# [流力] 第一週筆記

# 概覽

回顧以前學過的力學：

* Statics : $\Sigma F = 0, \Sigma M = 0$
* Dynamics：
* Kinematics : $x, v, a$
* kinetics : $\frac {dP}{dt} = F$
* Work and Energy

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實際上流體力學架構也不出這些：

* Statics : 第三章
* Dynamics：
* Kinematics : 第四章
* kinetics : 第六章
* Work and Energy : 第五章

* 應用：open flow, internal flow, Navier-Stokes

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# 流體力學中出現的力：

主要分成兩種：

* body force : 重力、電磁力、E, B等等可以當成集中在質心的力
* Surface Force : 靜壓、黏滯力、表面張力

# 「流體」的定義

不過講這麼多還是不知道流體是什麼，所以這裡先來定義流體是什麼。

Fluid : 施加「剪應力」的時候，會「持續變形」：


* 應力(stress)：大致上來說是「單位表面的受力」：
$$\sigma = \frac {F}{A}$$

* 剪應力：算平行面積單位元$dA$上，單位面積的力

雖然說會形變，但是滑動不一定是快或慢。

# 「連續體假設」

理論上來說，一個分子一個分子都是一個質點。但是因為這樣太複雜，所以就做出一個假設：

$$假定流體是「充滿空間的連續體」$$

因為到處都是連續的，所以這時候就可以把這個流體定義出性質，比如說密度

這個假定成立嗎？當然不一定。假設今天取一個Control Volume：


* 如果分子大小太大，分子會在box進進出出，密度根本不固定
* 如果分子小到一個程度，就算有進出頻繁，密度就會趨近一個平均值。這時候就可以定義流體的物性。

這個判斷可以用個無因次參數來看：

$$Kn = \frac {\lambda}{L}$$

其中$\lambda$是mean free path, $L$是特徵長度。

這個理由是，「如果mean free path在box裡面，那就跟分子永遠走不出box有87%像」。因此：

$$若Kn << 1，那麼可以認為「連續體假設」成立$$

既然你有$dV$，那麼你就有「體積單位元」，所以就可以用它倒一堆微分方程了。不過，如果要解微分方程還要有++邊界條件++。所以邊界條件這就來了：

# Boundary Condition

主要有下面這幾種：

* No-Penetration Condirtion : 就是「流體不能穿透邊界」。用專業的術語來看：

$$V_{fn} = Vb_{bn}$$

但是$Vf_{t}$未必等於$Vb_{t}$

* No-slip condition : 就是假定流過邊界是，流體的行為會類似「邊界拖住流體跑」，也就是：

$$V_{f} = V_{b}$$

這個條件是從黏滯力來的。

# Control Volume

回顧熱力學的「系統」：

* closed system : 沒有「質量」可以進出
* open system : 質量可以進出。是在空間選定一個Conttrol Volum當觀測站, 觀察CV進出的東西來分析。

流體力學用的主要是Conttrol Colume的分析方法。

# 1.2 一些重要的性質

* 理想氣體方程式
$$P = \rho R T$$

其中：

* $R$ = $\frac {Ru}{M}$, $Ru$大約是8.314, $M$是分子量
* $\rho$是密度，常用的數字：水大約是1000, 常溫下的空氣搭約是1.125,
有一歇跟比重有關的量大概是：

Specific Gravity : 比重，定義是：

$$SG = \frac {\rho}{\rho_{H_{2}O}}$$

>>汞大概是13.6, 空氣是0.001204

Specific Weight : 比重量$\gamma = \rho g$

* $P$是壓力。有一堆單位：
* 1 $Pa = \frac {N}{m^2}$
* 1 bar = $10^5Pa=0.1MPa=100kPa$
* 1 atm = $101325Pa$
* $psi$(pound per inch square) : 1atm = 14.224psi

壓力還有Absolute Pressure跟Gage Pressure:
* Absolute Pressure : 實際的壓力。大於等於0
* Gage Pressure : 表壓，跟「大氣壓力」相差的壓力：
$$P_{gage} = P_{abs} - P_{atm}$$

