# [流力]第五週筆記

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# Conservation Law & Governing Equation

# 3.1 大家都要知道的數學

## 3.1.1 散度定律

長得像下面這個樣子的定律：

$$\int_{V}\nabla \phi (s) dV = \int_{\partial V} \phi(\vec{x{}})\hat{n{}}dA$$

注意長得像那樣的定律，對向量場也成立：

$$\int_{V}\nabla \cdot \vec{v{}} (\vec{x{}}) dV = \int_{\partial V} \vec{v{}}(\vec{x{}})\cdot\hat{n}dA$$

更近一步，對張量場也成立。因為張量可以想成是「每個分量都是向量的向量」(想想材力的應力張量，每個表面都有 3 個分量)，所以會對其實也很合理：

$$\int_{V} div(T) dV = \int_{\partial V} T\ \hat{n{}}dA$$

因為張量的散度沒有特別的符號，所以就直接用 div() 來表示。~~據說在黏滯力的時候會出來衝康眾人。~~

## 3.1.2 Localization Theorem

如果對於在一個封閉體積 $V$ 裡面，取一個球 $\Omega$，而且：

$$\int_{\Omega}\phi dV = 0$$

這樣我們可以斷定 $\phi = 0$ 嗎？答案是未必。因為 $\phi$ 有可能正負相消，未必處處是 0。

但如果改成下面這樣：

對於在一個封閉體積 $V$ 裡面，對於「任意」一個球 $\Omega$，「都有」：

$$\int_{\Omega}\phi dV = 0$$

那這樣可以推論 $\phi = 0$ 嗎？Localized Theorem 說答案是「可以的」！

這就是 Localized Theorem

# Mass Conservation

## 概覽

這裡要做的事情是探討「質量守恆」這件事。我們會做以下幾件事：

1. 先看一眼 RTT ：RTT 通常是用在比較大的系統，像是管子之類的
2. 然後回到 Leibniz's Rule, 將系統縮小到極限(用散度定律 + Localize)，進而寫出微分形式的質量守恆。
3. 最後把微分形式積分回去，驗證與 RTT 的一致性。

## 質量守恆：RTT

對某個 control mass 總質量做微分，這時候因為質量必須守恆，所以總質量不隨時間變，也就是「總質量的時變率一定要是 0」：

$$\frac {dM_{x}}{dt} = 0$$

因為剛剛學完 RTT，所以會不小心閉著眼睛對他用 RTT ：

$$\frac {dM_{x}}{dt} =
\frac {d}{d t}\int_{CV}\rho dV +
\oint_{CS}\rho(\vec{u{}} - \vec{V}_{A})\cdot d\vec{A{}}
$$

這個東西之後會回來看他，現在要先做一些奇怪的事。

## 質量守恆：微分形式

先講結論：質量守恆這件事可以用下面這條微分方程表示：

<br>

$$\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\vec{u{}}) = 0$$

<br>

這個可以大略這樣解讀：$\rho$ 是無限小體積內有的質量; $\nabla \cdot (\rho \vec{u{}})$ 是無限小體積表面質量流率的面積分。而這個無限小體積中，內部質量變化，必須與表面流出的質量相等，以滿足質量守恆。

### 證明

對某坨你喜歡的 Control Mass 使用 Leibniz'e Rule :

$$\frac {dM_{x}}{dt} = 0 = \int_{V_{x}}\frac{\partial\rho}{\partial t} dV + \oint_{A_{x}}\rho\vec{u{}}\cdot d\vec{A{}}$$

這裡 $\vec{u{}}$ 是速度向量（不是 x 分量的那個 u）。

對後面一項用散度定律，得到：

$$\oint_{A_{x}}\rho\vec{u{}}\cdot d\vec{A{}} = \int_{V_{x}}\nabla \cdot (\rho\vec{u{}}) dV$$

