# 分析一：測度論 1 (Part 1) - Sigma Algebra

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## 課程影片：測度論 1 (00:00:00~00:31:00)

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## 例子：Sigma Algebrra

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假定 $X$ 是一個集合，$\mathscr A \subseteq P(X)$ 是一個由 $X$ 的多個子集形成的搜集。假定 $\mathscr A$ 中的元素滿足下面 2 點：

1. **母集合在裡面**：
$$
X \in \mathscr A
$$

2. **「取補集」有封閉性**：

$$
A \in \mathscr A \Rightarrow A^c \in \mathscr A
$$

3. **「取可數聯集」有封閉性**：對於任意 $(A_i)_{i \in \Bbb N}$，其中對於任意 $n \in \Bbb N$，都有 $A_n \in \mathscr A$。那麼：

$$
\bigcup_{i = 1}^{\infty}A_{i} \in \mathscr A
$$

則稱 $\mathscr A$ 是一個 $X$ 上的 *sigma algebra*。任意 $\mathscr A$ 中的元素稱為一個 *measurable set*。

:::

其中，第三點等價於交集的版本：假定對於所有 $n \in \Bbb N$，$A_n \in \mathscr A$，那麼不只他們聯集起來會在 $\mathscr A$ 中，他們的交集也會。也就是：

$$
\bigcap_{i = 1}^{\infty}A_i \in \mathscr A
$$

這是因為上面這個東西可以用聯集跟補集操作取代：

$$
\bigcap_{i = 1}^{\infty}A_n = \left(\bigcup_{i = 1}^{\infty}A_i^{c}\right)^c
$$

所以根據 *sigma algebra* 上面的三個性質，就可以知道他也會在 $\mathscr A$ 裡面。

### 定義：Measurable Space

:::warning

假定 $X$ 是一個集合。若 $m_X$ 是一個 $X$ 上的 *sigma algebra*，則有序對 $(X, m_X)$ 稱為一個 *measurable space*。

:::

跟在數學上大部分的「空間」類似，有時候會直接用「$X$ 是一個 *measurable space*」這種簡化的表達方式去簡稱「$(X, m_X)$ 是一個 *measurable space*」。

### 定義：Measurable Map

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假定 $(X, m_X)$ 與 $(Y, m_Y)$ 是兩個 *measurable space*，且 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的映射：

$$
f : X \to Y
$$

假定對於任意 $m_Y$ 中的集合 $A$，他的 *preimage* 都在 $m_X$ 中：

$$
f^{-1}(A) \in m_X \quad \forall A \in m_Y
$$

則稱 $f$ 是一個 $(m_X, m_Y)$*-measurable map*。

:::

在定義域與對應域的 *sigma algebra* 清楚時，有時候也會直接說這個映射是 *measurable map*。

## 觀察：一個子集族生成的 Sigma Algebra

類似拓樸空間跟其他代數結構的討論，這邊想問的問題是：預先給定一堆子集之後，包含這個子集的「最小 *sigma algebra*」會是什麼？

### 觀察：Sigma Algebra 的交集仍然是 Sigma Algebra

:::danger

假定 $(\mathscr A_j)_{j \in J}$ 是一族 $X$ 上的 *sigma algebra*，則他們的交集：

$$
\bigcap_{j \in J}\mathscr A_j
$$

也會是一個 *sigma algebra*

:::

驗證上面 3 條公理嘛。比如說第一條因為每一個 $\mathscr A_j$ 都是 *sigma algebra*，所以：

$$
X \in \mathscr A_j \quad \forall j
$$

但這就表示 $X$ 在他們所有的交集裡面：

$$
X \in \bigcap_{j \in J} \mathscr A_j
$$

補集也是類似：假定 $A$ 是一個裡面的集合，則：

$$
A^c \in \mathscr A_j \quad \forall j
$$

所以：

$$
A^c \in \bigcap_{j \in J} \mathscr A_j
$$

最後，假定 $(A_i)_{i \in I}$ 是那個交集裡面的一族元素，其中 $I$ 是一個可數集。因為 $(A_i)_{i \in I}$ 在那個交集裡，所以：

$$
A_{i} \in \mathscr A_j \quad \forall i \in I, j \in J
$$

因為每一個 $\mathscr A_j$ 都是 *sigma algebra*，所以：

$$
\bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr A_j \quad \forall j \in J
$$

