# 流體力學 Week 11 - Bernouli Equation

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# 4. Bernouli Equation

描述「特定狀況下」的「能量守恆」。

## Vector Calculus

1. 給定一個純量場 $f$：
$$f = f(x, y, z)$$

則：

$$df = \nabla f \cdot d\vec{x{}}$$

另外還有 Potential Theory ：

若

$$\nabla \times \vec{u{}} = \vec{\omega{}} = 0$$

則存在函數 $\phi$，使得：

$$\vec{u{}} = \nabla \phi$$

所以假如今天 $\vec{u{}}$是一個無旋流的流場，那麼他可以用 $\nabla \phi$ 表示，這個 $\phi$ 叫做「vector potential」。

2. 對於任意純量 $\phi$, 有：
$$\nabla \times \nabla \phi = 0$$

不過這個微積分就學過了，所以證明省略。

3. 對於向量場 $\vec{u{}}$，

$$(\vec{u{}}\nabla)\vec{u} = \nabla(\frac {1}{2}|u|^2)-\vec{u{}}\times(\nabla \times \vec{u{}})$$

不過證明也是把它爆開，然後說左右兩邊相等。看快一點的話可以用內積取 gradient 的向量恆等式：

$$\nabla(\vec{a{}}\cdot \vec{b{}}) = \vec{a{}} \times(\nabla \times \vec{b{}}) + \vec{b{}} \times(\nabla \times \vec{a{}}) + (\vec{a{}}\nabla)\vec{b{}} + (\vec{b{}}\nabla)\vec{a{}}$$

(這其實滿對稱的，所以很好記)。

然後令 $\vec{a{}} = \vec{b{}} = \vec{u{}}$，再左右同除 2 ，就出來了。

3. 對於向量場 $\vec{u{}}$：
$$\nabla ^ 2 \vec{u{}} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u{}}) - \nabla \times(\nabla \times \vec{u{}})$$

這個可以用一個小技巧：

$$\vec{A{}}\times (\vec{B{}}\times\vec{C{}}) = \vec{B{}}(\vec{A{}}\cdot \vec{C{}}) - (\vec{A{}}\cdot\vec{B{}})\vec{C{}}$$

把 $\vec{A{}}, \vec{B{}}$弄成 $\nabla$, $\vec{C{}}$ 弄成 $\vec{u{}}$，就會發現兩個有 87 % 像。

不是每一個跟 $\nabla$ 有關的向量恆等式都可以這樣看。不過這個剛好是可以的那個。

這個定理用到的小結論是：假設這個流是不可壓縮流，也就是：

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$

則：

$$\nabla ^ 2 \vec{u{}} = \nabla(\underbrace{\nabla \cdot \vec{u{}}}_{0}) - \nabla \times(\underbrace{\nabla \times \vec{u{}}}_{\vec{\omega{}}}) =-\nabla\times \vec{\omega{}}$$

也就是 Laplacian 可以變成右邊那一項的意思。這個東西會在黏滯項的時候帶來超超超超大的幫助。

## 推導

首先看一下 Navier-Stokes Equation :

$$\rho \frac {D\vec{u{}}}{Dt} = -\nabla P + \rho\vec{g{}} + \mu\nabla ^ 2\vec{u{}}$$

這裡先講一件事：因為 Navier-Stokes Equaiton 是描述「力」的微分方程，而伯努力方程式是跟「能量」有關的方程，所以大概會猜接下來要把「力」對「路徑」做積分來得到能量相關的方程。接下來就在做這件事。

先把 $\rho$ 除下去，變成：

$$\frac {D\vec{u{}}}{Dt} = -\frac {\nabla P}{\rho} + \vec{g{}} + \nu\nabla ^ 2\vec{u{}}$$

注意 $\frac {\mu}{\rho}$ 就變成了 kinematic viscosity $\nu$。

接下來大家都猜的到要做什麼了：對某一條路徑積分

$$\int_{1}^{2}(\frac {D\vec{u{}}}{Dt}\ )\cdot d\vec{x{}} = \int_{1}^{2}(-\frac {\nabla P}{\rho} + \vec{g{}} + \nu\nabla ^ 2\vec{u{}}) \cdot d\vec{x{}}$$

