# 代數導論二 Week 5 (Part 2) - Polynomial Ring on Integral Domains

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這一章的重點是：$R$ 是 UFD 則 $R[x]$ 是一個 UFD。

## 觀察：拿 Integral Domain 做時的性質 (P1)

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假定 $R$ 是一個 *integral domain*，則：

1. 多項式相乘，次數相加：假定 $p(x), q(x) \in R[x]$，且兩者均不為 $0$。則：

$$
\deg p(x)q(x) = \deg p(x) + \deg q(x)
$$

2. $R[x]$ 跟 $R$ 有一樣的 *unit*：

$$
R[x]^{\times} = R^{\times}
$$

:::

> 其中，$R[x]^{\times}$ 指的是 $R[x]$ 中的 *unit* 所形成的群; $R^{\times}$ 指得是 $R$ 中所有 *unit* 形成的群。

### 證明：多項式相乘，次數相加

假定：

$$
p(x) = \sum_{i = 0}^{n}a_i x_i \quad a_n \neq 0
$$

$$
q(x) = \sum_{i = 0}^{n}b_i x_i \quad b_m \neq 0
$$

則兩者相乘之後的最高次項，恰好會是兩者各自的最高次項的相乘：

$$
p(x)q(x) = a_nb_mx^{m + n} + \dots
$$

這是因為： $R$ 是一個 *integral domain*，而且 $a_n, b_m \neq 0$，所以：

$$
a_n b_m \neq 0
$$

因此最高次項不會乘完之後消失。所以這就證明了：

$$
\deg p(x)q(x) = \deg p(x) + \deg q(x)
$$

### 證明：R[x] 跟 R 的 Unit 一樣

首先，顯然有：

$$
R^{\times}\subseteq R[x]^{\times}
$$

因為有反元素的常數所形成的多項式，他在多項式環的反元素就找他的反元素形成的常數多項式就好了。所以只要證明另外一個方向。

假定：

$$
u \in R[x]^{\times}
$$

由 *unit* 的定義：

$$
\exists v \in R[x]^{\times}. uv = 1
$$

因為 *unit* 不可能是 $0$，而且 $R$ 是 *integral domain*，所以套用次數的關係：

$$
\deg uv = \deg u + \deg v = \deg 1 = 0
$$

既然非零多項式的次數都是非負的，所以唯一的可能是：

$$
\deg u = \deg v = 0
$$

因此，$u, v$ 都是常數多項式。也就是：

$$
u \in R \text{ and }v \in R
$$

而且 $uv = 1$，所以就證明了 $u$ 是 $R^{\times}$ 中的元素。

## 定理：Intergral Domain 做出來的多項式是 Integral Domain

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假定 $R$ 是一個 *integral domain*，則 $R[x]$ 也是一個 *integal domain*。

:::

> 就證明兩個非零的東西乘起來還是非零

假定 $a, b \in R[x]$，並且假定：

$$
\deg a > 0 \text{ or }\deg b > 0
$$

則依照次數相加的形質，有：

$$
\deg ab = \deg a + \deg b > 0 \Rightarrow ab \neq 0
$$

另外一方面，假定：

$$
\deg a = 0 \text{ and }\deg b = 0
$$

則：

$$
a, b \in R
$$

因為 $R$ 是一個 *integral domain*，而且 $a, b \neq 0$，所以：

$$
ab \neq 0
$$

## 觀察：R[x]/(I) 跟 (R/I)[x] 同構 (C2)

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假定 $R$ 是一個交換環，且 $I \lhd R$。則：

1. 乘上 $R$ 中的 *ideal* 之後，會得到 $R[x]$ 中的 *ideal*：假定 $I \lhd R$，則：

$$
IR[x] \lhd R[x]
$$

2. 「*quotient* 係數在 $I$ 中的多項式」同構於「直接用 *quotient* 做多項式係數」：假定 $I \lhd R$，則：

$$
R[x]/(IR[x]) \simeq (R/I)[x]
$$

:::