計算時記得把大氣壓加回去。

常用的性質課本後面的表都查的到，所以可以注意一下。

# 1.3 Common External Forces

## 1. Gravitational Force

假設有一個體積單位元：


作用在這個體積單位元上的壓力$dF_{g}$為：

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$$d\vec{F_{g}} = \rho\vec{g{}} \cdot dV$$

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### 證明

就是$F = mg$的縮小版：

$$d\vec{F_{g}} = (dm) \cdot \vec{g{}} = (\rho \cdot dV) \cdot \vec{g{}} = -\rho (dx dy dz)g \hat{k}$$

## 2. Pressure

作用在體積單位元的壓力$d\vec{F_{p}}$為：

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$$d\vec{F_{p}} = - \nabla P \cdot dV$$

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### 證明

這裡有兩個證明方法：

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#### 偷懶的方法：用散度定律

$$\int d\vec{F}_{p} = \int_{S} -P \cdot d\vec{A{}} = - \int_{V} \nabla P \cdot dV$$

對於流體內任意的形狀都正確，所以

$$d\vec{F_{p}} = -\nabla P\cdot dV$$

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#### 正規的方法

老老實實的把每個面上的力找出來。首先回顧一下泰勒展開式：

$$G(x + dx, y, z) \approx G(x, y, z) + \frac{\partial G}{\partial x} dx$$

所以：

$$G(x + dx, y, z) - G(x, y, z) \approx \frac {\partial G}{\partial x}dx$$

這裡也是類似的。如果看x 方向，左右壓力的變化：

$$dP_{x} = P(x + dx, y, z) - P(x, y, z) \approx \frac {\partial P}{\partial x}dx$$

因為對於x方向而言，壓力的x分量作用的面積是：

$$dydz$$

所以對於x方向中，左右壓力差就是：

$$dF_{x} = dP_{x}\cdot dydz = - \frac {\partial P}{\partial x} dx \cdot dydz\\[0.5cm]$$

有看到多一個負號是因為：壓力是朝內的，所以差一個負號。

同理，可以把3個方向受到的壓力都找出來：

$$dF_{x} = dP_{x}\cdot dydz = - \frac {\partial P}{\partial x} dx \cdot dydz\\[0.5cm]
dF_{y} = dP_{y} \cdot dxdz = - \frac {\partial P}{\partial y} dy \cdot dxdz\\[0.5cm]
dF_{z} = dP_{z} \cdot dxdy = - \frac {\partial P}{\partial z} dz \cdot dxdy$$

可以發現最後面都是$dxdydz$，把他們提出來，得到：

$$d\vec{F_{p}} = (- \frac {\partial P}{\partial x}, - \frac {\partial P}{\partial y} , - \frac {\partial P}{\partial z}) \cdot dxdydz = -\nabla P \cdot dV$$

而對「靜力學」來說，因為只有重力，所以：

$$d \vec{F_{p}} + d\vec{F_{g}} = - \nabla P\cdot dV - \rho\vec{g{}}\cdot dV = 0$$

也就是：

$$\nabla P = - \rho G$$

如果故意把重力方向調成 $\hat{k}$ 方向，那麼3個方向分別是：

1. x方向：
$$\frac {\partial P}{\partial x} = 0$$

1. y方向：
$$\frac {\partial P}{\partial y} = 0$$

由1. 2. 可以知道

$$P = P(z)$$
1. z方向：
$$\frac {\partial P}{\partial z} = \rho g$$

這其實就可以推出國中時學過的壓力公式

另外，如果物體不是靜止的，那麼只是在等號右邊多一個加速度項：

$$-\nabla P -\rho \vec{g{}} = \rho\vec{a{}}$$

## 3. 黏滯力

### 數學模型

假定有兩塊板子，中間夾個流體，假定他們的velocity profile會是線性的：


回顧材料力學，剪應變是「材料移動的小角度」，也就是上面$d\beta$，而剪應力又跟這個應變有關，所以先求出$d\beta$。$d\beta$可以用$tan$去近似：

