# 流體力學 Week 2 - Fluid Dynamics

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流體運動學～

## 兩種觀點

觀察流體的角度有兩種，分別是：

1. 當成粒子：是 Larange 提出的，所以又叫 Lagrangian description。
2. 當成「連續體」：又叫做 Euler discription

假定流體有任意一個物理量 $B$ , 這個物理量可以是溫度、壓力、密度、速度等等。

### Lagrange Viewpoint

對於「物理量」這件事，Lagrange 觀點是這樣：

> Describe the flow properties by ++following the path of fluid particles of fluid particles of fluid identities.++

$$「流體是移動的粒子，觀察這個粒子物理量的變化，就是觀察流體」$$

所以數學模型看起來大致上就像是：

$$\vec{x_{part}} = \vec{x}_{part}(t,\vec{x}_{part}(0))$$

$$B_{part} = B_{part}(\vec{x}(t))$$

理想上來說，只要可以追蹤每一個粒子的狀態，就可以知道流體怎麼運動。不過流體中的粒子非常多，使得這只是一種理想上的概念。

### Euler Viewpoint

Euler description 是這樣：

> Specify continuum properties as functions of position (x, y, z) witch particle happens to occupy and of time t.

$$「想像空間布滿流體。所以空間性質就是流體性質」$$

這種概念跟電磁學中的「場」很像。

把流體當佈滿空間的材質。 因為流體佈滿空間, 這時候空間性質就是流體性質 :

<br>

$$B_{cont} = B_{cont}(\vec{x{}},t) = B_{cont}(x, y, z, t)$$

<br>

比如說在氣象當中會講「風場」「等壓線」等等的。 這些描述方式都是把各種現像當成是一種場， 或是說「空間性質」。 這都是 Lagrange Description 的描述。

## 2.1 Total, Local, Convective and Material Derivative

考慮一個物理量 $B$ , 對於 Lagrangian Description 來說：

$$dB_{part} = \frac {dB_{part}}{dt}\cdot dt$$

對於 Euler Description 來說：

$$dB_{con} = d(B_{con}(x, y, z, t)) = \frac {\partial B}{\partial x}dx + \frac {\partial B}{\partial y}dy + \frac {\partial B}{\partial z}dz + \frac {\partial B}{\partial t}dt$$

但是還是不知道要怎麼連起來。接下來要做的事是找出他們的關係。

### 連結兩種描述方法

「任意」選擇一個路徑：

$$x_{path} = x_{path}(t)$$
$$y_{path} = y_{path}(t)$$
$$z_{path} = z_{path}(t)$$

所以

$$\vec{V{}}_{path} = \frac {dx_{path}}{dt}\hat{i{}} + \frac {dy_{path}}{dt}\hat{j{}} + \frac {dz_{path}}{dt}\hat{k{}}$$

把上面的東西，帶進一開始的 $dB_{con}$ 當中：

$$dB_{con} = d(B_{con}(x, y, z, t)) = \frac {\partial B}{\partial x}dx + \frac {\partial B}{\partial y}dy + \frac {\partial B}{\partial z}dz + \frac {\partial B}{\partial t}dt \\[1cm]=
\frac {\partial B}{\partial x}\frac {dx_{path}}{dt}dt + \frac {\partial B}{\partial y}\frac {dy_{path}}{dt} + \frac {\partial B}{\partial z}\frac {dz_{path}}{dt} + \frac {\partial B}{\partial t}dt\\[1cm]$$

也就是

$$
\frac {dB_{con}}{dt} = \frac {\partial B_{con}}{\partial t} + (\vec{V{}}_{path}\cdot \nabla)B_{con}$$

對於任意路徑，上面的表述是對的。特別地，如果這條路徑 「故意選粒子移動的路徑」，那麼：

$$\frac {dB_{part}}{dt} = \frac {dB_{part}}{dt} \bigg{|}_{part. path} = \frac {DB_{con}}{Dt}\\[1cm]
= \frac {\partial B_{con}}{\partial t} + (\vec{V{}}_{path}\cdot \nabla)B_{con}
$$

