# 代數導論二 Week 7 (Part 1) - Minimal Polynomial

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## 定理：以特定元素為根的多項式存在唯一的最小元素 (L5)

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *field extension*， $\alpha \in K$。若 $F[x]$ 中存在非零的多項式 $f(x) \in F[x]$，使得：

$$
\exists 0 \neq f(x) \in F[x].f(\alpha) = 0
$$

則 $F[x]$ 中存在唯一的 *monic irreducible polynomial* $m_{\alpha, F}(x) \in F[x]$，使得所有以 $\alpha$ 為根的多項式都有 $m_{\alpha, F}(x)$：

$$
\begin{align}
\exists m(x) &\in F[x].\forall g(x) \in F[x].
\newline
&g(\alpha) = 0 \Rightarrow m(x) \mid g(x)
\end{align}
$$

:::

就令 $m(x)$ 是「能使 $\alpha$ 帶進去的結果是 $0$」的多項式中，次數最小的。

$$
\min_{\deg g} \{g \in F[x] \mid g(\alpha) = 0\}
$$

### 證明：Monic

1. 不失一般性可以令這個 $m(x)$ 為 *monic*：因為 $F$ 是一個 *field*，所以如果找到的 $m(x)$ 的首項係數不是 $0$，可以把所有係數都除掉首項係數，然後就到一個次數一樣式最小，而且 *monic* 的多項式。

2. 這樣的 $m$ 一定找得到，因為至少有 $f(x)$ 能使 $f(\alpha) = 0$，所以最差的狀況就是 $m(x)$ 剛好是 $f(x)$

### 證明：可以整除

接下來就證明這個 $m(x)$ 可以整除所有能使 $g(\alpha) = 0$ 的那些多項式。因為 $F[x]$ 是 *Euclidean Domain*，所以對 $g(x)$ 使用 *Division algorithm*：

$$
g(x) = m(x)q(x) + r(x)
$$

其中：

$$
r = 0 \text{ or }\deg r < \deg m
$$

這時候 $r$ 一定是 $0$ 多項式。因為如果不是，那麼 $r$ 帶進去 $\alpha$ 的結果就會是 $0$：

$$
\underbrace{g(\alpha)}_{0} = \underbrace{m(\alpha)}_{0}q(\alpha) + r(\alpha)
$$

但這時候 $\deg r < \deg m$，所以就跟「$m$ 是所有帶入 $\alpha$ 為 $0$ 的多項式中次數最小的」矛盾了。

最後，$m(x)$ 是 *irreducible* 的，道理也是一樣。假定 $m(x)$ 不是 *irreducible*，就表示存在 $a(x), b(x)$，使得：

$$
m(x) = a(x)b(x)
$$

其中，$a(x), b(x)$ 都不是常數多項式。也就是：

$$
\deg a \geq 1 \text{ and }\deg b \geq 1
$$

另外一方面，

$$
\deg m = \underbrace{\deg a}_{\geq 1} + \underbrace{\deg b}_{\geq 1}
$$

所以 $a, b$ 的次數會嚴格比 $m$ 的次數小：

$$
\deg a, \deg b < \deg m
$$

但這邊矛盾就來了。把 $\alpha$ 帶進去：

$$
\underbrace{m(\alpha)}_{0} = a(\alpha)b(\alpha)
$$

因為現在 $F$ 是 *field*，所以也是 *integral domain*，所以 $a(\alpha), b(\alpha)$ 至少有一個是 $0$。也就是：

$$
a(\alpha) = 0 \text{ or }b(\alpha) = 0
$$

不管是 $a(\alpha) = 0$ 或 $b(\alpha) = 0$，帶進去是 $0$ 的那個會是一個次數嚴格比 $\deg m$ 小，但是帶進 $\alpha$ 之後又是 $0$ 的多項式。這就跟 $m(x)$ 是「帶進去 $\alpha$ 為 $0$ 的多項式中次數最小的」矛盾了。

> 可以用來證明上一個定理，有另外一個版本的證明。

### 證明：唯一

假定滿足定理敘述的多項式有兩個：

$$
m(x) = m'(x)
$$

因為 $m'(\alpha) = 0$，所以 $m(x)$ 要可以整除他：

$$
m(x) \mid m'(x)
$$

因為 $m, m'$ 都 *irreducible*，所以如果兩個人可以互相整除對方，那最多一定差一個常數，不能差其他一次以上的因式 (不然就會有其中一個是 *reducible*)。也就是：

$$
m \mid m' \Rightarrow m' = cm
$$

但是因為兩個人都要 *monic*，所以唯一的可能就是這個常數是 $1$ (不然就有其中一個的領導係數不會是 $1$)：

$$
c = 1
$$

## 定義：Minimal Polynomial

:::warning

定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *field extension*， $\alpha \in K$。若 $p(x) \in F[x]$ 滿足下面 2 點：

