# 代數導論 (27) - Semidirect Product (Part 2)

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## 觀察：回到 Direct Product 的時機

如果這個 $\varphi$ 是個很無聊的狀況，比如說：不管怎麼樣他都只會生出一個 *identity*。即：

$$
\begin{align}
\varphi : K &\to \text{Aut}(H)
\newline
k &\to I_H
\end{align}
$$

那麼，這樣乘法就會變成：

$$
(h_1, k_1)(h_2, k_2) = (h_1I_H(h_2), k_1k_2) = (h_1h_2, k_1k_2)
$$

這就會變成 *direct product* 的狀況。因此可以說這是一個比較一般的版本。而除了這個條件之外，還有其他等價條件可以讓他回到 *direct product*：

:::danger

假定 $H, K$ 是兩個群，$G = H \rtimes K$。則下列敘述等價：

1. 以下的映射是個 *isomorphism*：

$$
\begin{align}
\phi : (H \rtimes K) &\to (H \times K)
\newline
(h, k) &\mapsto (h, k)
\end{align}
$$

2. 對應的 *group action* 為 *trivial*：

$$
\begin{align}
\varphi : K &\to \text{Aut}(H)
\newline
k &\mapsto I_H
\end{align}
$$

3. $X_K$ 是 *normal subgroup*：

$$
G_K \lhd (H \rtimes K)
$$
:::

==1 到 2==

這只要證明：==對於任意的 $k \in K$，他們作用在 $h$ 的每一個的元素上，都會讓 $h$ 維持原樣==就好了。但前面已經知道有一個東西可以湊出 $k(h)$ 的樣子。那就是：

$$
(1, k)(h, 1)(1, k)^{-1} = (k(h), 1)
$$

所以，因為 1. 說 $(h, k) \mapsto (h, k)$ 是個 *isomorphism*，所以用它把左右同時送到 $H \times K$：

$$
\begin{align}
\boxed{(1, k)}\ \boxed{(h, 1)}\ \boxed{(1, k)^{-1}} &\mapsto \boxed{(1, k)}\ \boxed{(h, 1)}\ \boxed{(1, k^{-1})} = (h, 1)
\newline
(k(h), 1) &\mapsto (k(h), 1)
\end{align}
$$

就會發現：對於任意 $h \in H$，不管哪個 $k \in K$ 跟他作用，都會有：

$$
k(h) = h
$$

因此得證。

==2 到 3==

這就是這個定理一開始提到的狀況。因為這時候他定義的運算，根本就讓它變成了一個 *direct product*：

$$
(h_1, k_1)(h_2, k_2) = (h_1h_2, k_1k_2)
$$

所以，*direct product* 裡面有的 $G_K \lhd G$ 也應該也會跟著有。如果不放心要證明一次的話，可以直接爆開驗證看看。因為現在二元運算跟 *direct product* 一樣了，所以反元素根本也一樣：

$$
\boxed{(h, k)^{-1} = (h^{-1}, k^{-1})}
$$

也因為二元運算跟 *direct product* 是一樣的，因此：

$$
(h, k)\boxed{(h^{-1}, k^{-1})} = (hh^{-1}, kk^{-1})
$$

所以，對任意元素 $(g_1, g_2)$ 取共軛，在現在的狀況下，展開的結果就是：

$$
\begin{align}
(g_1, g_2)(1, k)(g_1, g_2)^{-1} &= (g_1, g_2)(1, k)(g_1^{-1}, g_2^{-1})
\newline
&= (g_1g_1^{-1}, g_2kg_2^{-1})
\newline
&= (1, g_2kg_2^{-1}) \in G_K
\end{align}
$$

==3 到 1==

因為本來就有 $X_H \lhd G$，現在又有 $X_K \lhd G$，所以現在可以知道：對於任意 $x_h \in G_H$ 以及 $x_k \in G_K$，有：

$$
\begin{align}
(x_kx_hx_k^{-1}x_h^{-1}) &= (x_kx_hx_k^{-1})x_h^{-1}
\newline
&= x_k(x_hx_k^{-1}x_h^{-1})
\newline
&\in (X_H \cap X_K)
\end{align}
$$