然後期待一下他跑出一大坨東西吧。

## 討論

要把上面那個東西積分，所以就來吧：

$$\int_{1}^{2}(\frac {D\vec{u{}}}{Dt}\ )\cdot d\vec{x{}} = \int_{1}^{2}-\frac {\nabla P}{\rho}\cdot \vec{dx} + \int_{1}^{2}\vec{g{}}\cdot \vec{dx} + \int_{1}^{2}\nu\nabla ^ 2\vec{u{}} \cdot \vec{dx} $$

然後我們要把左邊的：

$$\frac {d\vec{u{}}}{Dt} = \frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} + (\vec{u{}}\cdot \nabla)\vec{u{}} \\
=\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} + \nabla(\frac {1}{2}|u|^2)-\vec{u{}}\times(\nabla \times \vec{u{}}) \\
=\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} + \nabla(\frac {1}{2}|u|^2)-\vec{u{}}\times \vec{\omega{}}
$$

然後深吸一口氣，因為我們的積分現在變成：

<br>

$$\int_{1}^{2}\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t}\cdot \vec{dx} +
\int_{1}^{2}\nabla(\frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2)\cdot \vec{dx}-
\int_{1}^{2}\vec{u{}}\times \vec{\omega{}} \cdot \vec{dx} = -
\int_{1}^{2}\frac {\nabla P}{\rho}\cdot \vec{dx} +
\int_{1}^{2}\nu\nabla ^ 2\vec{u{}} \cdot \vec{dx}\int_{1}^{2}\vec{g{}}\cdot \vec{dx}$$

<br>

為了方便，我把它稍微分幾個部分：

$$
\underbrace{\int_{1}^{2}\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t}\cdot \vec{dx}}_{1.} +
\underbrace{\int_{1}^{2}\nabla(\frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2)\cdot \vec{dx}}_{2. }-
\underbrace{\int_{1}^{2}\vec{u{}}\times \vec{\omega{}} \cdot \vec{dx}}_{3. } =\\-
\underbrace{\int_{1}^{2}\frac {\nabla P}{\rho}\cdot \vec{dx}}_{4. } +
\underbrace{\int_{1}^{2}\nu\nabla ^ 2\vec{u{}} \cdot \vec{dx}}_{5. }+
\underbrace{\int_{1}^{2}\vec{g{}}\cdot \vec{dx}}_{6. }$$

然後我們開始工作吧：

## 積分簡化

1. 首先是：

$$\int_{1}^{2}\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t}\cdot \vec{dx} =
\begin{cases}0 & 若 \vec{u{}} = 0 或,\ \frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t } = 0 (穩態) \\
\int_{1}^{2}\frac{\partial \vec{u{}}}{\partial t}d\vec{x{}} = \int_{1}^{2}\frac{\partial \nabla \phi}{\partial t }d\vec{x{}} = \frac {\partial \phi}{\partial t}\bigg{|}_{1}^{2} & 無旋(\nabla \times \vec{u{}} = 0 \Rightarrow \exists\ \phi\ st.\ \vec{u{}} = \nabla \phi)\end{cases}$$

後面那裡是因為取 gradient 在取積分就剛好抵銷掉了。

2. 接著是：

$$\int_{1}^{2}\nabla(\frac {1}{2}|u|^2)\cdot \vec{dx} = \frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2\bigg{|}_{1}^{2}$$

這個就很單純，一樣是取 gradient 跟做路徑積分會互相抵消。

3. 然後是比較關鍵的：

$$-\int_{1}^{2}\vec{u{}}\times \vec{\omega{}} \cdot \vec{dx}$$

不過關鍵的理由是因為這是非線性項，所以很難做，要想辦法讓它變成 0。所以這裡有兩個策略：

$$-\int_{1}^{2}\vec{u{}}\times \vec{\omega{}} \cdot \vec{dx} = 0\ if\ \begin{cases}\vec{u{}} = 0 \ \ \ hydrostatic \\
\vec{\omega{}} = 0 \ \ \ irrotational \\
\vec{u{}}\times \vec{\omega{}} \cdot \vec{dx} = 0 \begin{cases}\vec{u{}}//d\vec{x{}} & 沿著 streamline 積分 \\ \vec{\omega{}}//d\vec{x{}} & 沿著 vortex\ line 積分\end{cases}\end{cases}$$