> 有時候會定義：
>
> $$
> (I) = IR[x]
> $$
>

考慮下面這個映射：

$$
\begin{align}
\psi : &R[x] \longrightarrow (R/I)[x]
\newline
&\sum_{i = 1}^{n}a_ix^i \mapsto \sum_{i = 1}^{n}\bar a_i x^i
\end{align}
$$

這個映射很明顯是 *surjective*：因為給定一個 $\sum \bar a_i x^i$，至少在 $R[x]$ 中會有 $\sum a_i x^i$ 會送到他。

除此之外，他還是 *ring homomorphism*。因為

1. 既然：

$$
\overline{a_i + b_j} = \bar a_i + \bar b_j
$$

所以有：

$$
\psi(f + g) = \psi(f) + \psi(g)
$$

2. 另外一方面，因為有：

$$
\overline{a_ib_j} = \bar a_i\bar b_j
$$

所以：

$$
\psi (fg) = \psi(f) + \psi(g)
$$

因此， $\psi$ 是一個 *ring homomorphism*。而他的 *kernel* 是所有「每個係數都是 $I$ 中元素」的那些多項式：

$$
\ker \psi = \{\sum_{i = 0}^{n}a_ix^i \mid a_i \in I\}
$$

而另外一方面， $IR[x]$ 照定義寫出來是：

$$
IR[x] = \{\sum_{i = 1}^{m}a_i f_i(x) \mid a_i \in I, f_i(x) \in R[x]\}
$$

1. 首先，如果取：

$$
f_i(x) = x^i
$$

那麼就會發現所有 $\ker \psi$ 的元素都會是滿足 $IR[x]$ 定義元素。所以：

$$
\ker \psi \subseteq IR[x]
$$

2. 另外一方面，因為對於 $r \in R$，以及 $I$ 中的元素 $\alpha$，都有：

$$
\alpha \in I \Rightarrow r \alpha \in I \quad \forall r \in R
$$

所以：

$$
\psi (a_i f_i(x)) = 0 \quad \forall a_i \in I, f_i \in R[x]
$$

因為 $\psi$ 是 *homomorphism*，所以一堆 $a_if_i$ 加起來還是會被 $\psi$ 送到 $0$，因此就證明了：

$$
IR[x] \subseteq \ker \psi
$$

兩邊的包函關係都有了，所以：

$$
IR[x] = \ker \psi
$$

最後套用第一同構定理，就有：

$$
R[x]/(IR[x]) \simeq (R/I)[x]
$$

### 推論：I 是 Prime Ideal 則 IR[x] 也是 (C3)

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假定 $I$ 是一個 $R$ 中的 *prime ideal*，則 $IR[x]$ 也是一個 $R[x]$ 中的*prime dieal*。

:::

因為 $I$ 是一個 $R$ 中的 *prime ideal*，所以 $R/I$ 是一個 *integral domain*，所以他做出來的多項式環也是一跟 *integral domain*：

$$
(R/I)[x] \text{ is an integral domain}
$$

又因為有同構關係：

$$
R[x]/(IR[x]) \simeq (R/I)[x]
$$

所以跟 $(R/I)[x]$ 同構的 $R[x]/(IR[x])$ 也是一個 *integral domain*：

$$
R[x]/(IR[x]) \text{ is an integral domain}
$$

因為 *prime ideal* 等價於 *quotient* 之後得到 *integral domain*，所以：

$$
IR[x] \text{ is a prime ideal in }R[x]
$$

其實逆敘述也是真的，但是後面才會證。

> Remark: it's not necessarily true if replace prime with maximal. Since this implies
>
> $$
> R/I \text{ is a field}
> $$
>
> Howerever
>
> $$
> (R/I)[x] \text{ is not necessarily a field}
> $$

## 定理：Field 做出來的多項式是 Euclidean Domain

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*, 則：

1. $F[x]$ 是一個 *Euclidean Domain*：

$$
\begin{align}
&F \text{ is field}
\newline
& \Rightarrow F[x] \text{ is Euclidean Domain}
\end{align}
$$

2. 「取多項式的次數」是一個 $F[x]$ 的 *norm*。

$$
\begin{align}
N : F[x]\setminus\{0\} &\to \Bbb N \cup\{0\}
\newline
p(x) &\to \deg p(x)
\end{align}
$$

