# 代數導論二 - Properties of Ideal

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## 觀察：有 Unit 就有全部

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的 *ring*，$I \subseteq R$ 是一個 *ideal*。則：

$$
\begin{align}
&I = R \iff
\newline
&\exists u\in I. u\text{ is unit }
\end{align}
$$

:::

假定 $I = R$，那個 *unit* 就取 $R$ 中的 $1$ 就好; 另外一個方向，假定 $u$ 是個 *unit*，而且 $u \in I$。這表示存在 $v \in R$，使得：

$$
uv = 1
$$

對於任意 $r \in R$，有：

$$
r = r\cdot 1 = r(vu) = (rv)\underbrace{u}_{\in I} \in I
$$

## 觀察：交換環變 Field 的充要條件是沒有 Non-trivial Ideal

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的交換環。則下列敘述等價：

1. $R$ 是一個 *field*
2. $R$ 當中只有 $R$ 與 $\{0\}$ 這兩個 *ideal*

:::

$(\Rightarrow)$：假定 $I$ 是一個 *ideal*，要嘛他包含某個非零元素，要嘛沒有 (也就是只有 $0$)。後者的話，他就是 $\{0\}$; 前者的話，因為 $R$ 是一個 *field*，每個非零元素都是一個 *unit*，前面知道包含 *unit* 的 *ideal* 就有整個環，所以 $I = R$。

$(\Leftarrow)$：對於任意非零元素 $u$。由前提知道 $u$ 做出來的 *ideal* 一定是整個 $R$：

$$
(u) = R
$$

所以這也就是在說：

$$
1 \in (u)
$$

由前面的「可交換而且只有一個元素時」的觀察可知：存在 $u' \in R$，使得：

$$
uu' = 1
$$

因此，就證明了任意非零元素 $u$ 是個 *unit*。

## 觀察：Ideal 的 Preimage 是 Ideal

:::danger

假定 $R, S$ 是兩個 *ring*，且：

$$
\varphi : R \to S
$$

是一個 *homomorphism*。則：

1. 假定 $J$ 是 $S$ 中的 *ideal*，則 $\varphi^{-1}(J)$ 也是個 *ideal*。

$$
\boxed{J \lhd S \Rightarrow \varphi^{-1}(J) \lhd R}
$$

2. 若更進一步，$\varphi$ 是個 *surjection*，且假定 $I$ 是 $R$ 中的 *ideal*，則 $\varphi(I)$ 也是個 $S$ 中的 *ideal*：

$$
\boxed{I \lhd R \Rightarrow \varphi(I) \lhd S}
$$

:::

### 證明：Ideal 的 Homo. Preimage 都是 Ideal

假定 $r, r'$ 在 $\varphi^{-1}(J)$ 當中。這也就是在說：

$$
r, r' \in \varphi^{-1}(J) \Rightarrow \varphi(r), \varphi(r') \in J
$$

然後就發現 $(r - r')$ 與 $(rr')$ 都會在 $\varphi^{-1}(J)$ 當中。因為：

$$
\varphi(r) - \varphi(r')\in J \Rightarrow \varphi(r - r') \in J
$$

$$
\varphi(r)\varphi(r') \in J \Rightarrow \varphi(rr') \in J
$$

而且對於任意 $x \in R$，$xr$ 跟 $rx$ 也都在 $\varphi^{-1}(J)$ 中。這是因為 $J$ 是一個 *ideal*：

$$
\varphi(xr) = \underbrace{\varphi(x)}_{\in S}\underbrace{\varphi(r)}_{\in J} \in J
$$

$$
\varphi(rx) = \underbrace{\varphi(r)}_{\in J}\underbrace{\varphi(x)}_{\in S} \in J
$$

### 證明：Ideal 被 Surjective Homo. 作用後也是 Ideal

因為 $I$ 是一個 *ring*，$\varphi$ 是一個 *homomorphism*，所以 $\varphi (I)$ 會是一個 $S$ 中的 *subring*。所以現在只要證明：

$$
s \varphi(I) \subseteq S
$$

$$
\varphi(I) s \subseteq S
$$

就可以了。因為 $\varphi$ 是 *surjective*，所以對於任意 $s \in S$，都可以找到 $r \in R$，使得：

$$
\varphi(r) = s
$$

所以對於任意 $\varphi(I)$ 中的元素 $\varphi(i)$，有：

$$
s \varphi(i) = \varphi(r)\varphi(i) = \varphi(ri) \in \varphi (I)
$$

$$
\varphi(i)s = \varphi(i)\varphi(r) = \varphi(ir) \in \varphi (I)
$$

因為對於每一個 $i \in I$ 跟 $s \in S$ 都對，所以就證明了 $\varphi(I)$ 是個 *ideal*。