所以現在方程式變成：

$$\int_{V_{x}}\frac {\partial \rho}{\partial t}dV + \int_{V_{x}}\nabla \cdot (\rho \vec{u{}}) dV = \int_{V_{x}}\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\vec{u{}}) dV$$

接下來就是使用 Localization Theorem 了。由於對於「任意封閉體積的積分」範圍，這個東西都對。所以根據 Localization Theorem :

<br>

$$\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\vec{u{}}) = 0$$

<br><br>

這就是微分形式的質量守恆，或叫「連續方程式」(Continuity Equation)。

值得注意的是，回到「無限小」的微分形式時，描述觀點其實就從 Lagrange Description 回到 Eulerian Discription 了。

$\nabla$ 這個算子是很有趣的東西，他可以幫你算出「體積單位元」上面的各種積分，有種這樣的味道：

<br>

$$
\begin{cases}
微小體積dV上，\vec{F{}} 的面積分=(\nabla \cdot \vec{F{}}) dV\\[0.2cm]
微小體積dV上，\vec{F{}} 的環積分=(\nabla \times \vec{F{}}) dV\\[0.2cm]
微小體積dV上，表面力 P 的總和 = (\nabla P)dV
\end{cases}
$$

<br>

舉例來說，剛剛看到的：

$$(\nabla \cdot \vec{u{}})\ dV$$

就是「$dV$ 這個小體積單位表面流出的流體」。而之前學到的：

$$(\nabla P)\ dV$$

就是作用在 $dV$ 上面的所有壓力總和。

沿用這種想法的話，就可以很快導出之前學過的流體靜力學的方程式：

$$\underbrace{(\rho \vec{g{}})}_{單位體積上的重力}\ dV + \underbrace{(\nabla(-P))}_{單位體積上的表面力\\(因為靜止所以只有壓力)}\ dV = 0$$

因此：

$$\rho \vec{g{}} - \nabla{P}=0$$

就是之前學過的流體靜力學中的方程式了。

### 驗證：與 RTT 的一致性

這裡有一件有趣的事：

<br>

$$「把連續方程式積分，就會得到 RTT」$$

<br>

這裡就把它積積看：

因為連續方程式對任意形狀都對，可以取的形狀太多了，就取那個跟 Controll Mass 形狀一樣的 Control Volume 吧：

$$\int_{CV}\frac {\partial \rho}{\partial t} + (\nabla \cdot \rho\vec{u{}})\ dV$$

接著把積分拆成兩項：

$$\underbrace{\int_{CV}\frac {\partial \rho}{\partial t}dV}_{注意這個} +
\int_{CV}(\nabla \cdot \rho\vec{u{}})\ dV$$

我們打算帶掉前面那項。方法就是考慮對 CV 取 Leibniz's Rule ，會得到下面的東西：

$$\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho dV =
\underbrace{\int_{CV}\frac {\partial \rho}{\partial t}dV}_{他在這裡} + \oint_{CS}\rho\vec{V_{A}}\cdot d\vec{A{}}$$

所以移項一下：

$$\underbrace{\int_{CV}\frac {\partial \rho}{\partial t}dV}_{他在這裡} =
\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho dV -
\oint_{CS}\rho\vec{V_{A}}\cdot d\vec{A{}}
$$

帶回去本來的~~柿子~~式子：

$$\underbrace{\int_{CV}\frac {\partial \rho}{\partial t}dV}_{他在這裡} +
\int_{CV}(\nabla \cdot \rho\vec{u{}})\ dV =
\underbrace{\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho dV -
\oint_{CS}\rho\vec{V_{A}}\cdot d\vec{A{}}}_{代成這個} +
\underbrace{\int_{CV}(\nabla \cdot \rho\vec{u{}})\ dV}_{等一下會對他用散度定律}
$$

然後就如上面破的梗，對後面那項用散度定律。他就會變成面積分：

$$\int_{CV}(\nabla \cdot \rho\vec{u{}})\ dV = \oint_{CS}\rho\vec{u{}}\cdot d\vec{A{}}$$

