# 代數導論二 Week 4 (Part 3) - Examples：Primes in Quadratic Integers

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## 觀察：Norm 是質數則 Irreducible

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假定 $\alpha \in \Bbb Z[\omega]$。若：

$$
N(\alpha) = \pm p
$$

其中，$p$ 是一個 $\Bbb Z$ 中的質數，則 $\alpha$ 在 $\Bbb Z[\omega]$ 中 *irreducible*。

:::

假定：

$$
N(\alpha) = p
$$

其中，$p \in \Bbb Z$ 是一個質數。要證明 *irreducible* 就是要證明：如果 $\alpha$ 可以寫成兩個東西相乘：

$$
\alpha = ab
$$

那麼 $\beta$ 或 $u$ 至少要有一個是 *unit*。如果把他們同時取 *norm*：

$$
N(\alpha) = N(a)N(b) = p
$$

因此，$N(a), N(b)$ 都要是 $p$ 的因數：

$$
N(a) \mid p
$$

$$
N(b) \mid p
$$

因為 $p$ 是質數，所以 $N(a), N(b)$ 兩個有一個一定要是 $\pm 1$，也就是 $a, b$ 至少要有一個是 *unit*。所以就證明他是 *irreducible*。

### 推論：高斯整數的狀況

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假定 $\alpha \in \Bbb Z[i]$。若 $N(\alpha)$ 是 $\Bbb Z$ 中的質數，則 $\alpha$ 是一個 $\Bbb Z[i]$ 中的 *prime*。

:::

這個推論是因為 $\Bbb Z[i]$ 是一個 *Euclidean Domain*，所以也是一個 *PID*，裡面 *prime* 跟 *irreducible* 等價。

## 觀察：Z[W] 中，Prime 的 Norm 都是質數或質數的平方

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假定 $\pi$ 是一個 $\Bbb Z[\omega]$ 中的 *prime* ，則 $N(\pi)$ 只會有兩種可能：

1. 是某個 $\Bbb Z$ 中質數 $p$ 的平方：

$$
N(\pi) = \pm p^2
$$

且這時 $p$ 在 $\Bbb Z[\omega]$ 中是一個 *irreducible*。

2. 等於某個 $\Bbb Z$ 中質數 $p$：

$$
N(\pi) = \pm p
$$

且這時，存在另一個 *irreducible* $\pi' \in \Bbb Z[\omega]$，使得：

$$
p = \pi\pi'
$$

:::

假定 $\pi \in \Bbb Z[\omega]$ 是一個 *prime*。由 *prime* 的定義， $(\pi)$ 是一個 *prime ideal*

$$
(\pi) \text{ is a prime ideal of }\Bbb Z[\omega]
$$

因為 $\Bbb Z$ 是 $\Bbb Z[\omega]$ 的子環，這表示 $(\pi)$ 跟 $\Bbb Z$ 的交集也是一個 $\Bbb Z$ 中的 *prime ideal*：

$$
(\pi) \cap \Bbb Z \text{ is a prime ideal in }\Bbb Z
$$

因為 $\Bbb Z$ 是一個 *PID*，所以存在一個元素 $p$ 去生成這個 *prime ideal*：

$$
\exists p \in \Bbb Z. (\pi) \cap \Bbb Z = (p)
$$

又因為 $(\pi) \cap \Bbb Z$ 是個 *prime ideal*，所以依照 *prime* 的定義，$p$ 要是 $\Bbb Z$ 中的 *prime*。所以 $p$ 在 $\Bbb Z[\omega]$ 裡面的 *norm* 就是：

$$
N(p) = p^2
$$

另外一方面，這個 $p$ 也要在 $(\pi)$ 中，所以：

$$
\exists \pi' \in \Bbb Z[\omega].p = \pi' \cdot \pi
$$

兩邊一起取 *norm*：

$$
\underbrace{N(p)}_{p^2} = N(\pi)N(\pi')
$$

這就表示：

$$
N(\pi) \mid p^2
$$

$$
N(\pi') \mid p^2
$$

而且兩個乘起來還要是 $p^2$。因此，$(N(\pi), N(\pi'))$ 可能的組合有兩類：

1. $N(\pi)$ 是 $\pm p^2$，$N(\pi')$ 是 $1$：表示 $\pi'$ 是個 *unit*，所以 $p$ 在 $\Bbb Z[\omega]$ 中會被表為：

$$
p = \pi \cdot \underbrace{\pi'}_{\text{unit}}
$$

所以$p$ 被放到 $\Bbb Z[\omega]$ 中之後是個 *irreduible*。

2. $N(\pi)$ 是 $\pm p$，$N(\pi')$ 是 $\pm p$：表示 $p$ 放到比較大的空間時，不是 *irreducible*。但現在有：

$$
p = \underbrace{\pi}_{N(\pi)\ = \pm p} \cdot \overbrace{\pi'}^{N(\pi')\ = \pm p}
$$

前面的定理知道：若一個 $\Bbb Z[\omega]$ 中的元素 *norm* 是正負質數，那麼他在 $\Bbb Z[\omega]$ 中會是個 *irreducible*。所以 $\pi$ 跟 $\pi'$ 中是 $\Bbb Z[\omega]$ 中的 *irreducible*。

### 推論：高斯整數的狀況

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假定 $\pi$ 是一個 $\Bbb Z[i]$ 中的 *irreducible* (等價地，*prime*)，那麼 $\pi$ 恰好滿足下面其中一點：

1. 存在質數 $p \in \Bbb Z$，以及一個 $\Bbb Z[i]$ 中的 *unit* $u$，使得：

$$
\pi = up
$$

且這時，$N(\pi) = p^2$，並且 $p$ 在 $\Bbb Z[i]$ 中 *irreducible*。

2. 存在質數 $p \in \Bbb Z$，以及一個 $\Bbb Z[i]$ 中的 *irreducible* (等價地，*prime*) $\pi'$，使得：

$$
p = \pi\pi'
$$

且這時，$p$ 在 $\Bbb Z[i]$ 中的 *factor* $\pi. \pi'$ 滿足 $N(\pi') = N(\pi) = p$。

:::

這個其實就是把上面的推論用：

$$
\omega = \sqrt{-1}
$$

取代，加上 $\Bbb Z[i]$ 是一個 *Euclidean Domain*，所以也是一個 *PID*，所以 *prime* 跟 *irreducible* 等價。因此上面的 *irreducible* 都可以換成 *prime*。