# 代數導論 (14) - The Third Isomorphism Theorem

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~~「我用無限寶石摧毀無限寶石」定理~~

在 *Lattice Isomorphism Theorem* 中，可以看到很多本來在群中有的關係，在同時取 *quotient group* 之後，仍然會在取出來的 *quotient group* 之間保持。這時，突然有個大膽的想法：==*quotient group* 的關係在取 *quotient group* 之後，會不會維持？==

## 定理：The Third Isomorphism Theorem

這個定理想要說的是：在條件夠好的狀況下，「商群關係可被取商群保留」。不過這個定理的條件有點多。所以分開描述。

### 定理敘述

*The Third Isomorphism Theorem* 在 *Dummit* 一書中的描述第一眼看過去會有點難懂。不過它大致上想表達的是像下面這件事：

:::danger

**Thm**
假定 $H$ 是一個群，且假定 $K$ 是某個 $H_1, H_2$ 共有的 *normal subgroup*：

$$
\begin{align}
K &\lhd H_1
\newline
K &\lhd H_2
\end{align}
$$

則 *normal group* 的關係，取商群後仍會保留：

$$
H_1 \lhd H_2 \Rightarrow (H_2/K) \lhd (H_1/K)
$$

更進一步，在 $H_1 \lhd H_2$ 的狀況下，取商群也會保留原本的商群關係：

$$
H_1/H_2 \simeq (H_1/K)/(H_2/K)
$$

:::

這整個脈絡看起來滿直覺的：看到「*normal subgroup* 會維持」，就會忍不住想要娶個 *quotient group*，於是就有另外一個「*quotient group* 的關係也會維持」的部分。此外，值得注意的是：*normal subgroup* 的部分其實可以強到充要條件：

$$
H_1 \lhd H_2 \iff (H_2/K) \lhd (H_1/K)
$$

但這個是 *Lattice Isomorphism Theorem* 第二部分的內容。

上面的描述方式，就達成定理結果所需要的條件來說，其實有些「多餘的成分」。比如說下面這兩個條件：

$$
\begin{align}
K &\lhd H_1
\newline
K &\lhd H_2
\end{align}
$$

在已知 $H_1 \lhd H_2$ 的狀況下，其實等價於：

$$
\begin{align}
K &\lhd H_1
\newline
K &\leq H_2
\end{align}
$$

這是因為 $K \lhd H_1$，所以任何 $H_1$ 中的元素都可以 *normalize* $K$。但「$H_2 \lhd H_1$」，所以依照 $\lhd$ 的定義要有「$H_2 \leq H_2$」，而這也就表示「$H_2 \subseteq H_1$」，也就是 $H_2$ 被包在 $H_1$ 裡。所以，$H_2$ 中的元素當然也都可以 *normalize* $K$。

依照上面的描述，把這些條件的相依性稍微重新排列一下，就會變成在書中所看到的描述方式：

:::danger
**Thm (The Third Isomorphism Theorem)**

假定 $H_1$ 是一個群，且 $K, H_2 \lhd H_1$。若 $K \leq H_2$，則原有的 $H_1 \lhd H_2$ 的關係可被取商群維持：

$$
(H_2/K) \lhd (H_1/K)
$$

更進一步，取商群也會保留原本的商群關係：

$$
H_1/H_2 \simeq (H_1/K)/(H_2/K)
$$

:::

這看起來瞬間短了很多。

這邊看到 $K \leq H_1$，對照回 *Lattice Isomorphism Theorem* 的描述，就會發現本質上還是在討論那些原來的群中，那些「夠格取商群」的子群們，以及他們的商群。

### 定理證明

上課是考慮這個映射：

$$
\begin{align}
H_1/H_2 &\to (H_1/K)/(H_2/K)
\newline
(x_1H_2) & \mapsto (x_1K) \cdot (H_2/K)
\end{align}
$$

然後把他是 *isomorphism* 證明一次。不過課本的證明方式更簡單。課本是考慮：

$$
\boxed{\begin{align}
\psi : (H_1/K) &\to (H_1 / H_2)
\newline
(h_1K) & \to (h_1H_2)
\end{align}}
$$

然後只要證明三件事：

1. $\psi$ 是 *well-defined*
2. $\psi$ 是 *surjective homomorphism*
3. $\psi$ 的 *kernel* 是 $H_2/K$
$$
\ker \psi = (H_2/K)
$$

那麼這個定理就自動證明完了。因為：

1. *homomorphism* 的 *kernel* 必定是 *normal subgroup*，所以只要證明上面兩件事，就自動有：

$$
\ker \psi = (H_2/K) \lhd (H_1/K)
$$

因此自動證明了 *normal subgroup* 的部分。

2. 套用 *first isomorphis theorem*，「定義域除上 *kernel* 後，商空間跟值域同構」。而 $\psi$ 的定義域是 $(H_1/K)$，值域因為 *surjective* 所以就是 $(H_1 / H_2)$，如果 *kernel* 又是 $(H_2)/K$，那就有：
$$
(H_1/K)/(H_2 K) \simeq (H_1/H_2)
$$

==well-defined==：這個問題一樣出在「取了不同 $h_1$ 造出同樣的 *coset* 時，他們會被送到一樣的地方嗎？」所以就來檢驗看看。假定：

$$
(h_1K) = (h_1'K)
$$

接著要問下面這件事會不會對：

$$
(h_1 H_2) \overset{?}{=} (h_1'H_2)
$$

但這根本是顯然。因為 $K \leq H_2$。所以：

$$
\begin{align}
(h_1K) &\subseteq (h_1H_2)
\newline
(h_1'K) &\subseteq (h_1'H_2)
\end{align}
$$

但 $(h_1K)$ 又跟 $(h_1'K)$ 一樣，所以這根本就是在說：

$$
(h_1K) = (h_1'K) \subseteq (h_1H_2\cap h_1'H_2)
$$

既然兩個 *coset* 的交集非空，那麼他們就只能是同一個 *coset*：

$$
(h_1H_2) = (h_1'H_2)
$$

==surjective homomorphism==：首先，*surjective* 是顯然。因為 $h_1$ 的範圍是所有 $H_1$ 中的元素，所以這所有的 $h_1$ 與 $H_2$ 所形成的 *coset*，就是 $H_1/H_2$ 的定義。因此這個映射 *surjective*。

而 *homomorphism* 的部分也很直接：這就是 *coset* 間的乘法。

$$
\begin{align}
\psi((uK)(vK)) &= \psi(uvK)
\newline
&= uv H_2
\newline
&= (uH_2)(vH_2)
\newline
&= \psi(uK)\psi(vK)
\end{align}
$$

因此是個 *homomorphism*。

==kernel==：直接由定義爆開

$$
\begin{align}
\ker \psi &= \{hK \mid h \in H_1, (hH_2) = H_2\}
\newline
&= \{hK \mid h \in H_1, h \in H_2\}
\newline
&= \{hK \mid h \in H_2\} = H_2/K
\end{align}
$$