# 代數導論二 - Quadric Field and Quadric Integer

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## 符號：R[W]

:::warning

定義 $R[\omega]$ 為以下集合：

$$
R[\omega] = \{a + b\omega \mid a, b \in R\}
$$

:::

### 觀察：是 C 中的子環

:::danger

假定 $D \in \Bbb Z$ 是一個 *square free* 的整數。則以下的集合是一個 $\Bbb C$ 中的子環

$$
\Bbb Q[\sqrt{D}] = \{a + b\sqrt{D} \mid a, b \in \Bbb Q\}
$$

:::

### 觀察：當 D 模 4 餘 1 時

:::danger

假定 $D \in \Bbb Z$ 是一個 *square free* 的整數。若，$D$ 滿足：

$$
D \equiv 1 \mod 4
$$

則以下的集合也是一個 $\Bbb C$ 中的子環：

$$
\Bbb Q[\frac {1 + \sqrt{D}}{2}]
$$

:::

### 定義：W

:::warning

假定 $D$ 是一個 *square-free* 的整數。定義：

$$
\omega = \begin{cases}
\sqrt{D} & \text{if } D \equiv 2, 3 \mod 4
\newline
\frac {1 + \sqrt{D}}{2} & \text{if }D \equiv 1 \mod 4
\end{cases}
$$

則 $\Bbb Q[\omega]$ 是一個 $\Bbb C$ 中的子環。

:::

## 定義：Norm

:::warning

$\Bbb Q[\omega]$ 可視為一個同構於 $\Bbb Q^2$ 的向量空間。對於任意 $x \in \Bbb Q[\sqrt D]$，定義以下映射：

$$
\begin{align}
m_x : \Bbb Q[\sqrt{D}] &\to \Bbb Q[\sqrt{D}]
\newline
y &\mapsto xy
\end{align}
$$

可以觀察：對於任意 $x \in \Bbb Q[\sqrt{D}]$，這 $m_x$ 都是一個線性轉換。定義 $N(x)$ 為 $m_x$ 的行列式：

$$
N(x) = \det m_x
$$

:::

### 觀察：Norm 的乘法可拆

:::danger

$$
N(xy) = N(x)N(y)
$$

:::

來自於：

$$
m_{xy} = m_x \circ m_y
$$

以及線性轉換合成，行列式相乘：

$$
\det m_{xy} = (\det m_x)(\det m_y)
$$

### 觀察：D 是模 4 餘 2 或 3 的負數時

:::danger

假定 $D$ 是一個 *square-free* 的整數，且 $D$ 模 $4$ 餘 $2$ 或 $3$。則對於任意 $x \in \Bbb Q[\sqrt{D}]$，$N(x)$ 就是 $x$ 在複數平面上距離的平方：

$$
N(x) = |x|^2
$$

:::

可以觀察：若 $x = a + b\sqrt{D}$，那麼把 $\langle 1, \sqrt{D} \rangle$

$$
m_x(1) = a + b \sqrt D
$$

$$
m_x(\sqrt{D}) = bD + a \sqrt D
$$

所以：

$$
\det m_x = a^2 - b^2 D
$$

當 $D < 0$ 的時候，令 $D = -n$，其中 $n \in \Bbb N$。則：

$$
\begin{align}
N(x) &= a^2 - b^2 D
\newline
&= a^2 + b^2 n = |a + b\sqrt D|^2
\end{align}
$$

所以 $N$ 這時候就是複數平面上距離的平方。