# 代數導論 (7) - Coset

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## 定義：Coset

假定 $G$是一個群，$H \subseteq G$ 且：

$$
H < G
$$

一個 *left coset* 是一個 $g \in G$ 與 $H$ 用以下方法形成的的集合 $gH$

$$
\boxed{gH = \{h \in H \mid gh\}}
$$

而一個 *right coset* $Hg$ 則定義為以下的集合：

$$
\boxed{Hg = \{h \in H \mid hg\}}
$$

基本上左跟右的定義是對稱的，只是因為群未必是可交換的，所以只好麻煩一點幫左邊與又邊都做一個定義出來。

這個 *coset* 有時候會看是加法群或乘法群進行符號上的調整。舉例來說，如果這是一個加法群，那麼就會用：

$$
g + H = \{h \in H \mid g + H\}
$$

來表示這個 *coset*。總之，就是依照上面的二元運算去決定那個符號。

### 性質：Coset 的交集

:::danger

假定 $G$ 是一個群，$H < G$。則對於任意 $g_1, g_2 \in G$，他們與 $H$ 形成的 *coset* 之間，只有下面兩種關係：

$$
\boxed{\begin{align}
& g_1 H = g_2 H & (1)
\newline
& g_1 H \cap g_2 H = \phi & (2)
\end{align}}
$$

換句話說，如果兩個 *coset* 有交集，那麼這兩個 *coset* 必定是同一個集合。

:::

這其實就是要證明：如果兩個用同一個子群 $H$ 生出來的 *coset* 有交集，那麼這個交集要嘛是空集合，要嘛就是整個集合。

首先，假定：

$$
a \in g_1 H
$$

依照 *coset* 的定義，這也就是在說：存在 $h_1 \in H$，使得：

$$
a = g_1 h_1
$$

這時，如果可以證明：

$$
g_2^{-1}a \in H
$$

的話，那麼就證明完 $a \in g_2 H$ 了。現在就來檢驗一下這個東西是不是一定在 $H$ 中。把 $a$ 帶入：

$$
g_2^{-1}a = g_2^{-1}g_1 h_1
$$

現在，已經證明 $h_1 \in H$ 了，但前面那個 $g_2^{-1}g_1$ 不知道要怎麼辦。但可以證明：

$$
\begin{align}
g_1 &H \cap g_2 H \neq \phi
\newline
& \Rightarrow g_2^{-1}g_1 \in H
\end{align}
$$

首先，假定兩者的交集非空，也就是存在一個元素 $u$，使得：

$$
u = g_1 h_1 = g_2 h_2
$$

其中 $h_1, h_2 \in H$。這也就是在說：

$$
\begin{align}
g_2^{-1}g_2 h_1 = h_2\in H
\end{align}
$$

但既然 $H$ 是個子群，所以右邊再同時作用上 $h^{-1}$。這時就有：

$$
g_2^{-1}g_1 = h_2h_1^{-1} \in H
$$

因此，就證明完了。

## 定義：Coset 的數目

既然 $H$ 是一個子群，所以一般來說會預期：

$$
\bigcup_{g \in G}gH
$$

但前面的定理說：所有的 *coset* 要嘛交集為空，要嘛一樣大。所以實際上，可以透過挑出某些「代表性的元素」去表出這所有的 *coset*。也就是說：在 $G$ 當中，可以挑出某些元素 $g_i$，使得：

$$
\bigsqcup_{i \in I}g_i H
$$

而如果這樣具有代表性的元素數目是有限的，就定義這個數目為「*number of coset*」

:::warning

假定 $G$ 是一個群，$H < G$。若存在 $r < \infty$，使得：

$$
G = \bigsqcup_{i = 1}^{r}g_i H
$$

則定義：

$$
\left|G / H\right| = r
$$

:::

這樣可能就會想問：會不會有某個元素不在 *coset* 裡面？答案是不會。因為 $H$ 是一個子群，所以 $1$ 在裡面。任何 $G$ 中的元素 $g$ 都必定有：

$$
g \cdot 1 = g \in gH
$$

因此必定可以表成某個 *coset* 中的元素。

這種分解方式舉例來說，若令 $G \in \mathbb Z$，$H = n \mathbb Z$，其中 $n \mathbb Z$ 定義為：

$$
n \mathbb Z = \{z \in \mathbb Z \mid nz\}
$$

則：

$$
|G / H| = n
$$

因為所有整數除上 $n$ 的餘數，只會是 $0 \dots n - 1$。換句話說，就只有 $k + n \mathbb Z$，其中 $0 \leq k < n$，這幾個相異的 *coset*。所以：

$$
\mathbb Z = \bigsqcup_{k = 0}^{n - 1} (k + n\mathbb Z)
$$