# 代數導論二 Week 10 (Part 2) - Splitting Fields

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## 定義：Splits

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，$f(x) \in F[x]$ 是一個非常數的多項式，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *extension*。若在 $K/F$ 上，$f(x)$ 能分解成線性因子的乘積，即：

$$
f(x) = \prod_{i = 1}^{n}(a_ix - b_i) \quad a_i, b_i \in K
$$

則稱 $f(x)$ 在 $K$ 上 *splits* (可徹底分解)。

:::

### 觀察：在 K 上 Splits = K 裡面包含所有的根

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，$K/F$。假定 $f(x) \in F[x]$ 是一個非常數的多項式。則下列兩個敘述等價：

1. $f(x)$ 在 $K$ 上 *splits*。
2. 計入重根之後，$f(x)$ 在 $K$ 上有 $\deg f$ 個根。

:::

## 定義：Splitting Field

:::warning

假定 $F$ 是一個 *field*，$f(x) \in F[x]$ 是一個非常數的多項式，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *extension*。若 $K$ 滿足下面兩點：

1. $f(x)$ 在 $K$ 上 *spliits*。
2. 這樣的 $K$ 是最小的：對於任意 $K$ 中滿足 $F \subseteq K'$ 且 $K' \neq K$ 的 *subfield* $K'$， $f(x)$ 無法在 $K'$ 上 *splits*。

則稱 $K$ 是 $f(x)$ 的 *splitting field*。

:::

## Theorem 1

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假定 $F$ 是一個 *field*。則對於任意 $f(x) \in F[x]$，都存在 *field extension* $K/F$，使得 $K$ 是 $f(x)$ 的 *splitting feield*。

:::

首先觀察：如果 $K_1/F$ 跟 $K_2/F$ 上都 *splits*，那麼 $f(x)$ 在 $(K_1 \cap K_2)$ 這個 *field* 上也會 *splits*。所以只要證明「任意 $f(x) \in F[x]$ 都存在 *field extension* $K/F$ 使他 *splits*」，然後就可以說「把所有能使 $f(x)$ *splits* 的 *field extension* 取交集」得到的 *field* ，就是那個能使 $f(x)$ *splits* 最小的 *field* 了。

而證明方法就是對 $f$ 的次數做歸納法。假定：

$$
n = \deg f
$$

對 $n$ 用歸納法。假定 $n = 1$，那 $f(x)$ 自己就是：

$$
f(x) = ax + b \quad a, b \in F
$$

因為 $f(x)$ 自己就是自己的一次因式，所以他在 $F$ 裡面 *splits*。因此 $F$ 自己就是自己的 *splitting field*，也就是取 $K = F$ 就結束了。

假定 $n \geq 1$，則依照「$f(x)$ 在 $F$ 中是否有 $n$ 個根」分兩個狀況討論：如果有，這時候由上面的等價條件，知道 $F$ 自己就是自己的 *splitting field*，所以這時候取 $K = F$，就找到一個 *splitting field* 了。

另外一方面，如果沒有，就表示 $f(x)$ 中至少有一個次數不小於 $2$ 的 *irreducible factor* $p(x)$。拿這個 $p(x)$ 就可以造出一個「一定有他的根」的 *field extension*：

$$
F_1 = \frac {F[x]}{(p(x))}
$$

假定在 $F_1$ 當中，$p(x)$ 的根叫做 $\alpha \in F_1$。因為有根，所以就可以把 $f(x)$ 中拉出 $(x - \alpha)$ 這個一次因式：

$$
f(x) = (x - \alpha)f_1(x)
$$

其中：

$$
f_1(x) \in F_1[x]
$$

而且因為被提出了一個次因式，所以現在 $f_1$ 的次數就是 $(n - 1)：

$$
\deg f_1(x) = (n - 1)
$$

這時，因為 $f_1(x)$ 的次數比 $n$ 小，所以由歸納法假設，存在 $F_1$ 的 *field extension* $K_1/F_1$，使得 $K_1$ 是能使 $f_1(x)$ *splits* 的最小 *field*。

又因為 $f_1(x)$ 在 $K$ 中 *splits*，且 $\alpha \in F_1 \subseteq K$，所以 $f(x)$ 在 $K$ 中就有 $n$ 個根：$(n - 1)$ 個 $f_1(x)$ 的根，加上一個 $\alpha$。因此就造出了一個能使 $f(x)$ 在上面 *splits* 的 *field*。

Induction on $n = \deg f$.

if $n = 1$, $f$ itseld is a linear factor, i,e.

$$
f(x) = ax = b
$$

where $a, b \in F$, $a \neq 0$. So $f$ has a root $ba^{-1}$ in $F$, so $K = F$ will do

Suppose for any field $F$, and any $f(x) \in F[x]$ with $1 \leq \deg \leq n$ our claim holds.

