個 $R$ 中的 *ideal* $I$，那麼就可以對他做 *quotient*：


假定現在 $\bar R$ 中有另外一個 *ideal* $\bar J$，那麼這個 *ideal* 也可以在 $\bar R$ 中衍生出一個投影：


除此之外，這個 *ideal* 可以先把 $\bar J$ 用 $\pi_I$ 拉回 $R$ 當中，這時會得到一個 *ideal* $J = \pi_I^{-1}(\bar J)$。這個 $J$ 也會衍生出一個投影：


如果這時候把 $\pi_I$ 跟 $\pi_{\bar J}$ 接起來，就會得到另外一個 *surjection*：


而且可以發現：$\ker (\pi_{\bar J} \circ \pi_I)$ 剛好就是 $J$。因為：

$$
\begin{align}
\pi_I(r) \in \bar J
\end{align}
$$

換句話說：

$$
r \in \pi_I^{-1}(\bar J) = J
$$

也就是：

$$
r \in J
$$

所以依照第一個 *homomorphism* 定理，就有下面這個 *isomorphism*：