# 系動 Part 1 : 簡介 + 數學基礎

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# Chapter 1 - Intro 2 System Dynamics

*"Dealing with the mathematical modeling of dynamics systems and response analysis of such system with view toward understanding the dynamics native of each system's permance."*

簡單來說，系動這門課，就是透過觀察某個系統對某些輸入的反應，去了解系統的特性。了解之後再去做改良（像是控制等等以下省略萬字的東西）。

*Def : A system is called __dynamic__ if its present output depends on past input. Otherwise is called __static__.*

「動態」表示系統當下的輸入，會受到過去狀態的影響; 反之，如果當下的輸入不受到過去的影響，那就叫做「靜態」。

靜態系統只要當下輸入固定，輸出也就固定了。但動態系統未必（因為會被過去影響）。所以也可以換種說法：輸入不變，但是輸出會變的系統，一定是動態系統。

舉例：理想彈簧受力：

$$F = kx$$

因為這個系統受力只與當下的位移有關，因此是個靜態系統。但若為真實狀況的彈簧，彈簧受力後的形變需要時間，以及需要考慮彈簧質量等等。在這種考量下，彈簧是個動態系統。

上面這個例子可以知道，在建立系統模型的時候，系統模型的精確程度，與數學的複雜程度往往是難以兩全的。

## Equations

系統的統御方程式可能分成下面幾種：

1. Linear time invariant system(LTI)：e.g.

$$x'' + 5x' + 10x = f$$

2. Linear time variant :

$$x'' + \left(1 - \cos 2t\right)x = 0$$

3. Nonlinear

$$作業 2 $$

下面會介紹一些處理系統時常常做的事情（不過還滿介紹性的）。

## Modeling

幫系統找出適當的數學模型。通常步驟如下：

1. Draw s schematic diagram and define variables
2. Using physcal laws, write equations.
3. Model validation

這其實比較介紹性。

## Analysis

System analysis means the integration under specific conditions of the performance of a system whose mathematical model is known

## Synthesis

the use of an explicit procdure to find a system that will perform in a specific way.

## Objective of the course

1. To build mathematical models that closely represent behaviors of physical systems.
2. T odevelop system responses to various inputs so that one can effectively analyze, design, and control dynamics systems.

# Chpter 2 The Laplace Transform

## Complex numbers, variables, and functions.

前面左轉工數或是 一2 三34 ㄏㄏ。

## Laplace Transform

$$\mathcal L[f] = \int_{0}^\infty f(t) \cdot e^{-st}dt$$

$$\mathcal L^{-1}[f] = \frac {1}{2\pi j} \int_{0 - j\omega}^{0 + j\omega}F(s)e^{st}ds$$

其中一個好處是可以把微分變成代數運算。注意 Laplcace Transform 積分要收斂，轉換才存在，才可以使用。阿要怎樣才會收斂？只要:

1. $f(t)$ 在 t > 0 是 piecewise continuous

2. $f(t)$ 的 Order 比指數小：

$$f(t) = O\left(e^{t}\right)$$

另外， Laplace Transform 未必全域均收斂，因此

$\sigma_c$ : abscissca of convergence

$$e^{-\sigma t}|f(t)| \to 0 \forall \sigma > \sigma_c$$
$$e^{-\sigma t}|f(t)| \to \infty \forall \sigma < \sigma_c$$

e.g. :

不存在的狀況：

$$f(t) = e^{t^2}$$

存在的狀況：

$$f(t) = \begin{cases}e^{t^2} \forall x \in [0, T] \\0,\ otherwise\end{cases}$$

## 一些函數的 Laplace Transform

顆顆懶得寫自己去查。

$$\mathcal L[e^{-\alpha t}] = \frac 1{}{s + \alpha}$$

$$\mathcal L[1(t)] = \frac {1}{s}$$

$$\mathcal L[\sin\omega t] = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}$$

$$\mathcal L[\cos\omega t] = \frac {s}{s^2 + \omega^2}$$

## Translate Function

主要是小心平移的時候注意前面值的行為，不要平移錯。另外 Laplace 平移的性質是：

$$\mathcal L[f(t - a)\cdot 1(t - a)] = e^{-as}F(s)$$

主要是注意注意平常寫 Laplace 時因為都是從 0 開始，就像是前面黏一個 step function。所以當平移的時候，那個 step 也要跟著平移。

## Pulse function

考慮函數：

$$f(t) = \begin{cases}\frac {A}{t_0}\ \ ,\forall t \in [0, t_0]\\ \\ 0,\ otherwise\end{cases}$$

