# 代數導論 (23) - Sylow Theorem (例子)

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研究有限群的其中一個目的是「從群的大小鐵口直斷這個群有什麼性質」。比如說之前就證明過：大小是質數的群一定 *cyclic*、個數為質數平方的群必定 *abelian* 等等。而西羅定理某些程度來說可以從有限群大小的質因數分解，去對群的結構與性質作一些推論。這裡舉出一個例子：

## 例子：|G| = pq

接下來討論的情境是這樣：

:::warning

假定 $G$ 是個有限群，且：

$$
|G| = pq
$$

其中，$p, q$ 都是質數，且 $p < q$。
:::

從西羅定理可以知道：這樣的群必定存在一個 $p$ *Sylow-subgroup*，也存在一個 $q$ *Sylow-subgroup*。

## q 的討論

首先，對於那個 $q$ *Sylow-subgroup*。由西羅定理知道：假定 $r_q$ 是 $q$ *Sylow-subgroup* 的數目，那麼 $r_q$ 必須滿足：

$$
r_q \mid p
$$

但因為 $p$ 是質數，所以 $r_q$ 的可能數目只有兩種：

$$
r_q \in \{1, p\}
$$

但另外一方面，西羅定理也說：$r_q$ 必須具有 $1 + nq$ 的形式，其中 $n$ 是整數。但因為 $q > p$，所以如果 $n$ 是任何比 $1$ 大的整數，那麼 $1 + nq$ 就一定會比 $p$ 跟 $1$ 都大。因此，$r_q$ 不可能是 $p$。所以唯一的可能就是 $r_q = 1$。或是說：

$$
\boxed{\text{Syl}(q) = 1}
$$

套用西羅定理的推論：當有人說他是唯一的 *Sylow-subgroup* 時，他會有一堆等價條件。其中一個是：

$$
\boxed{Q \lhd G}
$$

其中，$Q$ 代表的是 $G$ 中的那個 $q$ *Sylow-subgroup*。

## p 的討論

類似地，為了方便，令 $\text{Syl}(p) = r_p$對於 $G$ 中的 $q$ *Sylow-subgroup*，必須要同時滿足下面兩個條件：

$$
\begin{align}
r_p &= 1 + kp
\newline
r_p &\mid\ q & \Rightarrow r_p \in \{1, q\}
\end{align}
$$

就目前來說，不太能對 $q$ 推論些什麼，因為如果 $q$ 很大，$k$ 就有很多個候選，這樣一來 $r_p$ 就有很多候選，所以有點難在這邊就直接決定。但還是可以做些推論，比如說可以證明：

既然 $p < q$，所以 $p, q$ 是兩個不一樣的質數。因此，這兩個 *Sylow-subgroup* 的交集所形成的子群，大小既要是 $p$ 的因數，也要是 $q$ 的因數。但在 $p, q$ 都是質數的狀況下，這個大小只有可能是 $1$。因此，唯一的可能就是：

$$
\boxed{P \cap Q = \{1\}}
$$

但這樣一來，套用 *Diamond isomorphism theorem*，就會發現：

$$
|QP| = \frac {|P| \cdot |Q|}{|P \cap Q|} = |P|\cdot |Q| = pq
$$

換句話說：$QP$ 跟 $G$ 的大小根本一樣。所以就得到：

$$
\boxed{QP = G}
$$

事實上，可以證明：

:::danger

**Lemma**

假定 $G$ 是一個群，且 $H, K$ 均為 $G$ 的子群。並且三者同時滿足下列三項條件：

$$
\begin{align}
HK &\leq G
\newline
(H \cap K) &= \{1\}
\newline
HK &= G
\end{align}
$$

則下面這個映射是 *isomorphism*：

$$
\begin{align}
\Phi : H \times K &\to G
\newline
(h, k) & \to hk
\end{align}
$$

也就是說，在這個狀況下：

$$
H \times K \simeq G
$$
:::

這邊注意的是：在 *Diamond Isomorphism Theorem* 中，講到 $HK \leq G$ 要成立，可以用兩件事：一個是 $H \leq G$，另外一個是 $HK = KH$。而在現在的狀況中，使用的是 $H \leq G$; 後面會有一個利用 $HK = KH$ 的例子。

首先，對於任意 $h \in H$ 及任意 $k \in K$：

$$
hkh^{-1}k^{-1} = \underbrace{(hkh^{-1})k^{-1}}_{\in K} = \underbrace{h(kh^{-1}k^{-1})}_{\in H}
$$

