# 代數導論 (15) - Group Action (Part 1)

[TOC]

### 觀察：Group Action 的 Kernel

假定 $G$ 是一個群，$X$ 是某個集合，則一個 *group action* 就是用 $G$ 中元素造出一個 $X \to X$ 的 *bijection* 的 *homomorphism*。即：

$$
\begin{align}
\Phi : G &\to S_X
\newline
g &\to (g \star \_)
\end{align}
$$

而 $S_X$ 是一個群，$\Phi$ 是個 *homomorphism*。既然是群到群的 *homomorphism*，那就可以把前面 *quotient group* 中的技巧，拿來討論 *group action* 的行為。

比如說：

1. $\Phi$ 的 *kernel*，所對應到的就是「送到 $I_X$ 的那些元素」，而且由 *quotient group* 那邊的討論，可以知道 *homomorphism* 的 *kernel* 必定是 *normal subgroup*。即：
$$
\ker \Phi \lhd G
$$
3. 而對於任意元素 $x$ 的 *stablizer*，在 *group action* 定義時，就已經知道是個 $G$ 中的子群了。而且更進一步，這個子群還包含了 $\ker \Phi$，因為 $\ker \Phi$ 中的元素都對應到 $S_X$ 的 *identity*，所以是所有元素的 *stablizer*。換句話說：

$$
\ker \Phi \leq G_x \leq G
$$

上面這兩個條件列出來，就發現 $\ker \Phi$ 是群 $G$ 與任意元素的 *stablizer* 所共有的 *normal subgroup*。這看起來很有 *isomorphism theorem* 們的樣子。

除此之外，一個元素的 *orbit*，跟他的 *stablizer* 形成的 *coset* 也有密切關聯：

### 觀察：Stablizer 的 Coset

:::danger
**Lemma**

假定 $G$ 是一個群，$X$ 是一個集合，且 $x \in X$。則對於任意一個 $G\times X \to X$ 的 *group action*，有：

$$
g(x) = h(x) \iff hG_x = gG_x
$$

:::

這其實就是 *group action* 的性質用一用就推出來了。因為若 $h \in G$，則 $h^{-1} \in G$。而在 $h(x) = g(x)$ 的狀況下，考慮：

$$
\begin{align}
x &= (1)(x)
\newline
&= (h^{-1}h)(x)
\newline
&= h^{-1}(h(x))
\newline
&= h^{-1}(g(x)) = (h^{-1}g)(x)
\end{align}
$$

而既然 $g, h \in G$，所以 $(gh^{-1}) \in G$，而且上面的證明結果直接說他也是 $x$ 的 *stablizer*。因此：

$$
(h^{-1}g) \in G_x \Rightarrow g \in (hG_x)
$$

### 觀察：Orbit-Stabilizer Theorem

既然有 *coset* 的樣子，自然而然就會想要用一下 *Lagrange* 定理：

:::danger
**Thm (Orbit-Stabilizer Theorem)**

假定 $G$ 是一個群，$X$ 是一個集合，$x \in X$，$G_x$ 為 $x$ 的 *stabilizer*。則對於任意一個 $G\times X \to X$ 的 *group action*，下列兩項敘述成立：

</br>

++**1. Stabilizer 的商群與 Orbit 存在雙射**++

$G/G_x$ 中的每一個 *coset* 與 $orb(x)$ 中每一個元素之間，存在以下雙射：

$$
\boxed{\begin{align}
\phi : G/G_x &\to orb(x)
\newline
gG_x &\to g(x)
\end{align}}
$$

++**2. Lagrange 定理的推論**++

更進一步，若 $|G|, |orb(x)| < \infty$，則：

$$
\boxed{|orb(x)| = \frac {|G|}{|G_x|}}
$$

:::

這其實滿直覺的，因為對於某個固定的 $x$ 而言，*orbit* 中每個相異的值，都對應到一個 $G$ 中的相異 *coset*。

++**證明：Stabilizer 的商群與 Orbit 的雙射**++：

首先，$\phi$ 是個 *well-defined* 的函數，因為前面已經證明過：

$$
hG_x = gG_x \Rightarrow h(x) = g(x)
$$

所以 *coset* 的不同表示法，並不影響 $\phi$ 會送過去的地方。而 *injective* 也是顯然的，因為就是上面敘述的另外一個方向：

$$
g(x) = h(x) \Rightarrow gG_x = hG_x
$$

而 *surjective* 的部分，因為 $g$ 可以取遍所有的 $g \in G$，所以打到的值域依照 $orb(x)$ 定義可知就是 $orb(x)$ 本人。

++**證明：Lagrange 定理的推論**++：

既然已經建構了一個 *bijection*，那麼就知道：

$$
|G/G_x| = |orb(x)|
$$

假定 $|G|$, $|orb(x)|$ 有限，對 $|G/G_x|$ 套用 *Lagrange* 定理，就得到要求的結論了：

$$
|G/G_x| = \frac {|G|}{|G_x|} = |orb(x)|
$$

### 觀察：Stabilizer 的「移動」

對於一個 *orbit* 中的元素來說，他們都可以用某個 $G$ 中的元素「移動」到另外一個元素上。而這時，他們的 *stabilizer* 只會差一個 *congugate*：

:::danger
**Lemma**

假定 $G$ 是一個群，$X$ 是一個集合，$x \in X$，考慮任意一個 $G\times X \to X$ 的 *group action*。則對於任意 $y \in orb(x)$，有：

$$
\boxed{y = g(x) \Rightarrow G_y = gG_xg^{-1}}
$$

即：元素在 *orbit* 間移動時，他們的 *stabilizer* 只會差一個 *conjugate*

:::

