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# 代數導論 (3) - Homomorphism

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## 定義：Homomorphism & Isomorphism

:::warning
**Def (Homo-, Iso- and Auto- morphism)**

假定 $G, K$ 是兩個群。若函數 $f$：

$$
f : G \to K
$$

滿足：

$$
f(ab) = f(a)f(b)
$$

則稱 $f$ 是一個 *homomorphism*。更進一步，若一個 *homomorphism* $f$ 還滿足其他性質，則依照附加的性質有不同的稱呼：

1. 若這樣的 $f$ 為 *bijective*，則稱這個函數為一個 *isomorphism*
2. 若 $f$ 是個 *isomorphism*，且對應域 $K = G$，則稱 $f$ 是一個 *automorphism*。

:::

這邊 $G$ 跟 $K$ 所對應的二元運算在這個定義中並沒有規定要相等，但為了符號上的方便，常常兩個群各自的二元運算都用 $\cdot$ 表示，依照作用的元素來判斷是哪一個群的二元運算; 或甚至是直接省略。

*Homomorphism* 可說是「運算順序不會在映射過程中出錯」的函數，運算的相對順序可以在映射後仍被保留。

### 例子：指數函數

考慮 $G_1 = (\mathbb R, +)$ 與 $G_2 = (\mathbb R^+, \cdot)$ 兩個群。令：

$$
\phi' : G_1 \to G_2
$$

其中：

$$
\phi'(x) = e^{x}
$$

則 $\phi'$ 也是一個 *homomorphism*。因為：

$$
\phi'(x + y) = e^{x + y} = e^{x}e^{y} = \phi'(x)\cdot \phi'(y)
$$

~~更進一步，它還是一個 *isomorphism*。因為反函數就是 $\log$。~~

### 例子：Z/nZ

考慮 $(\mathbb Z/n\mathbb Z, +)$。函數：

$$
\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z / n\mathbb Z
$$

其中：

$$
\phi(x) = \bar x
$$

是一個 *homomorphism*。因為：

$$
\phi(a + b) = \overline{a + b} = \bar a + \bar b = \phi(a) + \phi(b)
$$

### 例子：交換單位元的行向量

假定 $F$ 是一個 *Field*，$I \in GL(n, F)$ 是 $GL(n, F)$ 上的單位元。假定：

$$
\mathbb I = [e_1 | \dots | e_n]
$$

考慮函數：

$$
\phi : S_n \to GL(n, F)
$$

其中，對於任意 $\sigma \in S_n$：

$$
\phi(\sigma) = [e_{\sigma(1)} | e_{\sigma(2)} \dots | e_{\sigma(n)}]
$$

則 $\phi$ 是一個 *homomorphism*。

## 性質：單位元/反元素被映射到單位元/反元素

:::danger
**Thm (單位元/反元素被映射到單位元/反元素)**

假定 $\phi : G \to G'$ 是一個 *Homomorphism*。那麼，++單位元會被映射到單位元++：

$$
\boxed{\phi(\mathbb I_{G}) = \mathbb I_{G'}}
$$

其中，$\mathbb I_G$ 是 $G$ 中的單位元，$\mathbb I_{G'}$ 是 $G'$ 中的單位元。

除此之外，++反元素也會被映射到反元素++：

$$
\boxed{\phi(a^{-1}) = [\phi(a)]^{-1}}
$$
:::

隨便取一個 $a \in G$，因為：

$$
\phi(a) = \phi(a \cdot \mathbb I_G) = \phi(a)\phi(\mathbb I_G)
$$

但另外一方面，又有：

$$
\phi(a) = \phi(a)\mathbb I_{G'}
$$

結合上述兩式，就有：

$$
\phi(a)\mathbb I_{G'} = \phi(a)\phi(\mathbb I_G)
$$

使用群的左消去律，把 $\phi(a)$ 消去。就有：

$$
\mathbb I_{G'} = \phi(\mathbb I_{G})
$$

仿照上述的證明方法，令：

$$
\phi(\mathbb I_{G}) = \phi (a \cdot a^{-1}) = \phi(a) \phi(a^{-1})
$$

而另外一方面，由前面的結論：

$$
\phi(\mathbb I_G) = \mathbb I_{G'} = \phi(a)\phi(a)^{-1}
$$

綜合上述兩式，搭配群的左消去律，有：

$$
\phi(a)\phi(a^{-1}) = \phi(a)\phi(a)^{-1} \Rightarrow \phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}
$$

## 性質：合成保 Homo

:::danger
**Prop (合成保 Homo)**
假定 $\phi_1 : G_1 \to G_2$，以及 $\phi_2 : G_2 \to G_3$ 是兩個 *Homomorphism*，那麼：

$$
\phi = (\phi_2 \circ \phi_1)
$$

也是一個 *homomorphism*。

:::

聽起來也很直覺：因為「順序不動」是個遞移性的關係。更嚴謹的證明：

$$
\begin{align}
\phi_2(\phi_1(ab)) &= \phi_2(\phi_1(a)\cdot \phi_1(b))
\newline
&= \phi_2(\phi_1(a))\cdot \phi_2(\phi_1(b))
\newline
&= (\phi_2 \circ \phi_1)(a)\cdot (\phi_2 \circ \phi_1)(b)
\end{align}
$$