這一項積分不管怎麼樣都要讓他變成 0 。

4. 再來是

$$ -\int_{1}^{2}\frac {\nabla P}{\rho}\cdot \vec{dx}$$

這個東西連怎麼做都不知道，因為 $\rho$ 跟 $P$ 可能沿路徑有自己的變化方式。不過還是有一些狀況可以簡化，分別是：

$$-\int_{1}^{2}\frac {\nabla P}{\rho}\cdot \vec{dx} =
\begin{cases}
-\frac {1}{\rho}\int_{1}^{2} \nabla P \cdot \vec{dx} = \frac {\Delta P}{\rho} & \rho\ 沿路徑是常數\\
-\int_{1}^{2}\frac {\nabla P}{\rho(P)}\cdot \vec{dx} & 路徑上 \rho = \rho(P)\ (barotropic)
\end{cases}$$

注意那個 barotropic 的意思是 $\rho$ 可以表為 $\rho = \rho(P)$ 的意思。

5. 另外一項「關鍵」的項是：
$$\int_{1}^{2}\nu\nabla ^ 2\vec{u{}} \cdot \vec{dx}$$

>> 這時就要回憶一下剛剛的數學：
>>
>> $$\nabla ^ 2 \vec{u{}} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u{}}) - \nabla \times(\nabla \times \vec{u{}})$$
>>
>> 因為 $\nabla \times \vec{u{}} = \vec{\omega {}}$，所以上面這個東西就是：
>> $$\nabla ^ 2 \vec{u{}} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u{}}) - \nabla \times(\nabla \times \vec{u{}})=\nabla(\nabla \cdot \vec{u{}}) - \nabla \times \vec{\omega{}}$$

沒錯，就是用力給帶下去就對了：

$$\int_{1}^{2}\nu(\nabla ^ 2\vec{u{}}) \cdot \vec{dx} = - \int_{1}^{2}\nu [\nabla(\nabla \cdot \vec{u{}}) - \nabla \times \vec{\omega{}}] \cdot \vec{dx}$$

凡是讓林黛玉低頭不語的，她都喜歡。所以凡是很關鍵的項，都要讓他變成 0。這裡就要讓他變成 0 。有兩種狀況：

$$\int_{1}^{2}\nu\nabla ^ 2\vec{u{}} \cdot \vec{dx} = 0\ if\ \ \begin{cases}\mu = 0 & 無黏 \\ \\
「\nabla(\nabla \cdot \vec{u{}}) - \nabla \times \vec{\omega{}} = 0」 & 不可壓縮流(\nabla \cdot \vec{u{}} = 0) + 無旋(\vec{\omega} = 0)
\end{cases}$$

>> 註：注意第二個狀況，在不可壓縮流的狀況下，除了沿著 vortex line 以外，如果本身就無旋($\vec{\omega{}} = 0$)，那當然也一樣兩項都會變成 0，所以也可以讓整個積分變成 0。

6. 這大概是最輕鬆的一項了：

$$\int_{1}^{2}\vec{g{}}\cdot \vec{dx} = \vec{g{}}\cdot\vec{x{}}\bigg{|}_{1}^{2} = g(z_{2} - z_{1})$$

