# 代數導論二 - Quadratic Integer

[TOC]

## 定義：Quadrtic Integers

:::warning

Suppsoe that $D$ is a square-free integer. Let

$$
\omega = \begin{cases}
\sqrt{D} & \text{ if }D = 2, 3 \mod 4
\newline
\frac {1 + \sqrt{D}}{2} & \text{if }D = 1 \mod 4
\end{cases}
$$

Define

$$
\Bbb Z[\omega] = \{a + b\omega \mid a, b \in \Bbb Z\}
$$

:::

## 觀察：Z[W] 是 Q[W] 中的子環

:::danger

假定 $D$ 是一個 *square-free* 的整數。若定義：

$$
\omega = \begin{cases}
\sqrt{D} & \text{ if }D = 2, 3 \mod 4
\newline
\frac {1 + \sqrt{D}}{2} & \text{if }D = 1 \mod 4
\end{cases}
$$

並且定義：

$$
\Bbb Z[\omega] = \{a + b\omega \mid a \in \Bbb Z, b \in \Bbb Z\}
$$

則 $\Bbb Z[\omega]$是一個 $\Bbb Q$ 中的子環。

:::

因為可以證明：

$$
\omega^2 \in \Bbb Z + \Bbb Z\omega
$$

對於 $D$ 除 $4$ 餘 $2, 3$ 的狀況，這是顯然。對於餘 $1$ 的狀況，可以觀察到：

$$
\omega^2 = \frac {1 + 2 \sqrt{D} + D}{4} = \underbrace{\frac {D - 1}{4}}_{\in \Bbb Z} + \underbrace{\frac {2 + 2 \sqrt{D}}{4}}_{= \omega}
$$

這個其實是要找：$\Bbb Z + \Bbb Z \omega$ 跟 $\Bbb Q + \Bbb Q[\sqrt D]$ 的關係就像 $\Bbb Z$ 跟 $\Bbb Q$ 的關係那樣。

## 定義：Norm (Recall)

:::warning

對於任意 $x \in \Bbb Q[\omega]$，定義 $m_x$ 為以下的線性轉換：

$$
\begin{align}
m_x : \Bbb Q[\omega] & \to \Bbb Q[\omega]
\newline
q &\mapsto xq
\end{align}
$$

則 $N(x)$ 定義為 $\det m_x$：

$$
N(x) = m_x
$$

:::

假定：

$$
x = a + b\sqrt{D}
$$

其中 $a, b \in \Bbb Q$，那麼上面這個東西就是下面這個東西：

$$
N(x) = a^2 - b^2 D
$$

### 觀察：Q[W] 的 Norm 限制在 Z[W] 上時

:::danger

$N \mid_{\Bbb Z[\omega]}$ 也是一個 $\Bbb Z[\omega]$ 上是一個 $\Bbb Z[\omega]\to \Bbb Z$ 的函數。

:::

對於任意 $a + b\sqrt{D}$，可以觀察：

$$
N(a + b \omega) = N(a + b\sqrt{D}) = q^2 - b^2 D \in \Bbb Z
$$

另外一方面，假定 $D$ 除 4 餘 $1$ 時：

$$
N(a + b \frac {1 + \sqrt{D}}{2}) = a^{2} + ab + \frac {b^2(1 - D)}{4} \in \Bbb Z
$$

### 觀察：「Norm 為 1」等價於「是個 Unit」

:::danger

假定 $r \in \Bbb Z[\omega]$。則：

$$
r \text{ is a unit} \iff N(r) = \pm 1
$$

:::

==$\Rightarrow$==：假定 $\alpha$ 是一個 $\Bbb Z[\omega]$ 的 *unit*，則

$$
\exists \beta \in \Bbb Z[\omega]. \alpha \beta = 1
$$

因此：

$$
N(\alpha\beta) = 1 \Rightarrow N(\alpha)N(\beta) = 1
$$

但是因為 $N(\alpha)$ 跟 $N(\beta)$ 都是整數，所以唯一的可能就是：

$$
N(\alpha) = \pm 1
$$

==$\Leftarrow$==：反過來說，如果 $N(\alpha) = \pm 1$，假定它叫做：

$$
\alpha = a + b\sqrt{D}
$$

則：

$$
N(\alpha) = a^2 - b^2 D = \underbrace{(a + b\sqrt{D})}_{\alpha}\underbrace{(a - b \sqrt{D})}_{\in \Bbb Z[\omega]} = \pm 1
$$

另外一方面，假定 $D$ 模 4 餘 1，假定 $\alpha$ 是：

$$
\alpha = a + b\omega = (a + \frac {b}{2}) + \frac {b}{2}\sqrt{D}
$$

因此：

$$
N(\alpha) = (a + \frac {b}{2} + \frac {b}{2}\sqrt{D})(b + \frac {b}{2} - \frac {b}{2}\sqrt{D}) = \overbrace{\underbrace{(a + b\omega)}_{\alpha}\underbrace{(a + b - b\omega)}_{\in \Bbb Z[\omega]} = \pm 1}^{\alpha \text{ is a unit}}
$$