# 代數導論 (22) - Automorphism

## 定義：Automorphism

> **Def (Automorphism)**
>
> 假定 $G$ 是一個群，若一個函數 $\sigma : G \to G$ 是個 *bijective homomorphism*，則稱 $\sigma$ 是一個 *automorphism*。並且用 $\text{Aut}(G)$ 來表示「$G$ 上的所有 *automorphism*」：
>
> $$
> \boxed{\text{Aut}(G) = \{\sigma : G \to G \mid G \text{ is automorphism}\}}
> $$

舉例來說：固定元素 $x \in G$ 取共軛：

$$
\begin{align}
\sigma_x : G &\to G
\newline
g &\mapsto xgx^{-1}
\end{align}
$$

是一個 *automorphism* (這根本可以暴力湊一個反函數出來)。

### 性質：Automorphism 是群

> **Prop**
>
> 假定 $G$ 是一個群，則其上所有的 *automorphism* 形成的集合，在函數合成下為一個群。即：
>
> $$
> \boxed{(\text{Aut}(G), \circ) \text{ is a }\mathbf{group}}
> $$
>
> 其中，$\circ$ 表示函數合成。
>

因為函數合成有結合律，所以群的結合律自動成立; 而單位元就是單位運算; 反元素因為 *automorhism* 都是 *bijection*，所以必定存在反函數，而且反函數都一定是雙射。

### 觀察：生出的子群同構

> **Prop**
>
> 假定 $G$ 是一個群，$\sigma \in \text{Aut}(G)$，$H \leq G$。則 $H$ 被 *automorphism* 作用之後的像，跟原來的集合同構：
>
> $$
> \boxed{H \simeq \sigma(H)}
> $$
>
> 其中，一個顯著的例子是：對於任意 $x \in G$，有：
>
> $$
> \boxed{H \simeq xHx^{-1}}
> $$

這其實滿顯然的，因為按照定義：$\sigma$ 如果是個 *automorphism*，那他一定 *injective*，而且要是個 *homomorphism*。然後因為 $\sigma(H)$ 恰好就是他的值域，所以也一定 *surjective*。所以就證完了。

另外一個相關的推論是：*automorphism* 會把 *Sylow p-group* 送到 *Sylow p-group*，因為根本同構，所以數量就一樣多，因此也是個 *Sylow p-group*。不過這個敘述在證明 *Sylow Theorem* 的時候就講過了。

### 觀察：循環群決定 1 送到哪邊就好

現在考慮一 $\mathbb Z / n \mathbb Z$ 上的 *automorphism*。這時可以觀察到：既然每個 *automorphism* 都是 *homomorphism*，所以對於每個 *automorphism* $\sigma$，只要決定 $\sigma(\bar 1)$ 送到那個合法的 *generator*，那麼剩下的元素要送到哪就自動決定好了：

$$
\sigma(\bar k) =
\begin{cases}
\bar 0 & \text{if }k = 0
\newline
\sigma(\overline{k-1}) + \sigma(\bar 1) & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

其中，上面的 $\sigma(\bar 0) = \bar 0$ 是來自於 *homomorphism* 必定把單位元素送到單位元素的性質。因此，可以歸納出：

> **Thm**
>
> 若令：
>
> $$
> (\mathbb Z / n\mathbb Z)^{*} = \{\bar i \mid 0 \leq i < n,\ (n, a) = 1\}
> $$
>
> 則：
>
> $$
> \boxed{\text{Aut}(\mathbb Z/n\mathbb Z) \simeq (\mathbb Z /n\mathbb Z)^*}
> $$
>
> 且兩者之間對應的映射是：
>
> $$
> \boxed{\begin{align}
> \psi : \text{Aut}(\mathbb Z/n\mathbb Z) &\to (\mathbb Z /n\mathbb Z)^*
> \newline
> \sigma &\to \sigma(\bar 1)
> \end{align}}
> $$

其中，$(\mathbb Z / n\mathbb Z)^*$ 中的元素用得是乘法。這邊漏了一個細節：這傢伙要先是個群。不過，因為要成為循環群的 *generator* 的條件是互質，但裡面的元素都跟 $a$ 互質，所以裡面元素不管彼此之間怎麼乘都還是互質。