$$d\beta \approx tan(d\beta) = \frac {Vdt}{h}$$

所以

$$\dot{\epsilon} = \frac {d\beta}{dt} = \frac {V}{h} = \frac {du}{dy}$$

出於一些理由，實際上的應變率會是他的一半：

$$\dot{\epsilon} = \frac {1}{2} \frac {du}{dy}$$

在材料力學的時候有學過虎克定律：

$$\sigma = E \cdot \epsilon$$

也就是「應力與應變有關係」。

事實上，我們可以仿照這個，在流體中找出類似的定律。不過，因為流體是流體，++受力之後會持續變形++。所以沒有固定的應變可言，但是有「應變率」。而我們假定剪應力跟這個「應變率」有關：

$$\tau = \tau(\dot{\epsilon})$$

而這個關係可能有很多種，所以這裡先假定他是最簡單的，也就是「只差一個常數」：

$$\tau = \mu \dot{\epsilon}$$

代入剛剛算出來的$\dot{\epsilon} = \frac {du}{dy}$，可以得到：

$$\tau = \mu\frac {du}{dy}$$

其中$\mu$叫做「dynamic viscosity」。單位是$Pa \cdot s$。

>> 有另外一種viscosity叫做kinematic viscosity, 定義是：
>> $$\nu = \frac {\mu}{\rho}$$
>> 單位是$\frac {m^2}{s}$ , 或是用stoke($\frac {cm^2}{s}$)

正比是最簡單的關係。不過還有其他種的關係，像是這樣：


* Binham：要超過一定的力，才會流動
* Pseudoplastec(shear thinning)：斜率漸減，表示越來越好拉
* Dilatant(shear thickening)：斜率漸增，表示越來越難拉

### 溫度的影響

注意$\mu = \mu (T)$，溫度不同年ㄒ大致上如下：


1. 液體溫度越高，黏性越低：想像一下沙拉油，溫度低的時候會變成一糊，但是加溫過後就變得很好倒。
2. 氣體溫度越高越黏：太空梭進入大氣。
3. 氣體比液體低：跑步比游泳容易嘛

### 測量Viscosity

像下面這種裝置


這時候：

$$\tau = \frac {du}{dy} \approx \mu \frac {\Omega R}{h}$$

所以上面的力矩$T$就是：

$$T = (\tau 2\pi RL) = \mu \frac {2\pi R^3L\Omega}{h}$$

這時候，只要測出$T$是多少就可以了。

## 表面張力

平行液面的拉力。

如果有一個液體表面，邊界是$S$：


表面張力$\sigma$的定義為：

$$dF_{s} = \sigma ds$$

單位是$N/m$，單位邊界長需要的力嘛。不過如果上下同乘一個$m$：

$$\frac {N\cdot m}{m^2} = \frac {作功}{m^2}$$

所以這也可以看成「增加單位面積所需要做的功」。

這裡簡單看一個例子：一個droplet


$$\int -Pd\vec{A{}} = \int -PdA cos\theta = -P\int dA cos\theta$$

因為$\int dAcos\theta$其實就是「整個球面作投影」，所以：

$$-P \int (dAcos\theta) = -P \cdot \pi R^2 = 2\pi R \sigma_{s}$$

另外一件要注意的是soap bubble：


$$他會有兩層\\他會有兩層\\他會有兩層$$

### Capillary Effect

在液體與容器邊界的一種現象，像這樣：


這裡有一些分類：

1. 如果$\phi$ < 90度，叫做「wetting liquid」
2. 如果$\phi$ > 90度，叫做「nonwetting liquid」

水的接觸角是 0 度。

注意的地方就是算的時候，要把角度也考慮進去。

另外注意到的是，「表面張力把液體往上拉」其實是：

1. 表面張力造成介面兩邊壓力不同
2. 壓力差把液柱進一步提升

如果只在靜力學的狀況，那直接看成「表面張力把液體往上拉」是可以的; 但是如果要計算整個運動過程，就必須注意到這件事。