做出 Laplace Tranform 會是：

$$\mathcal L [f] = \frac {A}{t_0 s}(1 - e^{-st_0})$$

可注意在 time domain 多一個平移，在 s domain 會多一個 decay 的項。

### Impulse

上面那個東西讓 $t \to 0$。因此：

$$\mathcal L [\lim_{{t_0} \to 0}f(t)] = \lim_{{t_0} \to 0}(\frac {A}{t_0 s}(1 - e^{-s t_0})) = A$$

證明是用羅必達上下微分，不過泰勒取第一項展開更快：

$$\frac {A}{t_0 s}\left(1 - e^{-s t_0}\right) = \frac {A}{t_0 s}\left( 1 - \left(1 + \frac {-st_0}{1!} + \frac {(-st_0)^2}{2!} + ...\right) \right) \to A\ as\ t_0 \to 0$$

當 $A = 1$，這東西就是 Delta Function。

### Delta Function 的微分

$$f(t) = \frac {1}{a^2}1(t) - \frac {2}{a^2}1(t - a)$$

Laplace Transform 為：

$$\frac {1}{a^2s}(1 - 2e^{-as} + e^{-2as})$$

當 a 趨近 0 時，可發現：

$$\lim_{a \to 0}F(s) = s$$

這裡其實用泰勒展開做極限比較順。注意這個東西會比剛剛 impulse 的 Laplace Transform 多出一個 s。不過這也很合理， s 有微分的意義。

### 三角波


湊出這個函數的方法是：

1. 先湊一個方波脈衝
$$1(t) - 1(t - a)$$
2. 再湊一個 ramp：
$$\frac {b}{a}t \cdot 1(t)$$
3. 乘起來把那一段 ramp 過濾出來：
$$\frac {b}{a}t \cdot 1(t) - \frac {b}{a}t \cdot 1(t - a)$$

對這東西做 Laplace Transform

$$\begin{align}f(t) &= \frac {b}{a}t \cdot 1(t) - \frac {b}{a}t \cdot 1(t - a)\\& = \frac {b}{a}t \cdot 1(t) - \frac {b}{a}(t - a)\cdot 1(t - a) - b\cdot 1(t - a)\\ & \Rightarrow F(s) = \frac {1}{s^2} - \frac {e^{-as}}{s^2} - b\frac {e^{-as}}{s}\end{align}$$

## Lower Limit of Laplace transform

零正或零負有沒有影響？

$$\mathcal L[f] = \int_{0-}^\infty f(t) \cdot e^{-st}dt$$
$$\mathcal L[f] = \int_{0+}^\infty f(t) \cdot e^{-st}dt$$

關鍵在於差一個 impulse。這在討論 impulse 的時候會有出入，如果下限是選取零正的話，那麼 impulse 就不會被包到。

## 更多性質：ㄏㄏ自己去查。
* 微分/積分：
$$\mathcal L[f^{(n)(t)}] = s^nF(s) - \left(s^{n-1}f(0) + s^{n-1}f^{(1)}(0) + ...f^{n-1}(0)\right)$$

$$\mathcal L\left[\int f(t)\right] =\frac{F(s)}{s} + \frac {\int f(t)dt \bigg{|}_{t = 0}}{s}$$

Observation：

觀察：

$$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n - 1)} + ... + a_1 y$$

只有最高次項：

$$a_n y^{(n)} $$

會噴出：

$$s^{n - 1}$$

係數是：

$$a_{n}f(0)s^{n - 1}$$

只有前兩個最高的項：

$$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n - 1)}$$

會噴出：

$$s^{n - 2}$$

係數是：

$$a_{n}f^{(1)}(0) + a_{n - 1}f(0)$$

所以就發現，係數有點像是：

$$\begin{cases}
ini[n - 1] = \left[f^{(n - 1)(0)}, f^{(n - 2)}(0), ...f^{(1)}(0),\ f(0)\right] \\ \\
coef[n] = \left[a_{n}, a_{n - 1}...a_{2}, a_{1}\right]
\end{cases}$$

