{%hackmd @0xff07/blockquotebox %}

# 代數導論 (19) - Sylow Theorem (證明 Part 1)

[TOC]

## 定理：Sylow Theorem

> **Thm (Sylow Theorem)**
>
> 假定 $G$ 是一個有限群，$p$ 是一個質數，且：
>
> $$
> |G| = p^{\alpha}m
> $$
>
> 其中，$\alpha \geq 1$，且 $p \not \mid m$。則下列三個敘述成立：
>
> 1. ==$G$ 必定存在 Sylow $p$-subgroup==
> 2. 所有這樣的 Sylow $p$-subgroup 互相共軛
> 3. Sylow p-subgroup 數目的必要條件：假定 $r$ 是 $G$ 中 *Sylow p-subgroup* 的數目，則：
> $$
> \boxed{r\ \bigg{|}\ |G|}
> $$
> 且：
> $$
> \boxed{r \equiv 1 \mod p}
> $$
>

這邊證明的是第一個敘述。

## 引理 1：柯西定理

> **Claim：**
> 假定 $A$ 是一個有限的可交換群，且質數 $p$ 滿足：
>
> $$
> \boxed{p\ \mid\ \left|A\right|}
> $$
>
> 則 $A$ 中必定存在 *order* 為 $p$ 的元素。即：
>
> $$
> \boxed{\exists x \in A.\ p = o(x)}
> $$

其實只要證明有元素的 *order* 是 $p$ 的倍數就好。因為在這個狀況下：

$$
o(x) = np \Rightarrow (x^{n})^{p} = 1
$$

就可以自動找到 *order* 是 $p$ 的元素。

證明方式是利用反證法：假定沒有元素的 *order* 是 $p$ 的倍數。既然 $p$ 是個質數，這也就是在說：假定所有元素的 *order* 都跟 $p$ 互質。接著，重複以下步驟：

首先，找一個元素 $y_1 \in A$。令：

$$
A_1 = \langle y_1 \rangle
$$

接著，如果有不在 $A_1$ 中的元素，假定他叫 $y_2$。令 $A_2$ 為：

$$
A_2 = \langle y_1, y_2 \rangle
$$

接著，如果有不在 $A_3$ 中的元素，假定他叫 $y_3$。令 $A_3$ 為：

$$
A_3 = \langle y_1, y_2, y_3 \rangle
$$

一直重複到找不到這樣的元素，也就是直到這些元素剛好可以組出整個 $A$ 為止：

$$
A_k = \langle y_1 \dots y_k\rangle = A
$$

這時，考慮：

$$
A_{k - 1} = \langle y_1 \dots y_{k - 1}\rangle
$$

可以觀察到：因為 $A$ 是 *Abelian*，所以元素之間的順序並不重要，只有冪次是重要的。因此：

$$
A_{k - 1} \cdot \langle y_k \rangle
$$

但這時，使用 *Diamond Isomorphism Theorem*，可知：

$$
|A| = |A_k| = \frac {|A_{k-1}| \cdot |\langle y_k \rangle|}{|A_{k-1} \cap \langle y_k \rangle|}
$$

但 $|\langle y_k \rangle|$ 就是 $o(y_k)$，$(A_{k - 1} \cap \langle y_k \rangle)$ 裡面的元素由 $A_{i}$ 的取法可知，唯一的交集是 $1$，因此 $|A_{k - 1} \cap \langle y_k \rangle|$ 就是 $1$。所以：

$$
|A_k| = |A_{k - 1}| \cdot o(y_k)
$$

這樣一直重複下去，就會有：

$$
|A_k| = \prod_{i = 1}^{k}o(y_i) = |A|
$$

但矛盾就來了：$|A|$ 是 $p$ 的倍數，但上面所有的 $o(y_i)$ 都不是 $p$ 的倍數，所以就矛盾了。

## 敘述 1：存在性

證明方式是對 $G$ 的大小做歸納法。

$|G| = 1$ 時，這是顯然的例子; 而 $|G| = 2$ 時， $G$ 本身就是自己的 *Sylow 2-subgroup*。因此，從 $|G| > 2$ 的狀況開始考慮。這時候考慮 $G$ 的 *center* $Z(G)$，依照 $p$ 是否整除 $|Z(G)|$ 而有兩種狀況討論：

### CASE：可以整除

因為現在是討論某個質數 $p$，為了方便，就假定 $G$ 的大小 $|G|$ 為：

$$
|G| = p^{\alpha}m
$$

其中，$m$ 是個因數中不包含 $p$ 的數：

$$
p \not \mid m
$$

這個狀況下，首先用到 *Cauchy* 定理：

> **Claim：**
> 假定 $A$ 是一個有限的可交換群，且質數 $p$ 滿足：
>
> $$
> \boxed{p\ \mid\ \left|A\right|}
> $$
>
> 則 $A$ 中必定存在 *order* 為 $p$ 的元素。即：
>
> $$
> \boxed{\exists x \in A.\ p = o(x)}
> $$

