# 代數導論二 - First Isomorphism Theorem

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## First Isomorphism Theorem

:::danger

假定 $R, S$ 是兩個 *ring*，且：

$$
\psi : R \to S
$$

是一個 *ring homomorphism*。則：

1. $\ker \psi$ 是一個 $R$ 中的 *ideal*

$$
\boxed{\ker \psi \unlhd R}
$$

2. $\psi(R)$ 是一個 $S$ 中的 *subring*

$$
\boxed{\psi(R) \text{ is a subring of }R}
$$

3. 以下的映射是個 *well-defined* 的雙射，而且是個 *homomorphism*：

$$
\boxed{\begin{align}
\psi' : R/\ker \psi & \to \psi(R)
\newline
r + \ker \psi &\mapsto \psi(r)
\end{align}}
$$

因此有以下的同構關係：

$$
\boxed{R/\ker \psi \simeq \psi(R)}
$$

:::

$$
\require{AMScd}
\begin{CD}
R @>>> R/\ker \psi\\
@. {\searrow} @| \\
@.\psi(R)
\end{CD}
$$

### 證明：敘述一 (Ring Homo. 的 Kernel 是個 Ideal)

第一個就是前面證明過的，$$

### 證明：敘述二 (Homo 保持 Ring)

由 *homomorphism* 的性質，$\psi(R)$ 至少有 $0$。因為：

$$
\psi(0) = 0
$$

並且 $\psi(R)$ 中的元素減法封閉：

$$
\psi(a) - \psi (b) = \psi(a - b) \in \psi(R)
$$

最後，乘法也是封閉的：

$$
\psi(a)\psi(b) = \psi(ab) \in \psi(R)
$$

所以是個 *subring*。

### 證明：敘述三 (同構)

*well-defined* 是由 *coset* 間的運算性質得到：

$$
r_1 + \ker \psi = r_2 + \ker\psi \Rightarrow (r_2 - r_1) \in \ker \psi
$$

因此：

$$
\psi'(r_2 + \ker \psi) = \psi'(\overbrace{\underbrace{(r_2 - r_1)}_{\in \ker \psi} + r_1 + \ker \psi}^{=r_1 + \ker \psi})
$$

所以，同樣一個 *coset* 如果選出不同的代表元素，這個映射還是會被映射到同樣一個結果。所以是 *well-defined* 的。

*homomorphism* 就直接由 *coset* 乘法得到：

$$
\begin{align}
&\psi'(r_1 + \ker \psi) + \psi'(r_2 + \ker \psi)
\newline
&= \psi(r_1) + \psi(r_2)
\newline
&= \underbrace{\psi(r_1 + r_2)}_{\psi'(r_1 + r_2 + \ker \psi)}
\end{align}
$$

以及：

$$
\begin{align}
&\psi'(r_1 + \ker \psi)\psi'(r_2 + \ker \psi)
\newline
&= \psi(r_1)\psi(r_2) = \underbrace{\psi(r_1r_2)}_{\psi'(r_1r_2 + \ker \psi)}
\end{align}
$$

最後，對於任意 $\psi(R)$ 中的元素 $\psi(a)$，由 $\psi'$ 的定義，至少湊的出 $(a + \ker \psi)$ 這個東西可以打到他：

$$
\psi'(a + \ker \psi) = \psi(a)
$$

所以是 *surjective*。另外一方面，去看看這個東西的 *kernel* 是什麼：

$$
\underbrace{\psi'(r + \ker \psi)}_{=\psi(r)} = 0 \Rightarrow r \in \ker \psi
$$

也就是說只有 $(0 + \ker \psi)$ 這個東西是他的 *kernel*。所以就 *injective*

## 觀察：使用的一個時機

假定現在有一個 *ring* $R, R'$，有一個 *ring homomorphism* $\psi$：


如果現在有一個 $R$ 中的 *ideal*，那麼就會自然而然有一個 *surjection* $\pi$，把 $R$ 中的元素送到 $R/I$ 中：


一般來說，$R'$ 跟 $R/I$ 不會有什麼關係。但如果發現

$$
\boxed{\psi \text{ is surjective}}
$$

且 「$I$ 就是他的 *kernel*」：

$$
\boxed{\ker \psi = I}
$$

也就是像下面這樣：


那麼中間就可以用 *isomorphism* 連起來：