這樣就有兩個面積分了：

$$\int_{CV}\frac {\partial \rho}{\partial t}dV + \int_{CV}(\nabla \cdot \rho\vec{u{}})\ dV =
\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho dV \underbrace{ -
\oint_{CS}\rho\vec{V_{A}}\cdot d\vec{A{}} +
\oint_{CS}\rho\vec{u{}}\cdot d\vec{A{}}}_{這兩個併到同一個積分}
$$

然後把後面兩個合併起來：

$$
\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho dV \underbrace{ -
\oint_{CS}\rho\vec{V_{A}}\cdot d\vec{A{}} +
\oint_{CS}\rho\vec{u{}}\cdot d\vec{A{}}}_{這兩個併到同一個積分} =
\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho dV + \oint_{CS}\rho(\vec{u{}}-\vec{V{}}_{A})d\vec{A{}}
$$

然後就發現後面那坨跟 RTT 有 87%... 不，根本就是 100% 像嘛！所以這就印證了兩者是等價的。

然後又發現你從 Eulerian 跑到 Lagrangian 了。RTT 其實就是聯繫這兩種描述的關鍵橋樑。

### 探討

<br>

$$\frac {\partial \rho}{\partial t} + \underbrace{(\nabla \cdot \rho\vec{u{}})}_{對這一項做 \\ Chain\ Rule} = 0$$

<br>

如果用 Chain Rule 把後面一項微分：

$$(\nabla \cdot \rho\vec{u{}}) = \nabla \rho \cdot \vec{u{}} + \rho \nabla \cdot \vec{u{}}$$

所以現在連續性方程式就變成了：

$$\frac {\partial \rho}{\partial t} + \underbrace{\nabla \rho \cdot \vec{u{}}}_{\vec{u{}}\cdot \nabla\rho} + \rho \nabla \cdot \vec{u{}}$$

然後就發現前兩項根本就是物質微分：

$$\frac {\partial \rho}{\partial t} + \underbrace{\nabla \rho \cdot \vec{u{}}}_{\vec{u{}}\cdot \nabla\rho} = \frac {D\rho}{Dt}$$

因此就把她們寫在一起：

$$\frac {D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$

如果更近一步，把質量除下去後做一點移項：

$$-\frac {1}{\rho}\frac {D\rho}{Dt} = \nabla \cdot \vec{u{}}$$

如果把 $\rho = \frac {1}{\nu}$, 其中 $\nu$ 是比容的話，所以得到：

$$-\frac {1}{\rho}\frac {D\rho}{Dt} =
-\nu\frac {D(\frac {1}{\nu})}{Dt}=
\frac {1}{\nu}\frac {D\nu}{Dt}$$

所以得到：

$$\frac {1}{\nu}\frac {D\nu}{Dt} = \nabla \cdot \vec{u{}}$$

這裡得到的結論是這樣的：

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$$比容的時變率=\nabla \cdot \vec{u{}}$$

<br>

這呼應了為什麼在 strain rate tensor 之前提到 ：

$$\dot{\epsilon}_{xx} + \dot{\epsilon}_{yy} + \dot{\epsilon}_{zz} = 0$$

因為上面 3 個分量加起來(也就是 strain rate tensor 的 trace) 就剛好是速度取 divergent

另外一個看法是這樣：假定有一個無限小的體積單位元，體積為 $\delta V_{x}$，這時候，單為時間內，流過這個體積單位元表面的流體體積是：

$$\frac {dV_{x}}{dt} = \int_{V_{x}}\nabla \cdot dV$$

如果把 $V_{x}$ 縮到無限小：

$$\frac {d(\delta V_{x})}{dt}=(\nabla \cdot \vec{u{}})\ \delta V_{x}$$

這其實就是 $\nabla$ 算符可以算出「體積單位元的積分」的概念。

## 不可壓縮「流」 vs. 不可壓縮「流體」

|不可壓縮「流」 | 不可壓縮「流體」 |
|---|---|
|$$\delta V_{x} = const$$|$$\delta V_{x} = const$$|
|$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$|$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$|
|$$\frac {D\rho}{Dt} = 0$$|$$\rho = const$$|

