# 代數導論二 - 2nd Isomorphism Theorem

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## Second Isomorphism Theorem

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假定 $R$ 是一個 *ring*，且 $A$ 是 $R$ 的 *subring*，$I$ 是一個 $R$ 中的 *ideal*。則：

1. $A + I$ 是一個 $R$ 中的 *subring*

$$
\boxed{A + I \text{ is a subring of }R}
$$

且 $A \cap I$ 是一個 $A$ 中的 *ideal*：

$$
\boxed{A \cap I \lhd A}
$$

3. $A, I, (A + I), (A \cap I)$ 三者有以下關係：

$$
\boxed{(A + I)/I \simeq A / (A \cap I)}
$$

:::

### 證明：敘述二

假定前面 2 個敘述都成立，那麼首先給了 $I$ 跟 $A$ 之後，就可以用 *natural inclusion* 把 $A$ 「嵌入」 $(A + I)$


接著因為 $I$ 是一個 $(A + I)$ 中的 *ideal*，所以可以對他做 *quotient*


這時候把兩個映射合起來，假定叫做 $\psi$


如果 $\psi$ 是個 *surjective homomormpmprphism*，那麼就可以另外拿它做 *first isomorphism*


而且由第一個 *isomorphism*，會有下面的同構關係：


而且更進一步，如果 $\ker \psi$ 就是 $(I \cap A)$，那就會有下面的同構關係：


所以要證明：$\psi$ 是 *surjective*，而且：

$$
\ker \psi = (A \cap I)
$$

*surjective* 很好驗證，因為每一個 $(A + I)/I$ 中的元素，都具有以下形式：

$$
a + k + I
$$

其中 $a \in A$ 且 $k \in I$。但是對於任意 $k \in I$，有：

$$
k + I = I
$$

所以任意一個 $(A + I)/I$ 中的元素，其實都具有以下形式：

$$
a + I \quad a \in A
$$

但這就是在說：任意的 $(I + A)/I$ 中的元素，都存在一個 $a \in A$，使得：

$$
\psi(a) = a + I
$$

所以 $\psi$ 是 *surjection*。

而 *kernel* 的部分，假定 $a \in A$ 可以使 $\psi(a) = 0$。那麼：

$$
\psi(a) = 0 \iff a + I = I \iff a \in I
$$

因此這件事充份必要於 $a \in I$。但是 $a \in A$，所以：

$$
\psi(a) = 0 \iff a \in (A \cap I)
$$

### 證明：敘述一

前面已經證明過 $(A + I)$ 是同時包含 $A, I$ 的最小 *subring*，所以也是個 *subring*; 另外 *subring* 的交集也是個 *subring*，所以 $(A \cap I)$ 也是一個 *subring*。只要證明 $(A \cap I)$ 有

$$
A(A \cap I) \subseteq (A \cap I)
$$

$$
(A \cap I)A \subseteq (A \cap I)
$$

因為隨便挑一個 $(A \cap I)$ 中的元素 $x$，然後對於每一個 $A$ 中的元素 $a$。因為 $x, a \in A$，所以很明顯有：

$$
ax, xa \in A
$$

另外一方面，因為 $x \in I$，而 $I$ 是一個 *ideal*，所以對於任意 $a \in A \subseteq R$，都有：

$$
ax, xa \in I
$$

上面兩個加起來，就有：

$$
ax, xa \in (A\cap I)
$$

因為 $a$ 取便所有 $A$ 中的元素都會隊，所以就證明了 $(A \cap B)$ 是一個 $A$ 中的
*ideal*。