這邊把 $A$ 換成 $Z(G)$。假定這樣的元素是 $x \in Z(G)$。考慮由 $x$ 形成的循環群 $H$：

$$
H = \langle x \rangle
$$

因為群的元素做出來的循環群會是一個他的子群，所以 $H$ 是 $Z(G) 的子群$：

$$
H \leq Z(G)
$$

而另外一方面，既然 $H$ 被包含在 *center* $Z(G)$ 中，所以依照 *center* 中元素的定義可知：任意 $h \in H$，把它跟任意 $G$ 中的元素 $g$ 取共軛後，一定都會變回自己：

$$
ghg^{-1} = h \in H
$$

這也就是在說：$H$ 是一個 $G$ 的 *normal subgroup*：

$$
H \lhd G
$$

既然是 *normal*，那麼就可以拿 $H$ 來做 *quotient group*。為了方便，令：

$$
\overline{G} = G/H
$$

而且因為 $H$ 的 *order* $p$ 是個質數，也就是說他一定不是 $1$。因此，使用 *Lagrange* 定理可以知道：做出來的那個 *quotient group* 只會比原來的 $G$ 還要小：

$$
|\overline{G}| = |G/H| = \frac {|G|}{|H|} = p^{\alpha - 1}m
$$

既然現在有了 $\overline G$ 這個比較小的群，就可以用歸納法假設：假定 $\overline G$ 必定存在一個 *order* 為 $p^{\alpha - 1}$ 的 *subgroup*。假定 $\alpha - 1 = 0$，那就是一個 *order* 為 $1$ 的子群，也就是 $\{1\}$ 自己; 而若 $\alpha - 1 > 0$，那就用 *induction hypothesis*，得知 $\overline G$ 存在 *order* 為 $p^{\alpha - 1}$ 的 *Sylow* $p-$*subgroup*，假定他叫做 $\overline K$。

既然 $\overline K$ 是一個 $\overline G = G/H$ 中的子群，使用 *Lattice Isomorphism Theorem* 可知：能夠找到一個 $G$ 中的子群 $K$，使得：

$$
K/H = \overline K
$$

且 $K$ 有：

$$
|K| = |\overline K| \cdot |H| = p^{\alpha - 1} \cdot p = p^{\alpha}
$$

這樣就證出 $|K|$ 是 *order* 為 $p^{\alpha}$ 的群了。

### CASE：不能整除

這時，使用 *class equation*：

$$
|G| = |Z(G)| + \sum_{i = 1}^{R}O_i
$$

既然 $|G|$ 是 $p$ 的倍數，但 $|Z(G)|$ 不是。這就表示： $O_1 \dots O_r$ 中，至少存在一個 *conjugate class* $O_k$，其 $|O_k| > 1$，且 $|O_k|$ 不是 $p$ 的倍數。

而對於這個 $O_k$，使用 *Orbit-Centralizer Theorem*，可以知道這個 *conjugate class* 的大小為：

$$
|O_k| = \frac {|G|}{|C_G(g)|} \geq 2
$$

因此，得到兩個推論：1) $C_{G}(g)$ 比 $G$ 還要小，而且是嚴格地小; 以及 2) $p$ 跟 $|O_k| = |G|/|C_G(g)|$ 互質。

第一點可以使用 *induction hypothesis*，得知：$C_{G}(g)$ 存在 *Sylow p-group*，假定這個 *Sylow p-group* 叫做 $P$。接著第二點就可以說：$P$ 同時也是 $G$ 的 *Sylow p-group*。因為顯然有：

$$
P \leq C_{G}(g) \leq G
$$

且：

$$
\frac {|G|}{|P|} = \frac {|G|}{|C_{G}(g)|} \cdot \frac {|C_G(g)|}{|P|}
$$

其中，$|G|/|C_{G}(g)|$ 前面已經證明跟 $p$ 互質; 而因為 $P$ 是 $C_{G}(g)$ 的 *Sylow p-group*，所以依照 *Sylow p-geoup* 的定義，$p$ 也要跟 $|C_G(g)|/|P|$ 互質。因此：

$$
\frac {|G|}{|P|} = \underbrace{\frac {|G|}{|C_{G}(g)|}}_{\not \mid p} \cdot \underbrace{\frac {|C_G(g)|}{|P|}}_{\not \mid p}
$$

由此得證 $p$ 不是 $|G|/|P|$ 的因數，因此得證 $P$ 就是 $|G|$ *Sylow p-group*。