Suppose $f(x) \in F[x]$ with $\deg f = n$

1. case 1: $f(x)$ has $n$ rots in $F$: then $K = F$ will do
2. case 2: $f(x)$ has less than $n$ roots in $F$: then $f(x)$ has a irreducible factor $p(x)$ with $\deg p = 2$. Let

$$
F_1 = \frac {F[x]}{(p(x))}
$$

Then $p(x)$ has a root $\alpha$ in $F_1$. So

$$
f(x) = (x - \alpha)f_1(x) \quad f_1(x) \in F_1[x]
$$

where

$$
\deg f_1 = n-1
$$

By induction hypothesis, there's a extension $K \supseteq F_1$ such that $K$ is a splitting field for $f_1(x)$.

$$
\alpha \in F_1 \subseteq K
$$

So $f(x)$ has $n$ roots in $K$.

Let $\bar K$ be the intersection of all subfield of $K$ over which $f(x)$ splits completely and containing $F$. Then $\bar K$ is a splitting field for $f(x)$ over $F$.

### 例子

:::danger

以下多項式：

$$
x^3 - 2 \in \Bbb Q[x]
$$

的 *splitting field* 是

$$
\Bbb Q(\sqrt[3]{2}, \omega)
$$

其中：

$$
\omega^2 + \omega + 1 = 0
$$

:::

$\Bbb Q\sqrt[3]{2}$ contains all roots of $x^3 - 2$. If $K \subseteq \Bbb Q(\sqrt[3]{2})$ contains all roots of $x^3 - 2$, then

$$
\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega \in K \Rightarrow \sqrt[3]{2},\omega \in K
$$

Remark:

$$
[\Bbb Q(\sqrt[3]{2}, \omega):\Bbb Q] = 6
$$

since

$$
[\Bbb Q(\sqrt[3]{2}, \omega):\Bbb Q] = [\Bbb Q(\sqrt[3]{2}, \omega):\Bbb Q(\sqrt[3]{2})][\Bbb Q(\sqrt[3]{2}):\Bbb Q]
$$

$$
[\Bbb Q(\sqrt[3]{2}, \omega):\Bbb Q(\sqrt[3]{2})] = 1 \text{ or }2
$$

### 例子

:::danger

$$
x^4 + 4 \in \Bbb Q[x]
$$

的 *splitting field* 是 $\Bbb Q(i)$

:::

$$
x = \pm (1 + i), \pm i(1 + i)
$$

Suppose that $K$ contains all roots of $x^4 + 4$ and is contained in $\Bbb Q(i)$, then $i \in K$

$$
i \in K \Rightarrow \Bbb Q \subseteq K
$$

## Splittig Field 的度數上界 (P2)

:::danger

假定 $f$ 是一個 *field*，$f(x) \in F[x]$。且令 $n$ 為 $f(x)$ 的次數：

$$
n = \deg f
$$

則：若 $K$ 是 $f(x)$ 的 *splitting field*，則他的 *degree of extension* 不大於 $n!$

$$
[K:F] \leq n!
$$

A splitting field of a polynomial $f(x) \in F[x]$ with degree $n \geq 1$ is of degree at most $n!$ over $F$

:::

這個直覺是：如果 $f(x)$ 不 *splits*，那麼照下面的方法看以構造出一個 $f(x)$ *splitting field*：

1. 找一個 $f$ 中 *irreducible* 的因式 $p_1$。這時候按照上面證明的構想，就會想要去構造下面這個 *field*：

$$
F_1 = {F[x]}/{(p_1)}
$$

$F_1/F$ 當中有一個 $p(x)$ 的根，而且 *degree of extension* 就是 $\deg p$。

1. 這種方法造出來的 *field extension* 中，*degree of extension* 最大的狀況，就是當整個 $f(x)$ 都 *irreducible* 的時候，因為這時會拿整個 $f(x)$ 下去做。也就是這時：