1. $p(x)$ 是一個 $F[x]$ 中的 *monic irreducible polynomial*。
2. $\alpha$ 帶進去之後是 $0$：
$$
p(\alpha) = 0
$$

則稱 $p(x)$ 是一個 $\alpha$ 的 *minimal polynomial*。並且寫作：

$$
m_{\alpha, F}(x)
$$

:::

### 觀察：另一個角度

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，且 $\alpha \in K/F$。若定義 $\psi$ 為「求多項式在 $\alpha$ 的值」：

$$
\begin{align}
\Phi_{\alpha} : F[x] &\to K
\newline
f(x) &\mapsto f(\alpha)
\end{align}
$$

則 $\psi$ 是一個 *homomorphism*。且

1. $\ker \Phi_{\alpha}$ 是個 $F[x]$ 中的 *prime ideal*。

$$
\ker \Phi_{\alpha} \text{ is a prime ideal}
$$

2. $F[x]$ 中存在唯一的 *monic irreducible polynomial*，使得：

$$
\ker \Phi_{\alpha} = (p(x))
$$

:::

為了方便，令：

$$
\ker \Phi_{\alpha} = I_{\alpha}
$$

也就是：

$$
I_{\alpha} = \{f(x) \in F[x] \mid f(\alpha) = 0\}
$$

可以證明：因為 $I_{\alpha}$ 就是 $\Phi_{\alpha}$ 的 *kernel*，除了是 *ideal* 之外，還是一個 *prime ideal*。因為：

$$
\begin{align}
&a(\alpha)b(\alpha) = 0
\newline
&\Rightarrow a(\alpha) = 0 \text{ or }b(\alpha) = 0
\newline
&\Rightarrow a(x) \in I_{\alpha} \text{ or }b(x) \in I_{\alpha}
\end{align}
$$

既然 $F[x]$ 是一個 *Eucidean Domain*，所以 $I_{\alpha}$ 存在一個生成元。也就是存在 $f(x) \in F[x]$，使得：

$$
I_{\alpha} = (p(x))
$$

因為 $(p(x))$ 是個 *prime ideal*，所以依照定義 $p(x)$ 是個 *prime*，又因為在 *integral domain* 中，*prime* 可以推到 *irreducible*，所以這個 $p(x)$ 是 *irreducible*。換句話說，所有能生成 $I_{\alpha}$ 的元素都只差一個 *unit*。所以如果規定一個「首項係數為 $1$ 的 $I_{\alpha}$ 生成元」，這樣的生成元要是唯一的。

而這個生成元就是上面敘述中的 *minimal polynomial* 嗎？答案是的。事實上有：

### 觀察：等價的敘述

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，且 $\alpha \in K/F$。則以下敘述描述的多項式是等價的：

1. $F[x]$ 中能生成下面這個 *prime ideal* 的 *monic polynomial*：

$$
I_{\alpha} = \{f(x) \in F[x] \mid f(\alpha) = 0\}
$$

2. $F[x]$ 中，使以下性質成立的 *monic polynomial* 中，次數最小的：

$$
f(\alpha) = 0 \Rightarrow p(x) \mid f(x)
$$

3. $F[x]$ 中，能使：

$$
p(\alpha) = 0
$$
的 *monic irreducible polynomial*。

4. $F[x]$ 中，能使：

$$
p(\alpha) = 0
$$

的 *monic polynomial* 中，次數最小的。

:::

## 定理：較大的 Extension 上的 Minimal Polynomial 可以整除較小的 (C8)

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，$F \subseteq L \subseteq K$，其中 $L/F$ 且 $K/L$。並且 $\alpha \in K$。若存在非零多項式 $f(x) \in F[x]$，使得：

$$
f(\alpha) = 0
$$

則在 $L[x]$ 中，有：

$$
m_{\alpha, L}(x) \mid m_{\alpha, F}(x) \quad \text{in }L[x]
$$

:::

因為 $F[x]$ 中的多項式都是 $L[x]$ 中的多項式，所以：

$$
F \subseteq L \Rightarrow f \in F[x] \subseteq L[x]
$$

1. $f(x)$ 也在 $L[x]$ 中，而且他可以作為一個 $L[x]$ 中帶入 $\alpha$ 之後結果為 $0$ 的多項式：

$$
f(\alpha) = 0 \quad \text{in }L[x]
$$

所以 $m_{\alpha, L}(x)$ 存在。

2. $m_{\alpha, F}(x)$ 在 $F[x]$ 中，所以也會在 $L[x]$ 中。而且 $m_{\alpha, F}$ 在 $L[x]$ 中滿足

$$
m_{\alpha, F}(\alpha) = 0 \quad \text{in }L[x]
$$

的多項式。所以由 $m_{\alpha, L}$ 是 $L[x]$ 中的 *minimal polynomial* 的性質，有：

$$
m_{\alpha, L}(x) \mid m_{\alpha, F}(x)
$$