# 代數導論二 Week 7 (Part 2) - Extending Isomorphism to Simple Extension (Part 2)

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## 定理：同構可以延伸到 Extension 上 (T9)

> 根可以換，底下的 *field* 也可以換。

:::danger

假定 $F, F'$ 是兩個 *field* 同構的 *field*：

$$
F \overset{\phi}{\simeq}F'
$$

並且假定 $p(x) \in F[x]$ 是個 *irreducible* 的多項式，且令：

$$
\begin{align}
p(x) &= \sum_{i = 0}^{n}a_i x^i
\newline
p^*(x) &= \sum_{i = 0}^{n}\phi(a_i)x^i
\end{align}
$$

假定 $\alpha \in F$ 是 $p(x)$ 的根，且 $\alpha^* \in F^*$ 是 $p^*(x)$ 的根。則 $F(\alpha)$ 與 $F(\alpha^*)$ 之間，存在滿足下列性質的同構：

$$
\begin{align}
\phi' : F(\alpha) &\overset{\sim}{\longrightarrow} F^*(\alpha^*)
\end{align}
$$

1. 把 $\alpha$ 映射到 $\alpha^*$

$$
\alpha \overset{\phi'}{\to} \alpha^*
$$

2. 限制在 $F$ 上時，跟原來一樣：

$$
\phi'(a) = \phi(a) \quad \forall a \in F
$$

:::

為了方便，這邊定義「替換係數到另外一個同構的 *field*」這個動作為 $\Phi$：

$$
\begin{align}
\Phi :\ &F[x] \longrightarrow F^*[x]
\newline
&\sum_{i = 0}^{m}b_i x^i \mapsto \sum_{i = 0}^{m}\phi(b_i)x^i
\end{align}
$$

由之前 *polynomial over a field* 的討論，知道這個 $\Phi$ 會是一個 $F[x]$ 跟 $F^*[x]$ 之間的 *isomorphism*。也就是：

$$
F[x] \overset{\Phi}{\simeq} F^*[x]
$$

### 目標：用多項式的剩餘類替代掉

目標是 $F(\alpha) \simeq F^*(\alpha^*)$，不過由前面的定理知道，他們各自跟下面的東西同構：

$$
\begin{align}
F(\alpha) &\simeq \frac {F[x]}{(p(x))}
\newline
\newline
F^*(\alpha^*) & \simeq \frac{F^*[x]}{(p^*(x))}
\end{align}
$$

所以現在只要證明：只要證明：

$$
F[x]/(p(x)) \simeq F^*[x]/(p^*(x))
$$

就可以了。而這個同構就造：

$$
\begin{align}
\Phi^* : F[x]/(p) &\to F^*[x]/(p^*)
\newline
f + (p) &\mapsto \Phi(f) + (p^*)
\end{align}
$$

### 證明：Well-Defined

這個映射是 *well-defined*，因為假定

$$
g \in f + (p)
$$

這表示 $g$ 跟 $f$ 只差某倍的 $p$。也就是存在 $q \in F[x]$，使得：

$$
g = f + pq
$$

所以把 $g$ 送過去，就會得到下面這個 *coset*：

$$
(\underbrace{f + pq}_{g}) + (p) \overset{\Phi^*}{\longrightarrow}\Phi(\underbrace{f + pq}_{g}) + (p^*)
$$

因為 $\Phi$ 是一個 *homomorphism*，所以

$$
\Phi(f + pq) = \Phi(f) + \underbrace{\overbrace{\Phi(p)}^{p^*}\Phi(q)}_{\in (p^*)}
$$

所以：

$$
\begin{align}
\Phi(g) + (p^*) &= \Phi(f) + \underbrace{\Phi(p)\Phi(q)}_{\in (p^*)} + (p^*)
\newline
&= \Phi(f) + (p^*)
\end{align}
$$

因此：

$$
\Phi(g) + (p^*) = \Phi(f) + (p^*)
$$

### 證明：Homomorphism

爆開：

$$
\Phi^*(f_1f_2) = \underbrace{\Phi(f_1f_2) + (p^*)}_{=[\Phi(f_1) + (p^*)][\Phi(f_2) + (p^*)]}
$$

$$
\Phi^*(f_1 + f_2) = \underbrace{\Phi(f_1 + f_2) + (p^*)}_{=[\Phi(f_1) + (p^*)] + [\Phi(f_2) + (p^*)]}
$$

### 證明：Injective

因為 $F[x]/(p(x))$ 是一個 *field*，而且 $\Phi^*$ 會把 $1 \in F[x]$ 打到 $1 \in F^*[x]$，所以非零。因此是 *injection*。

### 證明：Surjective

對於任意：

$$
f^* + (p^*) \in F^*[x]
$$

假定 $f$ 是：

$$
f = \sum a_i^* x^i
$$

那就看 $F$ 中哪個係數會被 $\phi$ 送到 $a_i^*$，把 $f^*$ 中對應的係數替換掉：

$$
f = \sum a_i x^i \quad \phi(a_i) = a_i^*
$$

這時候，就會有：

$$
f + (p) \mapsto \Phi(f) + (p^*) = \underbrace{\sum \overbrace{\phi(a_i)}^{a_i^*}x^i}_{f^*} + (p^*)
$$

就會送到 $f^* + (p^*)$ 了。

### 證明：把根送到根

假定 $p(\alpha) = 0$，則由前面的同構知道：$F(\alpha) \simeq F[x]/(p(x))$ 的同構之中，存在把 $x + (p) \mapsto \alpha$ 的。而 $x + (p)$ 被 $\Phi^*$ 作用後會得到 $\phi(x) + (p^*)$，所以根本就是 $x + (p^*)$。所以：

$$
\alpha \overset{\sim}{\to}x + (p) \overset{\Phi^*}{\to} x + (p^*) \overset{\sim}{\to} \alpha^*
$$

### 證明：F 中的元素原封不動

假定 $c \in F$，則依照 $\Phi^*$ 的定義，常數多項式 $c$ 做出來的 $c + (p)$ 會被送到 $\Phi(c) + (p^*)$，也就是 $\phi(c) + (p^*)$。所以：

$$
c \overset{\sim}{\to}c + (p) \overset{\Phi^*}{\to} \phi(c) + (p^*) \overset{\sim}{\to} \phi(c)
$$