注意

1. 「不可壓縮流體」可以直接推得「不可壓縮流」：$\rho$ 是常數，微分一定是 0 嘛。
2. 但是「不可壓縮流」並不都是「不可壓縮流體」的流：$\frac {D\rho}{Dt}$是 0 ，不代表 $\rho$ 是常數，也可能只是各個分量的貢獻互相抵消使它變成 0

比如說空氣明顯是可壓縮流體(可以壓他)，但是空氣形成的流可以是不可壓縮流。

## Control Volume 的策略

通常分析都是取一個 CV。取 CV 雖然可以亂取，但是為了好算，通常取他的邊界通常是緊貼某個固體的邊界(因為通常他們速度是 0)。有流體進出的表面盡量取跟流速垂直等等。

比如說有一個 turbine ：

取的 CV 通常就是沿著壁面取，取到出入口就故意把它變垂直。

$$\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho dV +
\oint_{CS}\rho(\vec{u{}}-\vec{V}_{CS})\cdot d\vec{A{}} = 0$$

不過，因為進入都是取垂直表面，所以也不用做什麼內積了，直接速度乘面積就好了：
$$\frac {d}{dt}m_{cv} + \sum_{out}(\int\rho|V_{n}|dA) - \sum_{out}(\int \rho |V_{n}|dA)$$

更白話一點就是：

$$\dot{m}_{CV} = \dot{m}_{in} - \dot{m}_{out}$$

## 特例：Lagrange Version

### Steady State :

意思是：

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$$\frac {dM_{CV}}{dt} = 0$$

<br>

因此：

$$\dot{m}_{in} = \dot{m}_{out}$$

### Constant Density(不可壓縮「流體」)

意思是：

<br>

$$\rho = const.$$

<br>

所以算流量的時候，密度可以提出來：

$$\dot{m} = \int\rho|V_{n}|dA = \rho\int|V_{n}|dA$$

所以可以定義一個平均速度：

$$V_{avg} =\frac{ 1}{A} \int_{A}|V_{n}|dA$$

這樣使用上比較方便，就是：

$$\dot{m} = \rho V_{avg}A$$

這樣就可以簡便的算出流速。

### Uniform Flow

意思就是：

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$$\vec{V{}} = const.$$

<br>

所以這時候換速度可以提出來：

$$\dot{m} = |V_{n}|\int\rho dA$$

如果更近一步，這個東西是不可壓縮流體，也就是$\rho$也是常數，則：

$$\dot{m} = \rho |V_{n}| A = \rho |V_{avg}| A$$

注意因為流體速度是處處均勻的，所以：

$$\vec{V_{n}} = \vec{V{}}_{avg}$$

## 特例：Eulerian Version

就是把上面那些特例，對應的微分形式寫出來。

### Steady State :

$$\frac {\partial \rho}{\partial t} = 0$$

因此：

$$\nabla \cdot (\rho \vec{u{}}) = 0$$

### Constant Density (不可壓縮「流體」)

$$\rho = const.$$

因此：

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$

如果把它寫在不同的座標系之下的話，卡式座標的長這樣：

$$\frac {\partial \rho}{\partial x} + \frac {\partial \rho}{\partial y} + \frac {\partial \rho}{\partial z} = 0$$

圓柱座標長這樣：

$$\frac {\partial u_{r}}{\partial r} + \frac {1}{r}(\frac {\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + u_{r}) + \frac {\partial u_{z}}{\partial z} = 0$$

### 小結

上面的各種方法，其實都是為了解決一個問題：++直接算整坨流體太困難了++。為了避免直接面對這個計算這整坨流體，我們可以使用另外的戰術，也就是用 CV+RTT, 或是 Eulerian 寫出微分方程爆開，來幫助我們處理流體力學裡面的問題。