但 $H, K$ 的交集只有 $1$，所以：

$$
hkh^{-1}k^{-1} = 1 \Rightarrow hk = kh
$$

由上面這個事實，可以證明 $\Phi$ 是個 *homomorphism*：

$$
\begin{align}
\Phi((h_1, k_1)(h_2, k_2)) &= \Phi((h_1h_2, k_1k_2))
\newline
&= h_1h_2k_1k_2
\newline
&= (h_1k_1)(h_2k_2)
\newline
&= \Phi((h_1, k_1))\Phi((h_2, k_2))
\end{align}
$$

另外一方面：因為 $|HK|$ 跟 $|G|$ 一樣，*injection* 跟 *surjection* 只要證明一個就夠了。而證明 *injection* 只要證明 *kernel* 只有 $1$。但這容易證明。因為對於任意 $g \in G$，都有 $g = hk$，其中 $h \in H$ 且 $k \in K$。因此：

$$
hk = 1 \Rightarrow \underbrace{h}_{\in H} = \underbrace{k^{-1}}_{\in K}
$$

但因為 $H \cap K$ 裡面只有 $1$，所以唯一的可能就是：

$$
h = k = 1
$$

由此得證。

而更詳細的構造，可以再細分討論：

### CASE 1：不是 q

假定：

$$
r_p = 1 + kp \neq q
$$

或者用課本上的說法，等價地：

$$
p \not \mid q - 1
$$

在這個狀況下，$r_p$ 只能是 $1$。所以，就跟剛剛一樣：

$$
\boxed{\text{Syl}(p) = 1}
$$

以及：

$$
\boxed{P \lhd G}
$$

而套用前面的推論，也可以知道：

$$
\boxed{QP \simeq G}
$$

但由柯西定理，「大小為質數的群一定是循環群」，所以這邊就有：

$$
\begin{align}
P &\simeq \mathbb Z /p\mathbb Z
\newline
Q & \simeq \mathbb Z/q\mathbb Z
\end{align}
$$

因此，套用 *Lemma*，得到：

$$
G \simeq (\mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/q\mathbb Z)
$$

更進一步，還可以證明：

:::danger

**Lemma**

假定 $(m, n) = 1$，則：

$$
\begin{align}
\mathbb Z/mn\mathbb Z &\to \mathbb Z/m \mathbb Z \times \mathbb Z/n\mathbb Z
\newline
(a \text{ mod } mn) &\to (a \text{ mod } m, a \text{ mod } n)
\end{align}
$$

是一個 *isomorphism*。
:::

*Homomprhism* 由同餘的乘法運算就可以直接得到。因為取餘數有：

$$
\begin{align}
a &= r_1 \mod m
\newline
b &= r_2 \mod m
\end{align}
\Rightarrow
ab = r_1r_2 \mod m
$$

所以，假定：

$$
\begin{align}
\bar u &\mapsto (\overline m_1, \overline n_1)
\newline
\bar v &\mapsto (\overline m_2, \overline n_2)
\end{align}
$$

則有：

$$
\begin{align}
\bar u \cdot \bar v = \overline{uv} \mapsto& (\overline{m_1m_2}, \overline{n_1n_2})
\newline
&= (\overline m_1 \cdot \overline m_2, \overline n_1 \cdot \overline n_2)
\newline
&=(\overline m_1, \overline n_1)\cdot (\overline m_2, \overline n_2)
\end{align}
$$

其中，上面的推論是用在 $\mapsto$ 的左右兩側。因此得證這是一個 *homomorphism*。

而 *bijection* 的部分，可以觀察：因為左邊有 $mn$ 個元素，右邊也有 $mn$ 個元素，所以證明 *injection* 就自動證明完了。但如果 $a$ 被送到 $(\bar 0, \bar 0)$，這表示：$a$ 既是 $m$ 的倍數，也是 $n$ 的倍數，因此也是 $mn$ 的倍數，所以就必定在左邊的 $\bar 0$ 中，因此得證 *injection*。

這樣一來，套用到上面的結論，就有：

$$
G \simeq \mathbb Z /pq \mathbb Z
$$

### CASE 2：是 q

$$
r_p = 1 + kp = q
$$

或者說：

$$
p \mid q - 1
$$

這個狀況下，後面會證明：有一個唯一的，大小為 $pq$ 的 *non-abelian group*。不過這邊還沒有足夠的工具。