做一個有點像 Convolution 的計算。

* 終值定理
如果 $f(t)$ 在 $t\to \infty$ 收斂的話，則：

$$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0}sF(s)$$
如果不收斂的話就會死。工數自控都有這個教訓。

* 初值定理

$$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty}sF(s)$$

* 週期函數：
$$
\begin{align}
L[f(t)]=&\sum_{0}^{\infty}\int_{nT}^{(n+1)T}f(t)e^{st}dt \\& = \sum_{n}^{\infty} e^{-nTs}\int_{0}^{T}f(\tau + nT)e^{-s\tau}d\tau \\&=
\int_{0}^{T}f(\tau + nT)e^{-s\tau}d\tau\sum_{n}^{\infty} e^{-nTs} \\&=
\left(\int_{0}^{T}f(\tau + nT)e^{-s\tau}d\tau\right)\sum_{n}^{\infty}e^{-nTs} \\& =
\frac {e^{-nTs}}{1-e^{-Ts}}
\end{align}$$

## Inverse Laplace Transform

考慮一個二階系統：

$$mx'' + cx' + kx = F(s)$$

在初始提件：

$$\begin{cases}
x(0) = x_0 \\ \\
x'(0) = x'_0
\end{cases}$$

其響應為：

$$X(s) = \frac {(ms + c)x_0 + mx_0'}{ms^2 + cs + k} + \frac {F(s)}{ms^2 + cs + k}$$

接下來帶點數字作觀察：

### 觀察 1 : 系統輸出的分類

假定系統現在長這樣：

$$\begin{cases}[m, c, k] = [1, 4, 3]\\ \\
[x_0, x'_0] = [1, 0] \\ \\
F(s) = \frac {2}{s}\end{cases}$$

因此，響應變成：

$$X(s) = \frac {s + 4}{s^2 + 4s + 3} + \frac {2}{(s^2 + 4s + 3)s}$$

將這兩項各自做分解：

$$X(s) = \left(\underbrace{\frac {-\frac {1}{2}}{s + 3} + \frac {\frac {3}{2}}{s + 1}}_{1. }\right) + \left(\underbrace{\frac {\frac {1}{3}}{s + 3} + \frac {-1}{s + 1}}_{2. } + \underbrace{\frac {\frac {2}{3}}{s}}_{3. }\right)$$

可以觀察到：

1. 初始條件會對系統暫態造成影響（1. 的部分），但是對穩態(3. )並沒有影響。
2. 輸入送進系統之後，輸出除了有 DC 的穩態輸出(3. )之外，還多了一些跟系統本身被激發出的反應（2. ），但這些反應只會對暫態有貢獻，對穩態沒有影響。

所以簡單來說，就是：

$$輸出\begin{cases}穩態 \\ \\ 暫態 \begin{cases}初始條件 \\ 系統被輸入激發的響應\end{cases}\end{cases}$$

### 觀察 2 : Heaviside's Formula

現在把系統變成：

$$\begin{cases}[m, c, k] = [1, 4, 4]\\ \\
[x_0, x'_0] = [1, 0] \\ \\
F(s) = \frac {2}{s}\end{cases}$$

帶入剛剛那坨柿子，得到：

$$X(s) = \frac {s + 4}{(s + 2)^2} + \frac {\frac {2}{s}}{(s + 2)^2}$$

看到 double pole 要做分解，可能會想土炮的用：

$$\frac {a}{(s + 2)^2} + \frac {b}{(s + a)}$$

不過，也可以考慮用 Heaviside's Formula

$$\begin{cases}P_{0}(s)\sum_{n=1}^{n}\frac {P_k}{(s + a)^k}\\ \\
P_{n - i} = \frac {1}{i!}\frac {d^i}{ds^i}\left[(s+a)^n \frac {P_{0}(s)}{(s+a)^n}\right]\end{cases}$$

