# 代數導論二 - Ring Basics

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## 定義：環

:::warning

**Def (Ring)**

假定 $R$ 是一個集合。定義兩個 $R$ 上的二元運算：

$$
\begin{align}
+:R \times R &\to R
\newline
\times:R \times R &\to R
\end{align}
$$

若這兩個二元運算滿足下面三點：

++**1. 配上加法是個可交換群**++

$$
\boxed{(R, +) \text{ is an }\mathbf{Abelian\ group}}
$$

++**2. 乘法有結合律**++：

對於任意 $a, b, c \in R$，有：

$$
\boxed{(a \times b) \times c = a \times (b \times c)}
$$

++**3. 有左右分配律**++：

對於任意 $a, b, c \in R$，有：

$$
\boxed{\begin{align}
(a + b) \times c &= (a \times c) + (b \times c)
\newline
c \times (a + b) &= (c \times a) + (c \times b)
\end{align}}
$$

則稱 $(R, +, \times)$ 是一個 *ring*。在兩個二元運算不重要，或前後文明確的狀況下，也會直接簡稱「$R$ 是個 *ring*」。
:::

乍看之下，這是個多了一個乘法的群。不過這個乘法在這個最基本款的定義中，保證的東西很少。比如說：

1. 不保證有乘法單位元
2. 不保證有沒有乘法反元素
3. 就算有單位元，也沒有說「加法單位元」與「乘法單位元」一定不一樣。

接下來會定一些相關的概念。大致上就是在現在這個基本款的定義上，加上一些性質。可以把他們想成是「升級版」的 *ring*，而升級到最終的版本變成一個 *field*。在這之前，先看一個基本款的群有的性質：

### 性質：基本性質

:::danger
**Prop**

假定 $R$ 是一個 *ring*。則對於任意 $a, b \in R$，有下列性質：

++**1. 加法單位元乘任何人都是加法單位元**++：

$$
0a = a0 = 0
$$

++**2. 正負得負**++

$$
(-a)b = a(-b) = -(ab)
$$

++**3. 負負得正**++

$$
(-a)(-b) = ab
$$

:::

上面這些性質大多都是從分配律，以及「配上加法是個群」所以可以用群的消去律來證明。比如：

$$
0a = (0 + 0)a = 0a + 0a \Rightarrow 0a = 0
$$

類似地，用另外一邊的分配律就會得到 $a0 = 0$。

而「正負得負」與「負負得正」的部分，也是使用分配律證明。比如：

$$
\begin{align}
(-a)b + ab = (-a + a)b = 0b = 0
\newline
a(-b) + ab = a(-b + b) = a0 = 0
\end{align}
$$

因此得證 $(-a)b$ 跟 $a(-b)$ 都是 $ab$ 的反元素。但 $R$ 配上加法是個群，而群的反元素唯一，所以得證大家都一樣，都是那個唯一的反元素。

最後，把正負得負用兩次，比如說令：

$$
b' = -b
$$

那麼就有：

$$
\begin{align}
(-a)(-b) &= (-a)(b')
\newline
&= -(ab')
\newline
&= -(a(-b))
\newline
&= -(-(ab))
\end{align}
$$

所以這個東西是「$-(ab)$ 的反元素」，顯然 $ab$ 就是 $-(ab)$ 的反元素。因為反元素都是唯一的，所以就得證兩者相等：

$$
(-a)(-b) = -(-(ab)) = ab
$$

## 定義：Commutative

*Ring* 的定義中已經有說：配上加法是可交換群。所以這邊的「可交換」是針對乘法的部分：

:::warning
**Def (Commutative Ring)**

假定 $(R, +, \times)$ 是一個 *ring*。若對於任意 $a, b\in R$，滿足：

$$
(a \times b) = (b \times a)
$$

則稱這個群是 *commutative* 的。
:::

## 定義：Identity

類似地，因為對於加法已經是個群，所以這邊的「有單位元」指得是「乘法有單位元」：

:::warning
**Def (Has identity)**

假定 $R$ 是一個 *ring*。若存在一個元素 $e \in R$，使得：

$$
(a\times e) = (e \times a) = a \quad \forall a \in R
$$

則稱這個 *ring* 「有單位元」。並且用 $1$ 來表是這個乘法單位元。

:::

如果是看英文書籍，常常會有如 *R is a ring with identity...* 之類的敘述，這種時候說的 *identity* 都是指乘法單位元。因為依照原來集合配上加法已經是個 *Abelian group* 了嘛，所以沒有「有沒有加法單位元」的問題。

除此之外，這邊雖然說是「乘法」單位元，但並==沒有規定這個乘法單位元跟加法單位元是否不同==。也就是說：就算這個乘法單位元 $1 = 0$ ，也是合法的狀況。不過，這個乘法單位元一旦存在，就必定是唯一的：

### 性質：乘法單位元存在則唯一

:::danger

**Prop**

假定 $R$ 是一個 *ring*。若 $R$ 存在乘法單位元，則==乘法單位元是唯一的==。且更進一步，若用 $1$ 表示這個乘法單位元，則有：

$$
\boxed{-a = (-1)a}
$$

:::

==唯一性==：

假定有個乘法單位元 $e_1, e_2$，故意把兩個乘法單位元黏在一起，依照乘法單位元的定義，有：

$$
e_1 = e_1e_2 = e_2
$$

==反元素==

另外一方面，則是用分配率證明「$(-1)a$ 是 $a$ 的加法反元素」：

$$
\begin{align}
(-1)a + a &= (-1)a + (1)a
\newline
&= (-1 + 1)a
\newline
&= 0a = 0
\end{align}
$$