但因為 $(X_H \cap X_K)$ 裡面只有 $\{1\}$，所以：

$$
x_kx_hx_k^{-1}x_h^{-1} = 1 \Rightarrow x_hx_k = x_kx_h
$$

或是說：

$$
x_kx_hx_k^{-1} = x_h
$$

但這就表示：對於任意 $x_h \in X_H$，有：

$$
(x_kx_hx_k^{-1}) = (k(h), 1) = (h, 1)
$$

因此，對於任意 $k$ 跟任意 $h$，有：

$$
k(h) = h
$$

這也就是在說：如果今天發現今天發現 $X_K \lhd G$，那就表示這個 *semidirect product* 對應的 $\varphi$ 根本就 *trivial*。也就是說：

$$
\boxed{(h_1, k_1)(h_2, k_2)} = (h_1k_1(h_2), k_1k_2) = \boxed{(h_1h_2, k_1k_2)}
$$

換句話說：

$$
(h_1, k_1)(h_2, k_2) = (h_1h_2, k_1k_2)
$$

所以就得證了「如果 $(h_1, k_1) \mapsto (h_1, k_1)$ 且 $(h_2, k_2) \mapsto (h_2, k_2)$，則 $(h_1, k_1)(h_2, k_2)$ $\mapsto$ $(h_1h_2, k_1k_2)$」。由此得證。

## 觀察：可以分解的時機

現在的另外一個問題是：什麼時候 $G$ 可以分解成 $HK$？這裡有一個：

:::danger

假定 $G$ 是一個群，$H, K \leq G$。若 $H, K$ 同時滿足下面兩個條件：

$$
\boxed{\begin{align}
H & \lhd G
\newline
(H \cap K) &= \{1\}
\end{align}}
$$

並且定義：

$$
\begin{align}
\varphi : K &\to \text{Aut}(H)
\newline
k &\to \sigma_k
\end{align}
$$

其中：

$$
\begin{align}
\sigma_k : H &\to H
\newline
k &\to khk^{-1}
\end{align}
$$

則：

$$
\boxed{G = HK}
$$

且：

$$
\boxed{G \simeq H \rtimes K}
$$

:::

最一開始的條件保證了 $HK \leq G$，而且每一個 $g \in G$ 中若要把 $g = hk$，其中 $h \in H$ 且 $k \in K$，則這個表示法是唯一的。也就是說：

$$
\begin{align}
G &\to HK
\newline
g &\to hk
\end{align}
$$

這個映射是 *bijection*，所以 $HK = G$。而且更進一步，下面這個映射也是個雙射：

$$
\begin{align}
\phi : G &\to H \rtimes K
\newline
g &\to (h, k)
\end{align}
$$

所以要證明同構，現在就只差證明 $\phi$ 是個 *homomorphism*。因此就任意挑 $g_1, g_2 \in G$，並且把他們寫成 $hk$，其中 $h \in H$，$k \in K$ 的形式：

$$
\begin{align}
g_1 &= h_1k_1
\newline
g_2 &= h_2k_2
\end{align}
$$

由 $\phi$ 的定義知道：==$\phi(g_1) = (h_1, k_1)$，且 $\phi(g_2) = (h_2, k_2)$==。所以現在的問題就是 $\phi(g_1g_2)$ 會是什麼。但在這之前，要先知道怎麼把 $g_1g_2$ 表示成 $hk$ 乘積的形式。所以就先看看 $g_1g_2$ 長成什麼樣子。這會用到 $H$ *normal*：

$$
\begin{align}
g_1g_2 &= h_1k_1h_2k_2
\newline
&= h_1k_1h_2(k_1^{-1}k_1)k_2
\newline
&= h_1(k_1h_2k_1^{-1})k_1k_2
\newline
&= \underbrace{\boxed{h_1(k_1h_2k_1^{-1})}}_{\in H}\ \ \underbrace{\boxed{k_1k_2}}_{\in K}
\end{align}
$$

這邊用到 $H \lhd G$ 所以，$(k_1h_2k_1^{-1}) \in H$，因此再黏一個 $h_1$ 在前面，還是在 $H$ 中。

而另外一方面，由 $\phi$ 的定義，加上這個 *semidirect product* 中，$\varphi$ 的定義是用「取共軛」，所以看到 $k(h)$ 時，他定義的 *group action* 其實是取共軛。即：

$$
k(h) = khk^{-1}
$$

因此照 $H \rtimes K$ 中元素相乘的定義展開：

$$
\begin{align}
(h_1, k_1)(h_2, k_2) &= (h_1k_1(h_2), k_1k_2)
\newline
&= (\underbrace{\boxed{h_1(k_1h_2k_1^{-1})}}_{\in H}, \underbrace{\boxed{k_1k_2}}_{\in K})
\end{align}
$$