>> 主要是讓 3, 5 項等於 0。

## Bernoulli Equation

看完上面那一大坨東西心中一定會吶喊：

「這不是伯努力！！！」(打滾～～～

我們一般印象中的伯努力應該要大概長這樣：

$$\frac {p}{\rho} + \frac {1}{2}V^2 + gz = const$$

所以到底要怎樣，才會讓上面那條醜的要命的東西，稍微變成我們熟悉的伯努力呢？這就李就讚講這件事。首先是把上面那坨積分做一些簡化。主要的套餐有下面兩種版本：

1. 「不可壓縮流」 + 「無旋」 + 「$\rho = 常數$」 + 「$\mu = 常數$」：

所以上面那個積分會做下面這樣的化簡：

$$
\underbrace{\int_{1}^{2}\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t}\cdot \vec{dx}}_{=\ \frac {\partial \phi}{\partial t}\bigg{|}_{1}^{2}(無旋)} +
\underbrace{\int_{1}^{2}\nabla(\frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2)\cdot \vec{dx}}_{ = \frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2\bigg{|}_{1}^{2}(他沒得選)}-
\underbrace{\int_{1}^{2}\vec{u{}}\times \vec{\omega{}} \cdot \vec{dx}}_{= 0(無旋)} =\\-
\underbrace{\int_{1}^{2}\frac {\nabla p}{\rho}\cdot \vec{dx}}_{= \frac {\Delta p}{\rho}(因為\rho = const.)} +
\underbrace{\int_{1}^{2}\nu\nabla ^ 2\vec{u{}} \cdot \vec{dx}}_{ = 0(不可壓縮 + 無旋)}+
\underbrace{\int_{1}^{2}\vec{g{}}\cdot \vec{dx}}_{＝g(z_{2} - z_{1})(這也沒得選)}$$

然後就變成：

<br>

$$\frac {\partial \phi}{\partial t} + \frac {1}{2}|\nabla \phi |^2 + \frac {p}{\rho} + gz = B(t)$$

<br>

其中 $B(t)$ 是時間的函數。不過很奇怪的，大家都叫他「Bernoulli Constant」。

2. 「穩態」 + 「無黏」+ 「沿著 streamline (或 vortex line)」+ 「barotropic」

這樣的話，本來那坨積分會做出以下的化簡：

$$
\underbrace{\int_{1}^{2}\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t}\cdot \vec{dx}}_{= 0(穩態)} +
\underbrace{\int_{1}^{2}\nabla(\frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2)\cdot \vec{dx}}_{ = \frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2\bigg{|}_{1}^{2}(他沒得選)}-
\underbrace{\int_{1}^{2}\vec{u{}}\times \vec{\omega{}} \cdot \vec{dx}}_{ = 0(沿著 sreamline 或 vortex\ line)} =\\-
\underbrace{\int_{1}^{2}\frac {\nabla p}{\rho}\cdot \vec{dx}}_{=\int^{2}_{1}\frac {dp}{\rho (p)}(barotropic)} +
\underbrace{\int_{1}^{2}\nu\nabla ^ 2\vec{u{}} \cdot \vec{dx}}_{= 0(無黏)}+
\underbrace{\int_{1}^{2}\vec{g{}}\cdot \vec{dx}}_{g(z_{2} - z_{1})(這也沒得選)}$$

$$\frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2\bigg{|}^{2}_{1} + \int^{2}_{1}\frac {dp}{\rho (p)} + gz\bigg{|}^{2}_{1} = 0$$

例：理想氣體在等熵過程下，穩態、無黏、沿著流線的伯努力方程式：
因為等熵，所以：

$$\frac {p}{\rho ^ k} = C$$

不要看我，我把熱力學忘光了。

所以帶進去壓力那項的積分：

$$\int_{1}^{2} \frac {dp}{\rho(p)} = \int_{1}^{2} (\frac {p}{C})^{-\frac {1}{k}}dp = \frac {k}{k-1}\frac {p}{\rho}\bigg{|}^2_1$$

不過老樣子，沒有什麼流體是真的非黏的，所以這裡非黏紙的一樣是「黏滯力」遠小於其他影響。

那要怎樣才能讓伯努力方程式長成像是國中學過的樣子：

$$\frac {p}{\rho} + \frac {1}{2}V^2 + gz = const$$

答案很簡單，就是「」上面兩條合再一起，也就是「不可壓縮流 + 無旋 + $\rho=const.$ + $\mu = const$」+「穩態 + 無黏 + 沿著 streamline 或 vortex line + barotropic」。從剛剛 2. 的結果:

$$\frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2\bigg{|}^{2}_{1} + \int^{2}_{1}\frac {dp}{\rho (p)} + gz\ \bigg{|}^{2}_{1} = 0$$