這也就是要證明：

$$
h \in G_x \iff ghg^{-1} \in g_y
$$

首先，對於任意 $h \in G_x$，可以證明 $ghg^{-1}$ 能夠 *stabilize* $y$。因為 $y = g(x)$，所以把它帶入，並且利用 *group action* 的性質做化簡：

$$
\begin{align}
(ghg^{-1})(y) &= ghg^{-1}(gx)
\newline
&= g(h(g^{-1}(gx)))
\newline
&= g(h(x))
\newline
&= g(x)
\newline
&= y
\end{align}
$$

由此得證 $(ghg^{-1})$ 可以 *sttabilize* $y$。因此，得到下面的結論：

$$
h \in G_x \Rightarrow (ghg^{-1}) \in G_y
$$

另外一個方向，若 $(ghg^{-1}) \in G_y$，也就是說：

$$
(ghg^{-1})(y) = y
$$

或者是把 $y = g(x)$ 代回。因此：

$$
(ghg^{-1})(g(x)) = g(x)
$$

但這就是在說：

$$
\begin{align}
(ghg^{-1})(g(x)) &= g(x)
\newline
gh(x) &= g(x)
\newline
h(x) &= x
\end{align}
$$

因此，$h \in G_x$。所以證明了：

$$
(ghg^{-1}) \in G_y \Rightarrow h \in G_x
$$

### 觀察：用 Stabilizer 刻畫 Group Action

前面兩個觀察可知：==$X$ 中的每一個元素 $x$，都可以被他自己的 *stabilizer* $G_x$ 所刻畫==。只要指定一個 *subgroup* 為 *stabilizer*，這個元素在這個 *group action* 的 *orbit* 就決定了。因此 *group action* 的問題，本質上又回到自身的 *subgroup* 與 *coset* 上面。

與其給 $X$，不如給一堆在某個 *group action* 下的 *stabilizer* 所形成的集合：

$$
\mathcal H = \{H_i \leq G \mid i = 1 \dots n \dots\}
$$

而對於任意一個 $H \in \mathcal H$，*group action* 在每一個 *orbit* 上的行為，就可以用下面這個雙射「還原」回去：

$$
\begin{align}
G \times G/H &\to G/H
\newline
(g_1, g_2H) &\mapsto (g_1g_2)H
\end{align}
$$

更進一步，*orbit* 中的所有元素，也都可以用他們的 *stabilizer* 來描述。而且可以用前面所描述的觀察來刻畫：

$$
\begin{align}
G_H = H \Rightarrow G_{gH} = gHg^{-1}
\end{align}
$$

而最後，*group action* 的 *kernel*，也就是「所有元素的 *stabilizer*」，就可以刻畫為：

$$
\bigcap_{g \in \mathcal G} gHg^{-1}
$$

所以，本來討論 *group action* 時，$G \times X \to X$ 這個映射看似會受 $X$ 的不確定性影響。但本質上來說，它只是討論很多個 *stabilizer* 及其 *quotient* 之間的關係。

### 觀察：Orbit 就是分割

除此之外，雖然 *group action* 中的集合 $X$ 並不要求他的代數結構是什麼，但這邊有一個事實：在 *group action* 的作用下，所有 $X$ 中的 *orbit* 會形成一個 $X$ 的等價類：

:::danger
**Lemma**

假定 $G$ 是一個群，$X$ 是一個集合，且 $G, X$ 間具備一個 *group action*。若定義：

$$
x_1 \sim x_2 \iff x_1 \in orb(x_2)
$$

則「$\sim$」是一個等價關係。即：在 *group action* 的意義下，$X$ 會分割成不相交的 *orbit*。

:::

==Reflexive==：這是顯然，因為依照 *group action* 的定義，取 $g = 1$，則：

$$
x_1 = 1(x_1) = \in orb(x_1)
$$

==Symmetric==：因為 *group action* 定義的關係，有 $(g \star \_)$ 這個 *group action*，因為 $g^{-1} \in G$ 的緣故，必定有 $(g^{-1} \star \_)$ 這個 *group action*。因此：

$$
\begin{align}
1(x_1) &= g(x_2)
\newline
g^{-1}(1(x_1)) &= g^{-1}(g(x_2))
\newline
g^{-1}(x_1) &= x_2
\end{align}
$$

但這也就是在說：存在 $g' = g^{-1} \in G$，使得：

$$
x_2 = g'(x_1)
$$

因此，得證：

$$
x_2 \in orb(x_1)
$$

==Transitive==

假定 $x_1 \in orb(x_2)$，$x_2 \in orb(x_3)$。則存在 $g_2, g_3 \in G$，使得：

$$
\begin{align}
x_1 &= g_2(x_2)
\newline
x_2 &= g_3(x_3)
\end{align}
$$

但把 $x_2$ 代換掉，這也就是在說：

$$
\begin{align}
x_1 &= g_2(x_2)
\newline
&= g_2(g_3(x_3))
\newline
&= (g_2g_3)(x_3)
\end{align}
$$

其中，因為 $g_2, g_3 \in G$，而 $G$ 是個群，故 $(g_2g_3) \in G$，但這也就是在說 $g_2g_3(x_3)$ 在 $orb(x_3)$ 中：

$$
x_1 = (g_2g_3)(x_3) \in orb(x_3)
$$