# 代數導論二 Week 2 (Part 1) - Maximal Ideal

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## 定義：Maximal Ideal

> 這邊都假設 *ring* 有 $1$。

:::warning

假定 $R$ 是一個 *ring*，且 $M \unlhd R$。若：

1. $M \neq R$
2. 唯一包含 $M$ 的 *ideal* 是 $M$ 自己跟整個 $R$

則稱 $M$ 是一個 *maximal ideal*

:::

*maximal* 的意思是說：他跟整個 *ring* 中間沒有其他的 *ideal*。也就是不存在另外一個 *ideal* $I$，使得：

$$
M \subseteq I \subseteq S
$$

這個意義下的極大。

### 例子：Z/pZ

舉例來說，若令：

$$
S = \Bbb Z
$$

他裡面的 *maximal ideals* 長得就是 $p\Bbb Z$ 的長相，其中 $p$ 是一個質數。而假如 $\Bbb Z$ 裡面。兩個 *ideal* 之間有包含關係，他們就不會互質。因為用 Lagrange 定理不知道哪一個推論有：

$$
m\Bbb Z \subseteq n\Bbb Z \iff n \mid m
$$

這樣感覺起來，如果一個 *ideal* 不是 *maximal*，就可以往下找到一個包含他而且比她更大的 *ideal*。這樣一直操作下去，看起來就會找到包含一個 *ideal* 的最大 *ideal* 嗎？答案是未必。假定這個 *ring* 沒有 $1$，這樣的東西就會找不到。比如說：

> **Remark**: Suppose that $S$ has no identity, then there are examples tha has no max. ideals. Define $*$ on $\Bbb Q$ as
>
> $$
> a * b = 0
> $$
>
>consider $(\Bbb Q, +, *)$, ideals in $S$ are subgroups of $(\Bbb Q, +)$. Consider a subgroup $G \subseteq \Bbb Q$ and $\frac {1}{n} G$, where $n \in \Bbb Z^+$

## 敘述：每個 Proper Ideal 都可以找到包住他的 Maximal Ideal

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的 *ideal*，則對於每一個 *proper ideal* $I$，都存在一個 *maximal ideal* $M$，使得：

$$
I \subseteq M
$$

:::

這個東西要用 *Axiom of Choice* 裡面的一堆東西。

### 定理：Zorn's Lemma

:::danger

(Zorn's Lemma) Let $\mathcal C$ be a chain in $S$. Suppose that every chain in $S$ has an upper bound, then $S$ has a maximal element.

:::

其中，*upper bound* 的意思是：

### 定義：Upper Bound

:::warning

Let $B$ be a subset of $S$. An upper bound of $B$ is an element $u \in S$ such that

$$
u \geq b \quad \forall b \in B
$$

:::

舉例來說，剛剛 $\Bbb Q$ 的例子就沒有。考慮下面的 *chain*：

$$
\left\langle \frac {1}{p} \right\rangle \subseteq \left\langle \frac {1}{p^2} \right\rangle \subseteq \left\langle \frac {1}{p^3} \right\rangle \subseteq \dots
$$

這件事情可以沒完沒了的做下去，所以這個 *chain* 就沒有 *upper bound*。

### 證明

假定 $I \neq R$，而且 $I$ 是一個 *proper ideal*。令 $S$ 是「$R$ 中所有包含 $I$ 的 *ideal*」所形成的搜集：

$$
S = \{J \lhd R, J \text{ proper ideal and }J \supseteq I \}
$$

現在我們證明 $S$ 有最大元素，這個元素就是包住 $I$ 的那個最大 *ideal*。

$S$ 在包含關係之下是一個 *poset*。這時候隨便找一個 $S$ 中的 *chain* $\mathcal{C}=\{J_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ 中，接下來就證明這個 *chain* 落在 $S$ 中的 *upper bound*。

這個 *upper bound* 就是把所有 $S$ 中的 *ideal* 聯集起來：

$$
\mathcal J = \bigcup_{J \in \mathcal C} J
$$

很明顯地，對於 $\mathcal J$，所有 $J \in \mathcal C$ 都是他的子集 (因為 $\mathcal J$ 就是把他們通通聯集起來嘛)：

$$
\forall J \in \mathcal C.J \subseteq \mathcal J
$$

接下來要宣稱的事情就是：
1) 這個東西 *proper*
2) 這個東西是 *subring*
3) 這個東西是 *ideal*。

這樣一來，$\mathcal J$ 就會是這個 *chain* $\mathcal C$ 的 *upper bound*。

然後就可以說：因為 $\mathcal J$ 也是一個包含 $I$ 的 *proper ideal* (所以也會是 $S$ 的成員)，而且又是 $\mathcal C$ 的 *upper bound*。

任意一個 $S$ 中的 *chain* $\mathcal C$ 都可以這樣構造出一個 $S$ 中的 *upper bound*，所以由 *Zorn's Lemma*，就證明 $S$ 有最大元素。