這樣就把「粒子」的觀點跟「連續體」的觀點連結再一起了。接下來再思考一件事：連續體假設的概念是「物質填充滿空間」，所以：

$$\vec{V{}}_{con} = \vec{V{}}_{part}$$

因此就可以進一步寫成：

<br>

$$\frac {dB_{con}}{dt} = \frac {dB_{part}}{dt} \bigg{|}_{part. path} = \frac {DB_{con}}{Dt}$$

<br>

上述這個式子當中，每一項都有自己的意義：

1. 整個$\frac {DB_{con}}{Dt}$叫做「物質微分」

2. $\frac {\partial B_{con}}{\partial t}$：叫做 local derivative。如果黏在流體上的某個部份(所以對你來說$\vec{V{}}_{con} = 0$)，你所在的地方，性質的變化。

3. $(\vec{V{}}_{path}\cdot \nabla)B_{con}$ : 叫做 convective derivative，就是空間位置不同帶來的變化。

為了方便，後面$\vec{V{}}_{con}$的下標都省略。

## 不同物理量的微分

因為前面提到「$B$ 是任意物理量」，這個概念其實就是：

$$把 \frac {DB}{Dt} = \frac {\partial}{\partial t} +(\vec{v{}}\cdot \nabla)當成算符$$

然後作用在不同的物理量上，就可以得到相應物理量的微分。比如說

1. density : $B = \rho$
$$\frac {D\rho}{Dt} = \frac {DB}{Dt} = \frac {\partial\rho}{\partial t} +(\vec{V{}}\cdot \nabla)\rho$$
2. velocity : $B = V$
$$\frac {D\rho}{Dt} = \frac {DB}{Dt} = \frac {\partial\ \vec{V{}}}{\partial t} +(\vec{V{}}\cdot \nabla)V$$

來++複習大一向量微積分++舉隨便一個例子。假設有一個流場長這樣：

$$\vec{v{}} = (0.5+0.8x, 1.5-0.8y)$$

++假定流體處在 steady state++，請找出他的：

1. 停滯點(stagnation point)，也就是速度等於0的地方
2. 沿著$x(t) = 0.1t, y(t) = 0$這條曲線的$\frac {d\vec{v{}}}{dt}$
3. 加速度場

首先看第一個，這個單純是令

$$\vec{v{}} = (0.5+0.8x, 1.5-0.8y) = 0$$

就解出來了。

接下來把這東西帶進流場：

$$\vec{v{}} = (0.5+0.08t, 1.5)$$

所以對他微分，再帶進就可以得到 $\frac {dv}{dt} = 0.08\hat{i}$

最後算加速度，就是帶進

$$\frac {DB}{Dt} = \frac {\partial\ \vec{V{}}}{\partial t} +(\vec{V{}}\cdot \nabla)V = (\vec{V{}}\cdot \nabla)V$$

把上面這東西展開，所以就得到：

$$(u\frac {\partial}{\partial x} + v\frac {\partial}{\partial y})(u\hat{i{}} + v\hat{j{}}) \\ =
(u\frac {\partial u}{\partial x} + 0 ) \hat{i{}} + (0 + u\frac {\partial v}{\partial x})\hat{j{}}\\[0.8cm]=
(0.5+ 0.8x)0.8\hat{i{}} + (1.5-0.8y)(-0.8)\hat{j{}}\\[0.8cm]=
(0.4 + 0.64x)\hat{i{}} + (-1.2 + 0.64y)\hat{j{}}
$$

## 2.2 Path, Streakline & Streamline

1. Pathline(徑線)：
> The actual path traveled by an individual fluid particle over some time period.
代表流體「未來」的狀態。

2. Streakline(煙線)：
> The locus of fluid particle that have passed sequentially through a prescribed point in the flow.
代表流體「過去」的狀態。


3. Stream(流線)：
> A curve that is everywhere tangent to the instantaneous local velocity vector.
代表流體「現在」的狀態。

其實就是

$$\vec{v{}} \ / / \ (dx,dy,dz)$$

可以用PIV儀器看。

雖然3個理論上是不一樣的曲線，但是

> If the flow is ++steady++, then path line, streak line, streamlines concede.

