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# 代數導論 (18) - Sylow Theorem (定義與敘述)

[TOC]

這個定理就是那種「結論很精簡，證明非常長」的那種定理。因為實在是太長了 (絕對不只 30 公分)，所以他的證明被切成兩段。

## 定義：p-group & Sylow p-group

> **Def (p-subgroup & Sylow p-subgroup)**
> 假定 $H$ 是個有限群，且他的大小是一個質數的整數次方，即：
>
> $$
> \boxed{|H| = p^{n}}
> $$
>
> 其中 $p$ 是質數，$n \in \mathbb Z^{+}$，則稱 $H$ 是一個 *p-group*。

接下來定義 *Sylow p-subgroup*：

> **Def (Sylow p-subgroup)**
> 假定 $G$ 是一個有限群， $p$ 是一個質數，且：
>
> $$
> |G| = p^{\alpha}m
> $$
>
> 其中，$\alpha \geq 1$，且 $p \not \mid m$。若一個 $G$ 的子群 $H$ 滿足：
>
> $$
> \boxed{|H| = p^{\alpha}}
> $$
>
> 則稱 $H$ 為一個 $G$ 的 *Sylow p-subgroup*。
>

首先要注意那個 $p$ 可以換成各種質數：比如說 *Sylow 2-subgroup*、*Sylow 87-subgroup* 等等。但這就有一個問題：$p$ 的符號會撞到~~你不知道他是不是 free variable~~。不過在這種狀況下，會盡量解釋前後文。

除此之外，*Sylow p-subgroup* 有時會稱呼為 *Sylow p-group*。課本是直接叫他 *Sylow p-subgroup*，錄影中是兩個混在一起用。不過，不難看出他的定義中，*Sylow p-group* 必須以他是某個群的子群為前提，不然根本不能確定 $|H|$ 是否整除了 $|G|$ 中的每一個 $p$。

另外一個 *Sylow p-group* 的定義描述會像下面這樣。這是錄影中的描述方法：

> 假定 $G$ 是一個有限群，且：
> 1. $H \leq G$ 是一個 *p-group*，而且還滿足：
> 2. $|G|$ 除掉 $|H|$ 裡面就再也沒有 $p$ 的因數了：
> $$
> \left(p, \frac {|G|}{|H|}\right) = 1
> $$
>
> 則稱 $H$ 是一個 *Sylow p-group*。

字面上看起來有點落差，比如說後面那個定義沒有指定 $p$ 的冪次，看起來好像可以很任意。但這兩個敘述所說的 $|H|$，大小都是「$p$ 能夠整除 $|G|$ 的最高冪次」的那個最高的 $p$ 的冪次結果。只是第一個定義明確地寫出了質因數分解的形式而已。不過，為了方便，後面的都用 $p^{\alpha}m$ 的版本，因為歸納法寫起來比較好寫。

### 性質：Automorphism 保 Sylow p-group

> 假定 $P$ 是一個 *Sylow p-subgroup*，$\phi$ 是一個 $G$ 上的 *automorphism*。則：
>
> $$
> \phi(P) \text{ is a Sylow p-subgroup}
> $$
>

這是因為 *Automorphism* 必定是個 *isomorphism*，所以這根本就是在說：

$$
\phi(P) \leq G
$$

且：

$$
P \simeq \phi(P)
$$

所以顯然：

$$
|P| = |\phi(P)|
$$

### 觀察：取共軛保 Sylow

給定 $h \in G$ 之後，定應映射為「取對 $g$ 的共軛」也是一個 *automorphism*：

$$
\begin{align}
\psi : G &\to G
\newline
g &\to (hgh^{-1})
\end{align}
$$

所以套用上面：

$$
|\psi(P)| = |P| \Rightarrow |hPh^{-1}| = |P|
$$

kr

這邊只是先講出這個定理的內容，比較方便知道全貌。接下來的兩篇就來看他的證明吧！