$$
F_1 = {F[x]}/{(f)}
$$

所以 $F_1$ 的 *degree of extension* 就會是 $\deg f = n$。

2. 因為現在 $F_1$ 中有一個 $f(x)$ 的根，假定它叫做 $\alpha_1$， $F_1$ 中把 $f(x)$ 分解：

$$
f(x) = (x - \alpha_1)f_1(x) \quad f_1 \in F_1[x]
$$

這時 $f_1$ 的次數變成 $(n - 1)$

2. 然後遞迴地對 $f_1(x) \in F_1[x]$ 討論一樣的事：找出 $f_1$ 中的 *irreducible* 的因式 $p'(x)$，然後造出造出一個包含 $p'(x)$ 的根的 *field extension*：

$$
F_2 = \frac {F_1[x]}{(p'(x))}
$$

1. 最差的狀況就是整個 $f_1$ 在 $F_1[x]$ 中都是 *irreducible*，所以就會拿整個 $f_1$ 下去做：

$$
F_2 = \frac {F_1[x]}{(f_1(x))}
$$

$F_2/F_1$ 的 *degree of extension* 就是 $\deg f_1 = (n-1)$。

2. 因為現在 $F_1$ 中有一個 $f(x)$ 的根，假定它叫做 $\alpha_2$， $F_2$ 中把 $f_1(x)$ 分解：

$$
f(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)f_2(x) \quad f_2 \in F_2[x]
$$

這時 $f_2$ 的次數變成 $(n - 2)$

3. 如此遞迴的做下去。最糟的狀況就是每一次做 *field extension* 時，*degree of extension* 都剛好是 $\deg f_i$，也就是 $n, (n-1), (n-2) \dots 1$。所以至少會有一個 *degree* 是 $n!$ 的，能使 $f(x)$ 在上面 *splits* 的 *field*。因此 $n!$ 就是 *splitting field* 的 *degree of extension* 的上界。

假定 $f(x)$ 中有一個 *irreducible* 的因式 $p(x)$，那麼以下的 *field* 會包含一個 $f(x)$ 的根：

$$
F_1 = F[x]/(p)
$$

且由前面的證明，知道：

$$
[F_1:F] = \deg p
$$

但是因為：

$$
\deg p \leq \underbrace{\deg f}_{n}
$$

所以這其實就是在說：

$$
[F_1:F] \leq \deg f
$$

因為 $F_1$ 中包含了一個 $f$ 的根，假定叫做 $\alpha_1$ 好了，那麼在 $F_1$ 中，$f(x)$ 可以分解成：

$$
f(x) = (x - \alpha_1) f_1(x)
$$

其中，$\alpha_1 \in F_1$，而 $f_1(x) \in F_1[x]$。且這時：

$$
\deg f_1 = n - 1
$$

用歸納法假設，存在一個 $f_1$ 的 *splitting field* $K$，且 $[K:F] < (n-1)!$。

假定 $L$ 是一個 *splitting field*，則：

$$
[L:F] \leq [K:F]
$$

這時因為：

$$
[L:F] \leq [K:F] = \underbrace{\overbrace{[K:F_1]}^{\leq (n-1)!}\overbrace{[F_1:F]}^{\leq n}}_{\leq n!}
$$

Let $p(x)$ be an irreducible factor of $f(x)$, then

$$
F[x]/(p(x))
$$

contains a root of $f(x)$. Since

$$
\deg p \leq \deg f
$$

Then

$$
[\underbrace{\frac {F[x]}{(p(x))}}_{F_1}:F] \leq n
$$

so

$$
f(x) = (x - \alpha)f_1(x)
$$

where $f_1(x) \in F_1[x]$, and $\deg f_1 = n - 1$. By induction a splitting field $K$ of $f_1(x)$ over $F_1$ has degree at most $(n-1)!$ over $F_1$. So $K$ contains all roots of $f(x)$.

Let $L$ be a splirring field for $f(x)$ over $F$ and contained in $K$, then

$$
[L:F] \leq [K:F]
$$

So

$$
[K:F] = \underbrace{[K:F_1]}_{\leq (n-1)!}\underbrace{[F_1:F]}_{\leq n} \leq n!
$$

By the definition of $E_1$

$$
K = E_1
$$

$E_1$ is a splitting field for $f(x)/F$

Similarly, $\tilde E_1$ is a splitting field for $\tilde f(x)/\tilde F$