其實等價於 Residue Theorem 版本的 Inverse Laplace Transform。

### 觀察 3 : 初始條件 = 輸入

由剛剛的討可以發現：初始調件可以當一個輸入。這對系統的詮釋很有幫助。比如說有一個系統長這樣：

$$\begin{align}X(s) &= \frac {s(5s^2 -s + 5)}{(s^2 + 1)(2s^2 + s + 1)}\\ \\& = \frac {\frac {5s^3 + 5s -s}{s^2 + 1}}{2s^2 + s + 1} \\ \\&= \frac {5s - 1}{2s^2 + s + 1} + \frac {\frac {1}{s^2 + 1}}{2s^2 + s + 1}\end{align}$$

對比剛剛二階系統的響應形式：

$$\frac {(ms + c)x_0 + mx_0'}{ms^2 + cs + k} + \frac {F(s)}{ms^2 + cs + k}$$

可知該系統能夠視為：

$$\begin{cases}x_0 = 5\\x_0' = \frac {7}{4}\\f = \sin(t)\\m = 2 \\c = 1 \\ k -= 1\end{cases}$$

的二階系統。

所以，本來以為是一個四階系統，現在可以看成一個有某個輸入 & 初始條件的二階系統。是一件方便的事。

### 觀察 4 : 已知的輸出湊出未知的輸出

舉例來說已知一個二階系統：

$$\frac {\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta s + \omega_n^2}$$

的 step response 是：

$$y_1(t) = 1 -e^{-\zeta \omega_n t} \frac {\sin(\omega t + \theta)}{\sin\theta}$$

假設現在想求 impulse response ，可以直接對 transfer function 做垃氏轉換。不過這裡可以發現兩個只差一個 s，所以直接把：

$$\frac {dy_1}{dt} = \frac {\omega_n}{\beta}\sin(\omega\theta)$$

就可以得到 impulse response。

有更快的方法嗎？有的。直接配方 $G(s)$：

$$\begin{align}\frac {\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta s + \omega_n^2}& = \frac {\omega_n^2}{(s + \zeta \omega_n)^2 + \sqrt{1 -\zeta^2}^2 \omega_n^2} \\ \\& = \frac {\omega_n}{\beta}\frac {\sqrt{1 - \zeta ^ 2}\omega_n}{(s + \zeta \omega_n)^2 + \sqrt{1 -\zeta^2}^2 \omega_n^2}\end{align}$$

然後就可以瞬間看出右邊那坨東西是 sin 的長相，直接做拉式轉換即得。

## Numerator Dynamic

加一個 zero 進去會有什麼效果。先講結論：影響暫態行為。因為直覺上來說，加 zero 就是加一個原先響應 + 原來響應的微分嘛。

### 例子：二階系統加 Zero

舉例來說，把一個二階系統加上一個 zero

$$\frac {\omega_n^2}{s^2 + \alpha\zeta s + \omega_n^2} \frac {s + \zeta \omega_n}{\alpha\zeta \omega_n}$$

令
$$\bar{s} = \frac {s}{\omega_n}$$

得到：

$$\frac {1}{\bar{s}^2 + 2\zeta\bar{s} + 1} + \frac {1}{\alpha\zeta}\bar{s}\frac {1}{\bar{s}^2 + 2\zeta\bar{s} + 1}$$

這剛剛印證了剛剛的推測。另外，也可以發現 zero 越近實軸，微分項影響越大。

另外一個例子：

$$G_1(s) = \frac {6}{s^2 + 10s + 16} = \frac {1}{s + 2} + \frac {1}{s + 8}$$

$$G_1(s) = \frac {6s + 6}{s^2 + 10s + 16} = \frac {-1}{s + 2} + \frac {7}{s + 8}$$

可以發現系統的 mode 都不變，只有各個 mode 的係數改變了。

### 例子：Damper Location


差別是 Damper 是浮動的或是接地的。

系統 1 的轉移函數為：

$$\frac {cs + k}{ms^2 + cs + k}$$

系統 2 的為：

$$\frac {k}{ms^2 + cs + k}$$

把題畫完之後可以發現有 zero 的系統會讓響應噴一波，也驗證剛剛的推測。