==proper==：假定他不是 *proper*，也就是假定他是全部：

$$
\mathcal J = R
$$

這表示 $1$ 也在裡面：

$$
1 \in \mathcal J = \bigcup_{J \in \mathcal C}J
$$

這表示：$1$ 被包含在 *chain* 的某一個元素中。假定叫做 $A$ 好了。也就是：

$$
1 \in A \in S
$$

但因為 $A$ 是一個 *ideal*，而且又包含了 $1$，所以這個一定是整個 $R$：

$$
\begin{align}
&1 \in A
\newline
&\Rightarrow A = R \in S
\end{align}
$$

但這就矛盾了。因為 $A$ 就是整個 $R$ 的話 $A$ 就不是 *proper ideal*。但 $A$ 又是 $S$ 中的一個成員，這就表示 $S$ 包含了一個不是 *proper* 的 *ideal*，所以就跟當初找的 $S$ 的定義矛盾了。

==subring==：假定 $a, b \in \mathcal J$，這表示 $a, b$ 會被包含在某兩個 $\mathcal C$ 的成員中。也就是：

$$
\exists J' \in \mathcal C. a\in J'
$$

$$
\exists J'' \in \mathcal C. b\in J''
$$

因為 $\mathcal C$ 是個 *chain*，所以要嘛 $J' \subseteq J''$，要嘛 $J'' \subseteq J'$：

$$
(J' \subseteq J'')\text{ or }(J'' \subseteq J')
$$

不失一般性，假定 $J' \subseteq J''$。因為 $a \in J' \subseteq J''$，且 $b \in J''$，所以 $a, b$ 都會在 $J''$ 當中：

$$
a, b \in J''
$$

因為 $J'' \in \mathcal C \subseteq S$ 是一個 *ideal*，所以 $ab$ 與 $(a - b)$ 都在 $J''$ 當中：

$$
ab, (a-b) \in J'' \subseteq \bigcup_{J \in \mathcal C}J=\mathcal J
$$

所以就證明了 $\mathcal J$ 是一個 $R$ 的 *subring*。

==ideal==：就是要證明：

$$
R\mathcal J = \mathcal J
$$

$$
\mathcal J R = \mathcal J
$$

任意取 $r \in R$ 以及 $a \in \mathcal J$。因為 $\mathcal J$ 是 *chain* 的聯集，所以 $a$ 至少會包含某一個被聯集到的那個集合中。也就是：

$$
\exists J' \in S. a \in J'
$$

$J'$ 是一個 *ideal*，所以 $ra$ 跟 $ar$ 都在 $J'$ 裡面，而 $J'$ 又是 $S$ 中的成員，所以 $ar, ra$ 自然都包含在 $S$ 中所有成員的聯集當中：

$$
ar,ra\in\mathcal{J}
$$

## 敘述：Maximal Ideal = Quotient 之後是個 Field

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的交換環，$M \lhd R$ 是個 $R$ 中的 *proper ideal*。則：

$$
\begin{align}
&M \text{ is a maximal ideal}
\newline
&\iff R/M \text{ is a field}
\end{align}
$$
:::

> 現在要證的東西就是所有的東西都有反元素。

$R/M$ 是一個 *field* 的充分必要條件是裡面的 *ideal* 只有 $0$。所以：

$$
\begin{align}
&R/M \text{ is a field}
\newline
&\iff \text{ the only ideals in }R/M \text{ is }\bar 0 \text{ and }R/M
\newline
&\iff \text{ the only ideals in }R \text{ containing }M \text{ is }M \text{ and }R
\newline
&\iff M \text{ is maximal}
\end{align}
$$
其中第二個等價關係是由 *Lattice Isomorphism Theorem* 中 $R/M$ 與 $R$ 的對應關係得來。

用反證法，如果 $R$ 中有 *proper ideal* $I$ 滿足 $M\subset I \subset R$，則 $I/M$ 會是 $R/M$ 中的 *proper ideal*。

### 例子一：整數

:::danger

In $\Bbb Z$, all $p\Bbb Z$, where $p$ is a prime, are maximal ideal

:::

> $\Bbb Z$ 中的 *maximal ideal* 都是 $p\Bbb Z$ 長相的東西，其中 $p$ 是一個質數。這件事情可以去驗證 $\Bbb Z /p\Bbb Z$ 是一個 *field* 就可以了。

Suppose

$$
0 \neq \bar a \in \Bbb z / p\Bbb Z
$$

Find $a \in \Bbb Z$ such that image of $a$ in $\Bbb Z / p\Bbb Z$ is $\bar a$

$$
\begin{align}
p \not \mid a &\Rightarrow \gcd(p, a) = 1
\newline
&\Rightarrow \exists x, y \in \Bbb Z. px + ay = 1
\newline
& \Rightarrow \bar a \bar y = 1 \in \Bbb Z / p\Bbb Z
\end{align}
$$

thus $\Bbb Z / p\Bbb Z$ is a field

### 例子二：整數多項式

:::danger

In $\Bbb Z[x]$, consider $I(p, x)$, where $p$ is a prime. Then $I(p, x)$ is an maximal ideal.

:::

$$
\Bbb Z[x]/I \simeq \Bbb Z / p\Bbb Z \text{ is a field}
$$

Thus $I$ is maximal.

### 例子三：Group Ring

$$
\begin{align}
\rho : RG & \to R
\newline
\sum_{g \in G}a_gg &\to \sum_{g \in G}a_g
\end{align}
$$

*Suppose* $I = \ker(\rho)$ and $R$ is a field, then $I$ is maximal.