# 代數導論 (25) - Direct Product (Part 2)

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這邊要問的問題是：什麼時候 $HK$ 會跟 $H \times K$ 同構？這件事情重要的地方在於：如果已經知道一個群 $G$ 可以拆解成 $G = HK$，他跟 $H \times K$ 同構就表示這個群可以分解成更基本的群。而可以分解的條件跟向量空間的直和幾乎一樣：

$$
\boxed{\begin{align}
H, K &\lhd G
\newline
H \cap K &= \{1\}
\end{align}}
$$

底下就來證明為什麼是這樣：

## 觀察：表示方法唯一的條件

:::danger
假定 $G$ 是一個群，且 $H, K \leq G$。則對於任意 $l \in HK$，若將其表為「$H$ 中元素與 $K$ 中元素的組合」，即：

$$
l = hk \quad h \in H, k \in K
$$

則可能的表示法恰好有 $|H \cap K|$ 種。更進一步，若 $(H\cap K) = \{1\}$，則表示法是唯一的。
:::

這個直覺是這樣：假定現在已經知道一種表示法 $h \in H$, $k \in H$，使得：

$$
l = hk
$$

那隨便挑一個在 $H \cap K$ 中的元素 $v$，然後故意乘一個再除一個 $v$：

$$
l = hvv^{-1}k = \underbrace{(hv)}_{\in H}\underbrace{(v^{-1}k)}_{\in K}
$$

如果 $v$ 是 $1$ 的話，這個表示式就是原來的 $hk$。如果不是的話，那就會蹦出相異的表示法。所以看起來數目就要跟 $|H \cap K|$ 一樣多。剩下的問題就是：這種構造方法能不能構造出所有的 $l$ 的表示式？答案是可以。假定現在有一個表示式 $h_1k_1$：

$$
h_1 k_1 = h k
$$

這時會發現：

$$
(h^{-1}h_1) = (kk_1^{-1}) = v \in (H \cap K)
$$

且：

$$
\begin{align}
hk &= h(vv^{-1})k
\newline
&= h(h^{-1}h_1)(kk_1^{-1})^{-1}k
\newline
&= h_1k_1
\end{align}
$$

因此，就可以由 $hk$ 配上 $v \in (H \cap K)$ 來造出 $h_1k_1$。

## 定理：乘積會跟原來同構的充分條件

:::danger

假定 $G$ 是一個群，且 $H, K \leq G$。若 $H, K$ 滿足下列條件：

$$
\begin{align}
H, K &\lhd G
\newline
(H \cap K) &= \{1\}
\end{align}
$$

則：

$$
HK \simeq H \times K
$$

:::

直覺上可能會想構造 *isomorphism*：

$$
\begin{align}
\phi : (H \times K) &\to HK
\newline
(h, k) &\mapsto hk
\end{align}
$$

因為 $(H \cap K) = \{1\}$ 保證了表示法唯一，但這件事情就是在說 $\phi$ 是 *injection*。而且也因為表示法唯一，所以 $|HK| = |H \times K|$，加上 *injection* 後就自動變成了 *bijection*。

因此，只要證明上面這個東西是 *homomorphism* 就好。而這會跟 $H, K$ *normal* 有關。因為：

$$
\begin{align}
\phi(h_1, k_1) \cdot \phi(h_2, k_2) &= (h_1k_1)(h_2k_2)
\newline
\phi(h_1h_2, k_1k_2) &= h_1h_2k_1k_2
\end{align}
$$

如果可以把 $h_2k_1$ 對調成 $k_1h_2$ 的話，那就證完了。這時就是 *normal* 可以用的地方。因為對於任意 $h \in H$ 以及 $k \in K$，有：

$$
\begin{align}
hkh^{-1}k^{-1} &= \underbrace{(hkh^{-1})}_{\in k}k^{-1}
\newline
&= h\underbrace{(kh^{-1}k^{-1})}_{\in h}
\newline
&\in (H \cap K) = \{1\}
\end{align}
$$

因此：

$$
hkh^{-1}k^{-1} = 1 \Rightarrow hk = kh
$$

所以就證完了。