既然在每一個 $\mathscr A_j$ 裡面，自然也會在所有 $\mathscr A_j$ 的交集裡面：

$$
\bigcup_{i \in I} A_i \in \bigcap_{j \in J} \mathscr A_j
$$

### 觀察：包含一個子集族的最小 Sigma Algebra

:::danger

假定 $X$ 是一個集合，$S \subseteq P(X)$ 是一個 $X$ 中的子集族。則 $X$ 上所有包含 $S$ 的 *sigma algebra* 交集所形成的 *sigma algebra*：

$$
\mathscr A(S) = \bigcap_{S \subseteq \mathscr A \subseteq P(X)} \mathscr A
$$

是包含 $S$ 的最小 *sigma algebra*。這個 *sigma algebra* 又稱作 *sigma algebra generated by* $S$。

:::

前面證明過這個交集會是 *sigma algebra* 了，而最小也很顯然，任意包含 $S$ 的 *sigma algebra* 都會是 $\mathscr A(S)$ 那個交集中，拿去交集的一個 *sigma algebra*。所以：

$$
\mathscr A(S) = \underbrace{\mathscr A' \cap \mathscr A(S)}_{ \subseteq \mathscr A'}
$$

因此就證明了任何包含 $S$ 的 *sigma algebra* 都會包含 $\mathscr A(S)$。

其中一個例子是拿一個拓樸上的所有開集去生成 *sigma algebra*，生成出來的 *sigma algebra* 就稱作 *Borel Algebra*。即：假定 $(X, \mathscr T_X)$ 是一個拓樸空間。則由 $X$ 的所有開集導出的 *sigma algebra*：

$$
\mathcal B_X = \mathscr A(\mathscr T_X)
$$

稱為這個拓樸空間的 *Borel Algebra*。

跟其他代數結構不太一樣的地方是：這邊的「最小」的 *sigma algebra* 沒有一個固定的生成方式 (對比於拓樸空間可以用有限交集再任意聯集去生成所有這樣的集合)，所以證明的時候，不太能暴力寫出裡面任意元素的長相，要往其他方向去思考。

## 定義：Initial Sigma Algebra

:::warning

假定 $(Y_j, m_{j})_{j \in J}$ 是一族 *measurable space*。$(f_j)_{j \in J}$ 為一族 $X$ 到 $Y_{j}$ 的函數：

$$
f_j : X \to Y_j \quad (j \in J)
$$

收集所有 $Y_j$ 中的所有 *measurable set* 對 $f_j$ 的 *preimage* 的搜集。並考慮由該搜集生成的 *sigma algebra*：

$$
\mathscr A\left(\bigcup_{j \in J}\{ f^{-1}(A) \mid A \in m_{j}\}\right)
$$

則該 *sigma algebra* 是 $X$ 中能使 $(f_j)_{j \in J}$ 都 *measurable* 的最小 *sigma algebra*，稱為 $(f_{j})_{j \in J}$ 導出的 *initial topology*。

:::

### 定義：Trace Sigma Algebra

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假定 $(X, m)$ 是一個 *measurable space*，$A \subseteq X$ 是一個 $X$ 的子集。則 $Y$ 上能使映射：

$$
\begin{align}
I : A &\to X
\newline
x &\mapsto x
\end{align}
$$

為 *measurable map* 的最粗 *sigma algebra*，稱為 *trace sigma algebra*，以 $m\rvert_{A}$ 或 $m_{\cap A}$ 表示。

:::

### 觀察：Trace Sigma Algebra 就是取交集

前面只有說他要是一個包含：

$$
S = \{I^{-1}(E) \mid E \in m\}
$$

的最小 *sigma algebra*。由 $I^{-1}$ 的意思：

$$
I^{-1}(E) = (E \cap A)
$$

所以其實跟下面這個集合一樣：

$$
S = \{E \cap A \mid E \in m\}
$$

這邊要說的是：這個東西自己就是一個 $A$ 上的 *sigma algebra*，也就是：

$$
S = \mathscr A_A(S)
$$

:::danger

假定 $(X, m)$ 是一個 *measurable space*，$A \subseteq X$ 是一個 $X$ 的子集。則 $Y$ 上的 *trace sigma algebra* 是以下集合：

$$
\{E \cap A \mid E \in m\}
$$

:::

首先，這個 $m'$ 會是一個 $A$ 上的 *sigma algebra*，因為 $A = A \cap X$，所以 $A$ 自己一定在 $m\vert_{A}$ 當中。而且取補集與聯集都有封閉性，因為：

$$
A \setminus (E\cap A) = A \cap \underbrace{(X \setminus E)}_{\in m} \in S
$$

以及：

$$
\bigcup (E_i \cap A) = \underbrace{\left(\bigcup E_i\right)}_{\in m}\cap Ain S
$$