是一個 $F[x]$ 的 *norm*。

3. 在使用「取次數」當 *norm* 的狀況下，除法商跟餘式是唯一的：
$\forall a(x), b(x) \in F[x]\setminus \{0\},\quad \exists!\ q(x), r(x) \in F[x]$ s.t.：
$$
a(x) = q(x)b(x) + r(x)
$$
其中：
$$
r(x) = 0 \text{ or } \deg r < \deg b
$$
:::

首先證明存在性，假定 $\deg a < \deg b$，那沒什麼好證的，令：

$$
q(x) = 0
$$

以及：

$$
r(x) = a(x)
$$

這樣就可以了。假定 $\deg a \geq \deg b$，令：

$$
a(x) = \sum_{i = 1}^{n}a_ix^i \quad a_n \neq 0
$$

$$
b(x) = \sum_{i = 1}^{m}b_ix^i \quad a_m \neq 0
$$

現在假定 $\deg a \geq \deg b$，所以 $n \geq m$。然後就是做長除法，令：

$$
q_1(x) = (a_n\cdot b^{-1}_1)x^{n-m}
$$

因為 $F$ 是一個 *field*，所以 $b_1^{-1}$ 一定存在，因此 $q_1(x)$ 一定有定義。令：

$$
r_1(x) = a(x) - q_1(x)b(x)
$$

這時候，因為 $a(x)$ 的最高次項被減掉了，所以：

$$
\deg r_1 < n
$$

如果這時候發現 $\deg r_1 < m$ 那就做完了，取 $q_1$ 跟 $r_1$ 就做完了。如果沒有，就繼續做
，做到 $\deg r_n < \deg b$ 或 $r_n = 0$ 其中一個發生。因為每一次都有 $\deg r_{i + 1} < \deg r_i$，所以有限次之後這個動作就會結束。假定做了 $k$ 次之後停下，也就是假定：

$$
\begin{align}
r_1(x) &= a(x) - q_1(x)b(x)
\newline
r_2(x) &= r_1(x) - q_2(x)b(x)
\newline
\vdots
\newline
r_{k}(x) &= r_{k-1}(x) - q_{k}(x)b(x)
\end{align}
$$

其中：

$$
\deg r_1 > \deg r_2 \dots > \deg r_{k-1} > \deg r_k
$$

且：

$$
r_k = 0 \text{ or }\deg r_k < \deg b
$$

把左右通加總，並且左右消去 $r_1 \dots r_{k-1}$ 之後，就會得到：

$$
\overbrace{r_k(x)}^{r(x)} = a(x) - \underbrace{\left(\sum_{i = 1}^{k}q_i(x)\right)}_{q(x)}b(x)
$$

這時候，就構造出一個 $q$ 和 $r$，使得

$$
a(x) = q(x) b(x) + r(x)
$$

且 $\deg r < \deg b$，或是 $r = 0$。

最後證明這樣的 $q$ 跟 $r$ 是**唯一的**。假定存在另外一個：

$$
a = q b + r = q' b + r'
$$

移項得到：

$$
b(q - q') = (r' - r)
$$

因為前提有 $b \neq 0$，加上 $F[x]$ 是一個 *integral domain*。所以如果 $(q - q') \neq 0$ 的話，就會有：

$$
\deg b + \deg(q - q') = \deg (r - r') < \deg b
$$

於是就會發生：

$$
\deg (q - q') < 0
$$

但這是不可能的。所以唯一的可能就是：

$$
(q - q') = 0 \Rightarrow q = q;
$$

因此帶回去，得到：

$$
r = r'
$$

### 推論：Field 做出來的多項式是 PID 跟 UFD

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假定 $F$ 是一個 *field*，則 $F[x]$ 是 *PID*，也是 *UFD*

:::

$F[x]$ 都是 *Euclidean Domain* 了，所以也是 *PID* 跟 *UFD*。

If $0\neq I\lhd F[x]$, then $I=(f)$ where $$\deg f=\underset{0\neq h\in I}\min \deg h(x)$$.