穩態的時候 3 條線會重合。下禮拜會舉出更多例子。

>> 為了連貫性，把下個禮拜上課講解的題目放到這裡來。

### 例題

給定一個卡式座標下的速度場：

$$\vec{v{}} = x(1 + 2t)\hat{i{}} + y\hat{j{}}$$

請找它 t = 0 時過 (1, 1) streamline, pathline, streakline

### Streamline

$$解\vec{V{}} = (u, v, w)\ / /\ (dx, dy,dz)$$

也就是：

$$\frac {dx}{x(1 + 2t)} = \frac {dy}{y}$$
左右同時積分，得到：
$$x = C_{1}\cdot y^{1 + 2t}$$

把邊界位條件與初始條件帶進去解 $C_{1}$ ：

$$1 = C_{1} \cdot 1 \Rightarrow C_{1} = 1$$

所以流線就是：

$$x = y$$

### Pathline
解
$$\vec{v{}} = (\dot{x}, \dot{y}, \dot{z})$$

在這個例子中，就是：

$$(\dot{x}, \dot{y}) = (x(1 + 2t)\ , y)$$

所以就變成解兩個微分方程：

$$\begin{cases}
\dot{x} - x(1 + 2t) = 0& \\
\dot{y} - y = 0 &
\end{cases}$$

也就是：

$$\begin{cases}
x = C_{1}e^{t + t^2} & \\
y = C_{2}e^{t} & \\
\end{cases}$$

t = 0 的時候過 (1, 1)，所以：

$$(C_{1}, C_{2}) = (1, 1)$$

因此 pathline 就是：

$$=e^{t + t^2}\ \hat{i{}} + e^{t}\ \hat{j{}}$$

>> 可以發現 pathline 就是在算運動軌跡，算出來之後，隨便帶入一個時間，就可以預測出粒子的位置了。也就是「粒子將來的運動，通通都可以由 pathline 掌握」。所以才說 pathline 是粒子「未來」的狀態。

### Streakline
找「之前所有通過(1, 1)的粒子，現在在哪裡」

1. 因為要找「過去」通過的粒子「現在」在哪裡，所以要找到所有「過去」通過 (1, 1) 之粒子的 pathline
2. 找到之後，每條都帶入「現在」的時間，看每一條粒子「現在走到 pathline 的哪裡」
3. 把這些點連接起來，就可以找到 streakline

首先算出粒子的 pathline。不過這個上面已經算過了，就是：

$$\begin{cases}
x = C_{1}e^{t + t^2} & \\
y = C_{2}e^{t} & \\
\end{cases}$$

假定某粒子在「時間為 $\tau$ 時通過 (1, 1)」，根據這個條件，可以解出相應的 pathline ：
$$\begin{cases}
1 = C_{1}e^{\tau + \tau^2} \Rightarrow C_{1} = e^{-\tau - \tau^2}& \\
1 = C_{2}e^{\tau} \Rightarrow C_{2} = e^{-\tau}& \\
\end{cases}$$

所以，在 $\tau$ 時刻通過 (1, 1) 的粒子之 pathline 有以下形式：

$$\begin{cases}
x = e^{t + t^2 - (\tau + \tau^2)} & \\
y = e^{t - \tau} & \\
\end{cases}$$

所以這些通過 (1, 1) 的粒子，在 t = 0 的時候，她們所在的位置是：

$$\begin{cases}
x = e^{\tau + \tau^2} & \\
y = e^{\tau} & \\
\end{cases}$$

這就是 streakline 的參數化形式了。如果想要更近一步把它寫成卡式座標系下的形式的話：

$$y = e^{\tau} \Rightarrow \tau = ln(y)$$

所以：
$$x = y^{1 + ln(y)}$$

這就是 streakline 的形式了。

>> 因為計算 streakline 牽涉到所有過看通過這個點的粒子，所以才說 streakline 代表粒子「過去」的狀態。
# 作業～～

HW1
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4-17

Duw : 3/10, Fri (下禮拜五)

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