# 代數導論二 - Integral Domain

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## 定義：Integral Domain

:::warning
假定 $R$ 是一個 *ring*。若 $R$ 滿足：

++**1. 可交換**++

++**2. 加法單位元跟乘法單位元不同**++

$$
0 \neq 1
$$

++**3. 沒有 Zero Divisor**++

$$
\begin{cases}
a \neq 0\text{; and}
\newline
b \neq 0
\end{cases}\Rightarrow ab \neq 0
$$

則稱 $R$ 是一個 *integral domain*。

:::

這個 *integral domain* 就有算術中對於乘法消去律的那種直覺：對於任意 $a, b, c \in R$，有：

$$
ab = ac \Rightarrow a = 0 \text{ or }b = c
$$

這是對於「任意」 $a, b, c$ 都對。這是因為裡面沒有人是 *zero divisor*，所以依照前面的敘述直接得到的。

### 觀察：Integral Domain = 有 1 有消去律的交換環

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的交換環，則下列 $3$ 個敘述等價：

1. $R$ 中沒有 *zero divisor*：

$$
\begin{align}
&(a \neq 0) \text{ and }(b \neq 0)
\newline
&\Rightarrow ab \neq 0
\end{align}
$$

1. 對於 $a, b \in R$，若兩者乘積為 $0$，則至少有一者為 $0$：

$$
\begin{align}
&ab = 0
\newline
&\Rightarrow (a = 0) \text{ or } (b = 0)
\end{align}
$$

2. 對於任意 $a, b, c \in R$，有：

$$
\begin{align}
&ab = ac
\newline
&\Rightarrow (a = 0) \text{ or } (b = c)
\end{align}
$$

特別地：

$$
\begin{align}
& (ab = ac) \text{ and }(a\neq 0)
\newline
&\Rightarrow b = c
\end{align}
$$

:::

$1$ 跟 $2$ 等價很明顯就是邏輯上的「若 $P$ 則 $Q$」與「非 $Q$ 則非 $P$」。而 $2$ 跟 $3$ 等價是因為有 $2$ 的話，就可以知道：

$$
\begin{align}
&ab = ac
\newline
&\Rightarrow a(b - c) = 0
\end{align}
$$

然後套用 $2$，就會發現：

$$
(a = 0) \text{ or }(b - c = 0)
$$

另外一方面，如果有 $3$，那令 $c = 0$，就會自動有 $2$ 了。

## 觀察：生出同一個 Principal Ideal = 生成元差一個 Unit

:::danger

假定 $R$ 是一個 *integral domain*，且 $d, d' \in R$。則下列兩個敘述等價：

1. $d, d'$ 生出的 *ideal* 一樣：

$$
(d) = (d')
$$

2. $d, d'$ 間差一個 *unit*：存在 $R$ 中的 *unit* $u$，使得：

$$
d' = ud
$$

:::

$(\Leftarrow)$：假定 $a \in (d)$，這等價於存在 $r \in R$，使得：

$$
a = rd
$$

因為 $u$ 是一個 *unit*，所以存在 $0 \neq v \in R$，使得：

$$
uv = vu = 1
$$

所以故意把 $a$ 補一個 $1$ 上去，來湊$d'=ud$：

$$
\begin{align}
(d) \ni a &= rd
\newline
&= r(vu)d
\newline
&= \overbrace{(rv)}^{\in R} \underbrace{(ud)}_{d'} \in (d')
\end{align}
$$

所以$(d)\subseteq(d')$。把 $d, d'$ 的角色對調，就可以證明另外一個方向的包含。所以就證明了 $(d) = (d')$。

($\Rightarrow$)：另外一方面，如果 $d = 0$，那那個 *unit* 隨便挑，比如說挑 $1$ 就好了。所以假定 $d \neq 0$。

這時，因為 $d' \in (d)$，所以存在 $r \in R$，使得：

$$
d' = rd
$$

另外一方面，因為 $d \in (d')$，所以也存在 $r' \in R$，使得：

$$
d = r'd'
$$

> 這邊注意 $r, r'$ 都不可能是 $0$。因為只要有一個是 $0$，那 $d$ 跟 $d'$ 就都會是 $0$。

把上面帶進下面，就會發現：

$$
d = r'd' = (rr')d
$$

因為是個 *integral domain*，而且 $d \neq 0$，所以左右消去 $d$，就會得到：

$$
1 = rr'
$$

因為 $r, r'$ 都不可能是 $0$，而且他們相乘起來是 $1$，所以就證明了 $r, r'$ 是個 *unit*。因此就有：

$$
d' = rd \quad r \text{ is unit}
$$

## 觀察：有限的 Integral Domain 一定是個 Field

:::danger

假定 $R$ 是一個 *integral domain*。則：

$$
R \text{ finite} \Rightarrow R \text{ is field}
$$

:::

關鍵是在那個有限。對於任意 $a\in R$, $a \neq 0$，考慮映射：

$$
\begin{align}
\psi_a:R &\to R
\newline
x &\mapsto ax
\end{align}
$$

因為 $a \neq 0$，而且 *Integral Domain* 保證 $a$ 不會是 *zero divisor*，所以這個映射是 *injective*。因為這時乘法可以消去：

$$
ax_1 = ax_2 \Rightarrow x_1 = x_2
$$

另外一方面，因為這個映射是 $R \to R$，而且 $R$ 有限，所以 *injective* 自動有 *surjective*，因此這是個 *bijection*。這也就是說「$1$ 一定會被這個映射打到」，或是說必定存在 $x' \in R$，使得：

$$
ax' = 1
$$

換句話說，每一個非零的 $a$ 都是一個 *unit*。由此得證是個 *field*