# 代數導論 (6) - Cyclic Subgroup

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## 定義：Cyclic Group

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**Def (Cyclic Subgroup)**：假定 $G$ 是一個 *group*，且 $a \in G$。定義以下集合：

$$
\langle a \rangle = \{a^{m} : m \in \mathbb Z\}
$$

其中，$a^{n}$ 定義為：

$$
a^{m} = \begin{cases}
(a^1)^m & \text{if } m > 0
\newline
1 & \text{if }m = 0
\newline
(a^{-1})^{-n} & \text{if } m < 0
\end{cases}
$$

則 $\langle a \rangle$，是一個 $G$ 的子群，且該子群稱為 *cyclic subgroup of $G$ generated by $a$*。

:::

### 性質：Generator 的 Order 就是集合大小

:::danger

假定 $G$ 是一個群，$x \in G$。則：

$$
\boxed{o(x) = |\langle x \rangle|}
$$

且更進一步，依照 $|\langle x \rangle|$ 是否有限，有下列兩個結論：

1. 若 $|\langle x \rangle| = n < \infty$，則：
$$
\boxed{x^n = 1}
$$

且前 $n$ 個元素，恰好就是 $\langle x \rangle$ 中的所有元素。即：

$$
\boxed{\langle x \rangle = \{1, x \dots x^{n - 1}\}}
$$

更進一步，$1 \dots x^{n-1}$ 中，所有的元素都相異。

2. 若 $|\langle x \rangle| = \infty$，則 $x$ 的任一冪次不為單位元。即：
$$
\boxed{x^{n} \neq 1 \quad \forall n \neq 0}
$$

且若冪次不等，則結果必定不同：

$$
\boxed{x^a \neq x^b \quad \forall a \neq b \in \mathbb Z}
$$

:::

首先考慮 $o(x)$ 有限的狀況。假定：

$$
o(x) = n < \infty
$$

首先證明 $\{1 \dots x^{n-1}\}$ 中的元素均相異。假定存在：

$$
x^{a} = x^{b}
$$

且不失一般性地，假定 $a < b$。即：

$$
0 \leq a < b < n
$$

則：

$$
x^{a} = x^{b} \Rightarrow x^{b - a} = 1
$$

但這樣一來，$o(x)$ 就不會是 $n$ 了。因為：

$$
x^{b - a} = 1 \text{ ; and }(b - a) < n = o(n)
$$

因此矛盾。

由這個結論可以知道：==$\langle x \rangle$ 中，至少有 $o(x)$ 個相異元素==。現在只要證明：這 $o(n)$ 個元素，就是裡面所有的元素就好。

直覺是這樣：如果每作用 $n$ 後，都會「輪迴」到前面某一個元素，那麼之後繼續作用，也只不過是一職重複之前做過的事而已。而證明的方式就是用除法原理：假定存在 $t \neq 1 \dots n -1$，使得：

$$
x^{t} \not \in \{1 \dots x^{n-1}\}
$$

對 $t$ 用除法原理，知道可以表為：

$$
t = nq + r \quad 0 \leq r < n
$$

因此：

$$
x^{t} = x^{nq + r} = x^{nq} x^r = x^r
$$

但 $0 \leq r < n$，所以他一定是 $\{1 \dots x^{n-1}\}$ 裡面其中一個。因此就矛盾了。

類似地，$o(x) = \infty$ 的狀況。首先，$o(x)$ 都已經是無限了，依照 $o(x) = \infty$ 的定義，不可能存在有限的整數使得 $x^{k} = 1$。

而假定：

$$
x^{a} = x^{b}
$$

不失一半性地，假定 a < b，那麼就有：

$$
x^{a} = x^{b} \Rightarrow x^{b - a} = 1
$$

但這樣一來：

$$
o(x) = b - a < \infty
$$

所以就跟 $o(x) = \infty$ 的狀況矛盾。

### 性質：Order 與最大公因數

:::danger

假定 $G$ 是一個群，$x \in G$。則：

$$
\boxed{\begin{cases}
x^{n} &= 1
\newline
x^{m} &= 1
\end{cases}
\Rightarrow
x^{(m, n)} = 1}
$$

其中，$(m, n)$ 是 $m, n$ 的最大公因數。

:::