所以 $S$ 自己就是一個包含 $S$ 的 *sigma algebra*。因此：

$$
S \subseteq S \Rightarrow \mathscr A_A(S) \subseteq S
$$

但是另外一方面， $S$ 一定要包含在自己生成的 *sigma algebra* 中，所以：

$$
S \subseteq \mathscr A_A(S)
$$

因此：

$$
S = \mathscr A_A(S)
$$

### 定義：Product Sigma Algebra

:::warning

假定 $(Y_1, m_{1})$ 與 $(Y_1, m_{1})$ 是兩個 *measurable space*。定義映射 $P_1, P_2$ 為：

$$
\begin{align}
P_1 : Y_1 \times Y_2 &\to Y_1
\newline
(y_1, y_2) & \mapsto y_1
\end{align}
$$

以及：

$$
\begin{align}
P_2 : Y_1 \times Y_2 &\to Y_2
\newline
(y_1, y_2) & \mapsto y_2
\end{align}
$$

則 $Y_1 \times Y_2$ 中，由 $\{P_1, P_2\}$ 導出的 *initial topology*，稱為 $Y_1 \times Y_2$ 的 *product topology*。

:::

### 觀察：Product Sigma Algebra 的長相

:::danger

假定 $(Y_1, m_{1})$ 與 $(Y_1, m_{1})$ 是兩個 *measurable space*。則下列 2 個 $(Y_1 \times Y_2)$ 上的 *sigma algebra* 是相等的：

1. $\{P_1, P_2\}$ 的 *initial sigma algebra*
2. 由以下集合生成的 *sigma algebra*

$$
\{A_1 \times A_2 \mid A_1 \in m_1, A_2 \in m_2\}
$$

為了方便，用 $m_1 \boxtimes m_2$ 來表示這個 *sigma algebra*：

$$
m_1 \boxtimes m_2 = \mathscr A(\{A_1 \times A_2 \mid A_1 \in m_1, A_2 \in m_2\})
$$

:::

每一個 $A_1 \times A_2$ 又稱作一個 *measurable rectangle*。跟剛剛的子空間不一樣的是：這裡是「生成」，而不是 *preimage* 之後就自動變成一個 *sigma algebra*。

## 定義：Final Sigma Algebra

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假定 $Y$ 是一個集合，$(X_j, m_j)_{j \in J}$ 是一系列的 *measurable space*，且 $(f_j)_{j \in J}$ 是如下的函數：

$$
f_{j} : X_j \to Y
$$

收集 $Y$ 中所有「*preimage* 落在每一個 $m_j$ 中」的集合：

$$
\{A \subseteq Y \mid f^{-1}(A) \in m_j \quad \forall j \in J\}
$$

該集合導出的拓樸為「使所有 $f_j$ *measurable*」的最細拓樸。

:::

## 觀察：對應域的子集族可測，就是生成

對應域 *sigma algebra* 的生成集的 *preimage* 都可測，那麼這個 *map* 就會自動在整個 *sigma algebra* 上 *measurable*。

:::danger

假定 $(X, m)$ 是一個 *measurable space*，$Y$ 是一個集合，且 $S \subseteq P(Y)$。假定 $f$：

$$
f : X \to Y
$$

是一個映射，則下列兩個敘述等價：

$$
\begin{align}
&f \text{ is }(m, \mathscr A(S)) \text{-measurable}
\newline
&\iff f^{-1}(s) \in m \quad \forall s \in S
\end{align}
$$

:::

$\Rightarrow$ 方向由 *measurable* 的定義直接得到。因為很顯然有：

$$
S \subseteq \mathscr A(S)
$$

所以如果 $f$ 是 $(m, \mathscr A(S))$ *measurable*，那所有 $\mathscr A(S)$ 中的元素做 *preimage*，都會是 *measurable*。可是 $S$ 又是他的子集，所以就得到了右邊的敘述

$\Leftarrow$ 方向考慮 $Y$ 上的 *final sigma algebra*，假定它叫做 $\mathscr A'$。因為 *final sigma algebra* 收集了所有「*preimage* 後是個可測集」的那些集合，所以顯然包含了所有 $s$，因為條件已經說所有的 $f^{-1}(s)$ 都可測。因此：

$$
S \subseteq \mathscr A'
$$

既然是個包含了 $S$ 的 *sigma algebra*，那就也包含了 $S$ 導出的 *sigma algebra*：

$$
\mathscr A(S) \subseteq \mathscr A'
$$

但是 $\mathscr A'$ 收集了所有 $Y$ 中「*preimage* 後 *measurable*」的那些集合，而 $\mathscr A(S)$ 包含在裡面。所以所有 $\mathscr A(S)$ 中的集合做了 *preimage* 之後，也還是 *measurable*。所以這就證明了：

$$
f \text{ is }(m, \mathscr A(S))\text{-measurable}
$$