==injective==：由前面的推論可知：

$$
\begin{align}
&\sigma_1(\bar 1) = \sigma_2(\bar 1)
\newline
&\Rightarrow \sigma_1(\bar 2) = \sigma_2(\bar 2)
\newline
&\Rightarrow \sigma_1(\bar 3) = \sigma_2(\bar 3) \dots
\end{align}
$$

因此，對於任意 $\bar k$ 都有 $\sigma_1(\bar k) = \sigma_2(\bar k)$。所以 $\sigma_1 = \sigma_2$。

==homomorphism==：假定：

$$
\begin{align}
\sigma_1(\bar 1) &= \bar a_1
\newline
\sigma_2(\bar 1) &= \bar a_1
\end{align}
$$

那麼：

$$
\begin{align}
\psi(\sigma_1\sigma_2) &= (\sigma_1\sigma_2)(\bar 1)
\newline
&= \sigma_1(\bar a_2) = \sum_{i = 1}^{a_2} \sigma_1(\bar 1)
\newline
&= \overline{ab}
\end{align}
$$

另外一方面：

$$
\begin{align}
\psi(\sigma_1)\psi(\sigma_2) &= \sigma(\bar 1)\cdot \sigma_2(\bar 1)
\newline
&= \bar a \cdot \bar b
\newline
&= \overline{ab}
\end{align}
$$

==Surjective==

對於任意 $\bar a \in (\mathbb Z / n\mathbb Z)^*$，定義：

$$
\sigma(\overline{k}) = \overline{ka}
$$

可以證明：$\sigma \in \text{Aut}(G)$。首先：

$$
\begin{align}
\sigma({\overline{k_1 + k_2}}) &= \overline{(k_1 + k_2)a}
\newline
&= \overline{k_1a} + \overline{k_2a}
\newline
&= \sigma(\bar k_1) + \sigma(\bar k_2)
\end{align}
$$

再來，因為 $a$ 和 $n$ 互質，所以 $\sigma(\bar 1) = \bar a$ 必定可以 *generate* 整個 $\mathbb Z/n\mathbb Z$。也就是：

$$
\langle \bar a \rangle = \{\bar a, \overline{2a}, \dots \overline{na}\} = \mathbb Z / n\mathbb Z
$$

因此映成就證完了。最後，根據循環群的性質，$\bar a$ 到 $\overline{na}$ 都會相異，也就是說 $\bar 1 \dots \bar n$ 每個都被 $\sigma$ 送到相異的元素，因此是 *injective*。

## 定義：Inner Automorphism

> **Def (Inner Automorphism)**
>
> 假定 $G$ 是一個群，考慮以下映射：
>
> $$
> \boxed{\begin{align}
> \Sigma : G &\to \text{Aut}(G)
> \newline
> x &\to \sigma_x
> \end{align}}
> $$
>
> 其中：
>
> $$
> \boxed{\begin{align}
> \sigma_x : G &\to G
> \newline
> g &\mapsto xgx^{-1}
> \end{align}}
> $$
>
> 則：$\Sigma(G)$，即「所有取共軛函數」所形成的集合，是一個 $\text{Aut}(G)$ 的子群，稱為 *subgroup of inner automorphism*。

這其實就只是把「取共軛」函數們通通找出來。其實還要證明他是個子群，但我覺得看起來滿明顯的所以省略證明。

### 性質：Kernel 是 Center

> **Prop**
>
> 假定 $G$ 是一個群。考慮以下映射：
>
> $$
> \boxed{\begin{align}
> \Sigma : G &\to \text{Aut}(G)
> \newline
> x &\to \sigma_x
> \end{align}}
> $$
>
> 則 $\Sigma$ 的 *kernel* 恰好就是 $G$ 的 *center*：
>
> $$
> \boxed{\ker \Sigma = Z(G)}
> $$
>

把這個 *kernel* 定義寫出來就發現一樣了：

$$
\ker \Sigma = \{x \mid xgx^{-1} = g \quad\forall g \in G\}
$$

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