這其實就是用輾轉相除法：假定 $(m, n) = d$，則存在 $a, b \in \mathbb Z$，使得：

$$
am + bn = d
$$

把它塞冪次裡面：

$$
\begin{align}
x^{am + bn} &= x^{d}
\newline
\Rightarrow (x^{m})^a \cdot (x^{n})^{b} &= x^{d}
\newline
\Rightarrow (1)^{a} \cdot (1)^{b} &= x^{d}
\end{align}
$$

由此得證。

### 性質：冪次的 Order

:::danger
假定 $G$ 是一個群，$x \in G$，且 $\langle x \rangle$ 的大小 $|\langle g \rangle| = n$。則對於任意 $x = g^{m} \in G$，有：

$$
\boxed{o(x) = \frac {n}{(m, n)}}
$$

其中，$(m, n)$ 是 $m, n$ 的最小公因數。

:::

這個定理看起來很顯然，比如說已經知道 $g^{6} = 1$，那麼 $g^2$ 自己作用在自己身上 3 次之後就會變成 $(g^2)^3 = g^6$，當然會變成 1。不過問題是：==*order* 是能使元素變成單位元的「最小」冪次==，而這個次數是不是「最小」，至少第一眼看起來沒那麼顯然。這也是需要證明的地方。

首先，令：

$$
d = (m, n)
$$

因此，可以把 $m, n$ 表為：

$$
\begin{align}
m &= dm' \newline
n &= dn'
\end{align}
\quad (m', n') = 1
$$

這時：

$$
x^{n'} = g^{mn'} = g^{dm'n'} = (g^{dn'})^{m'} = 1^{m'} = 1
$$

也就是：

$$
x^{\frac {n}{(m, n)}} = 1
$$

因此，現在就有：

$$
o(x) \mid \frac {n}{(m, n)}
$$

接下來證明這真的是他的 *order*。假定：

$$
o(x) = r
$$

則：

$$
(x)^{r} = (g^m)^r = g^{mr} = 1
$$

既然 $g^n = 1$，因此：

$$
n \mid mr
$$

所以：

$$
\begin{align}
mr = nk &\Rightarrow m'r = n'k
\newline
&\Rightarrow n' \mid m'r
\end{align}
$$

但既然 $(m', n') = 1$，所以 $n' \not \mid m'$，因此唯一的可能就是：

$$
n' \mid r
$$

換回原先的符號，就是：

$$
\frac {n}{(m, n)} \mid o(x)
$$

由此得證：

$$
o(x) = \frac {n}{(m,n)}
$$

### 性質：Order 互質的元素都可以是 Generator
:::danger
假定 $G$ 是一個群，且 $g \in G$，且 $|\langle g \rangle| = n$。若：

$$
x = g^{m}
$$

其中，$0 \leq m < n$，且 $(m, n) = 1$，則 $g^{m}$ 也是一個 $\langle g \rangle$ 的 *generator*。即：

$$
\boxed{\langle x \rangle = \langle g \rangle}
$$

:::

這其實就是上面的 *corollary*。這個結論可以引出的另外一個結論是：假定

$$
\phi : \langle g \rangle \to \langle x \rangle
$$

其中：

$$
\phi(a) = a^{m}
$$

那麼 $\phi$ 是一個 *automorphism*。

### 性質：同 Order 的 Cyclic Group 都一樣

:::danger
假定 $G$ 是一個群，$x_1, x_2 \in G$。若 $o(x_1) = o(x_2)$，則 $\langle x_1 \rangle$, $\langle x_2 \rangle$ 間存在 *isomorphism*。即：

$$
\boxed{o(x_1) = o(x_2) \Rightarrow \langle x_1 \rangle \simeq \langle x_2 \rangle}
$$

:::

這個 *isomorphism* 可以直接訂出來。令：

$$
\begin{align}
\phi(x_1) &= x_2
\newline
\phi(x^r) &= \phi(x)^r
\end{align}
$$

就可以了。

## 例子：Dihedral Group 的動作

考慮 $D_{2n}$ 中所有的旋轉動作：

$$
R = \{1, r \dots r^{n - 1}\}
$$

則 $R \leq D_{2n}$，而且對於任意 $\sigma \in R$：

$$
o(\sigma) = n
$$

而所有的鏡射動作：

$$
S = \{s, sr^{1} \dots sr^{n - 1}\}
$$

裡面任何一個動作的 *order* 都是 2 (因為鏡射之後的旋轉就變成反方向旋轉了，所以會把原先的旋轉抵銷掉)。