## 定義：Unit

雖然說現在有乘法單位元，但基本款的 *ring* 並沒有保證「乘法反元素必定存在」，因此可能只有部分元素存在乘法反元素。而這些元素稱為 *unit*：

:::warning

假定 $R$ 是一個有乘法單位元的群，且乘法單位元與加法單位元不同。即：

$$
\boxed{0 \neq 1}
$$

若一個元素 $u \in R$ 存在乘法反元素，即：

$$
\begin{align}
\exists &u' \in R.
\newline
&u'u = uu' = 1
\end{align}
$$

則稱 $u$ 是一個 *unit*。用 $R^{\times}$ 來表示「$R$ 中所有 *unit*」。即：

$$
R^{\times} = \{u \in R \mid u \text{ is a }\mathbf{unit}\}
$$
:::

注意這個定義是在 ==$R$ 有乘法單位元，而且乘法單位元跟加法單位元「不」一樣==的狀況下，才有的定義。

現在的狀況來看，如果把所有具有乘法反元素的元素通通收集起來，這些元素中一定包含了一個乘法單位元。有反元素、有單位元，聽起來像是可以形成另外一個群。沒錯，他們確實可以成為一個群：

### 觀察：Unit 形成一個群

:::danger
假定 $(R, +, \times)$ 是一個 *ring*。且 $R$ 存在乘法單位元 $1$，並且：

$$
\boxed{0 \neq 1}
$$

則 $R^{\times}$ 跟 $\times$ 形成一個群：

$$
\boxed{(R^{\times}, \times) \text{ is a } \mathbf{group}}
$$

:::

如果定義運算就是 *ring* 自己的乘法的話，那這個運算是 *well-defined* 的。因為如果 $u, v$ 都是 *unit*，那就表示存在 $u', v'$，使得：

$$
\begin{align}
uu' = u'u = 1
\newline
vv' = v'v = 1
\end{align}
$$

這樣一來，$uv$ 也會是一個 *unit*，因為他跟 $v'u'$ 就有：

$$
\begin{align}
(uv)(v'u') = u(vv')u' = uu' = 1
\newline
(u'v')(vu) = u'(v'v)u = u'u = 1
\end{align}
$$

同時，$v'u'$ 也是一個 *unit*，因為他跟 $uv$ 乘起來就是乘法單位元，所以也在 $R^{\times}$ 裡面。

有了一個 *well-defined* 的二元運算，又有單位元 (就是 *ring* 自己的乘法單位元)、每個元素都有反元素 (*unit* 的定義)、結合律 (群自己的乘法定義)，所以就變成一個群了。

## 定義：Zero Divisor

:::warning
假定 $R$ 是一個 *ring*，$a \in R$ 且 $a \neq 0$。若存在元素 $0 \neq b \in R$，使得「$a, b$ 的乘法結果是加法單位元」，即：

$$
\exists 0 \neq b \in R. ab = 0 \text{ or }ba = 0
$$

則稱 $a$ 是一個 *zero devisor*

:::

如果是用有理數或實數這種東西去想它可能會覺得很奇怪，但如果把 $a, b$ 想成矩陣的話，看起來就沒有那麼奇怪了。

### 觀察：單位元不同時，不能同時是 Zero Divisor 與 Unit

假定 $a$ 是個 *zero divisor*，就表示存在 $b \neq 0$，使得：

$$
\begin{align}
&ab = 0\text{; or}
\newline
&ba = 0
\end{align}
$$

假定現在的狀況是 $ab = 0$ 好了，利用反證法：假定 $a$ 又是個 *unit*，那麼表示存在元素 $a'$，使得：

$$
aa' = a'a = 1
$$

但這就表示：

$$
ab = 0 \Rightarrow a'(ab) = a'0 = 0
$$

但另外一方面，用結合律就會發現：

$$
a'(ab) = (a'a)b = b = 0
$$

但前面已經說 $b \neq 0$，所以就矛盾了。類似地，如果今天是 $ba = 0$ 的狀況，那也只是把 $a'$ 換個地方乘：

$$
\begin{align}
&(ba)a' = 0a' = 0
\newline
&(ba)a' = b(a'a) = b
\end{align}\Rightarrow b = 0
$$

因此矛盾。

### 觀察：乘法消去的條件

:::danger

假定 $R$ 是一個群，且 ==$a \in R$ 不是一個 *zero devisor*==，則：

$$
ab = ac \Rightarrow \begin{cases}
a = 0 \text{; or}
\newline
b = c
\end{cases}
$$

:::

這邊注意 「$a$ 不是 *zero divisor*」有兩種可能：第一種是 $a \neq 0$，而且沒有非零元素 $b$ 能使 $ab = 0$ 或 $ba = 0$; 第二種是 $a$ 根本就是 $0$ (因為依照前面 *zero divisor* 的定義，$0$ 不是 *zero divisor*)。

所以，若 $ab = ac$，那麼用 *ring* 裡面，加法群的消去律，以及 *ring* 中的分配律會有：

$$
ab - ac = 0 \Rightarrow a(b - c) = 0
$$

這時既有兩種狀況：「$a$ 是 $0$」或「$a$ 不是 $0$」。如果「$a$ 是 $0$」，$a$ 必定不是個 *zero divisor*，所以就是定理敘述的第一個狀況; 如果是後者，因為前提說「$a$ 不是個 *zero divisor*」，所以如果 $(b - c) \neq 0$，那就跟這個前提矛盾，因為這樣找到跟 $a$ 乘會變成 $0$ 的非零元素。因此他必須要是 $0$，也就是：

$$
b - c = 0 \Rightarrow b = c
$$

就是敘述中描述的另外一種狀況。