加上「$\rho = const$」之後，就可以變成：

$$\frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2\bigg{|}^{2}_{1} + \frac{1}{\rho}p\ \bigg{|}_{1}^{2} + gz\ \bigg{|}^{2}_{1} = 0$$

就是國中的樣子了。

所以可以發現，國中學到的博努力方程式：

並不總是能用，因為這東西的意思是「沒有任何黏滯力」的流體，能量是守恆的，所以需要一連串的前提。事實上，光是 Pouisse Flow 就不能套用這個公式了。

除了這個之外，還有其他要一些小小的要求。因為這是假定能量只在上面這幾種當中轉移，所以不能有除了上面三種能量的能量流動，因此還必須要求：

1. 沒有外力做功
2. 忽略熱傳
3. ...
4. (反正就是不能有其他能量耗損就對了)

>> 其實我滿喜歡這裡上課的內容。課本推導看起來破破 der。

# 4.2 Static, dynamic, and stagination pressures consider a steady incompressible and inviscid flow along a streamline with $\rho=const$

這個標題真是長到嫑嫑的。不過這個標題的、意思是說：

如果你的伯努力方程在經過上面那一堆簡化過程之後長成這樣：

$$p + \frac {\rho}{2}|\vec{u{}}|^2 + \rho g z = const = P$$

可以發現上面所有東西單位都是壓力，所以看可以把他們一項一項的物理意義找出來：

## 靜壓

$$p$$

就是流體的「靜壓」。熱力學用的那種。

## 動壓

$$\frac {1}{2}\rho|\vec{u{}}|^2$$

流體的「動壓」。如果把流體「等熵」地降到速度為 0，最後會量到壓力變大，那個變大的量就是這貴

## Hydrostatic pressure

$$\rho g z$$

聽起來不是很需要解釋。

## Total Pressure : 全部加起來

$$P = p + \frac {\rho}{2}|\vec{u{}}|^2 + \rho g z $$

## Stagnation Pressure

$$P_{0} = p + \frac {\rho}{2}|\vec{u{}}|^2$$

這個叫做「停滯壓力」，在流速等於 0 的地方，他的壓力會等於靜壓。

知道這些量之後，就可以做出皮托管：


量靜壓跟停滯點的壓力，就可以知道流速是多少。

# 頭

把伯努力方程式寫成：

$$\frac {p}{\rho g} + \frac {|\vec{u{}}|^2}{2g} + z = const = H$$

就是除下去之後，把剩下單位都變成「高度」看的意思。

為什麼要這樣子做呢？這個通常是在「水利工程」的時後用的，因為比較能具體表示水可以打到多高的地方。上面這個方程式每一項都叫做一個「Hydraulic Head」：

## pressure head

$$\frac {p}{\rho g}$$

這一項的意思就是「液壓可以把水打到多高的地方」的意思。

這個很好量，因為壓力好測，密度跟重力加速度也都知道。

## elevation head

$$z$$

好像也不用多說什麼。

這個更好量，只要知道高度差就好。

## velocity(dynamic head)

$$\frac {\rho |\vec{u{}}|^2}{2g}$$

就是這一項。這個就不太好量了。

## 全頭

就是上面 3 個頭的加總。

$$H = \frac {p}{\rho g} + \frac {\rho |\vec{u{}}|^2}{2g} + z$$

因為流體流過的時候會有摩擦等等的能量耗損，所以其實「頭」會有損失。

## EGL vs. HGL

總「頭」的分佈曲線叫做 Energy Grade Level。

另外，剛剛知道有兩個「頭」很好量，他們兩個加起來的「頭」可以畫成一個曲線，叫做 Hydraulic Grade Level。兩個畫起來就是像這樣：


而這兩條曲線的差，就表示動能的大小，也代表流體速度的快慢，所以水利工程上，查一下這個曲線就可以大概知道流速的分佈。