# [流力] 流體力學 Week 8 - Momentum Equation

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# 3.4 Newton's 2nd Law and the Momentum Equation

## 概覽

這裡要做的事情跟在「質量守恆」的地方是一樣的。我們會：
1. 先看一眼 RTT 的樣子。
2. 導出牛頓第二定律在流體的微分形式。
3. 最候把微形式積分回去，說明這跟 RTT 等價。

假設你有一坨流體，如果你算出了這坨流體的「動量時變率」 $\frac {d\vec{P{}}}{dt}$，牛頓就會跟你說

$$\frac {d\vec
{P{}}}{dt} = \sum \vec{F_{net}}$$

不過因為現在是流體力學，所以算總動量就要用積分。因此上面講的東西在流體力學的版本就是：

$$\frac {d}{dt}\int \rho \vec{v{}}dV = \sum \vec{F_{net}}$$

然後我們就會用類似的步驟去討論動量守恆這件事。

## 動量方程式：RTT

就是左邊直接用 RTT 寫開：

$$\frac {d}{d t}\int_{CV} (\rho \vec{v{}})dV + \oint_{A}\rho\vec{v{}}(\vec{v{}}-\vec{V{}}_{CS})\cdot d\vec{A{}} = \sum\vec{F{}}_{net}$$

實際上算題目用 RTT 就 87% 夠。不過為了一些很重要的理由，所以這裡要推個微分形式：

## 動量方程式：微分形式

回到剛剛那條：

$$\frac {d}{dt}\int \rho \vec{v{}}dV = \sum \vec{F_{net}}$$

這裡先講結論：這條式子最後會變成這樣：

$$
\int \frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}}) + \nabla(\rho \vec{v{}}\vec{v{}})dV =
\int \rho \vec{g{}} + \nabla \sigma dV
$$

(最後再手癢用 Localization Theorem 。)

左手邊很顯然是用了 Leibniz's Rule + 散度定律, 只是後面那個 $\rho \vec{v{}} \vec{v{}}$ 不知道是什麼; 右手邊的 $\rho \vec{g{}}$ 顯然就是 body force, 而另外一個 $\nabla \sigma$ 呢？看起來就是 surface force 了。

我們先從++右手邊++開始化簡。

### 右手邊：外力們

右手邊的力，又可以分成 body Force 跟 Surface Force ：

$$\sum \vec{F_{net}} = \vec{F_{body}} + \vec{F_{surface}}$$

1. Body Force : 把作用在每個體積元素的力加起來：

$$\int\rho \vec{g{}}dV$$

這其實很單純，就是 $dm \vec{g{}} = (\rho dV\ )\vec{g{}}$ 做積分

2. Surface Force : 因為有 3 個面的方向，每一個面又有三個分量，所以要用 $3 \times 3$ 個元素來表示，就是用「張量」：
$$\oint_{A} \sigma \vec{dA}$$

其中 $\sigma$ 是長得像下面的張量：

$$\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \\
\end{bmatrix}
$$

所以給定一個面積向量:

$$
d\vec{A_{}} =
\begin{bmatrix}
dA_{x}\\dA_{y}\\dA_{z}
\end{bmatrix}
$$

之後，就可以用：

$$
d\vec{F_{surface}} = \sigma \vec{dA{}} =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dA_{x}\\dA_{y}\\dA_{z}
\end{bmatrix}
$$

然後就會跑出一個向量，那個就是作用在微小表面的力。把他對表面積分起來，就會得到作用在這坨流體上的所有表面力。

不過，上面這個東西是表面積分。我們想要把它換成體積分，所以就用散度定律：

$$\oint_{A} \sigma \vec{dA} = \int (\nabla \sigma) dV$$

其中：
$$\nabla\sigma =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial }{\partial x}\sigma_{xx} + \frac{\partial }{\partial y}\sigma_{xy} + \frac{\partial }{\partial z}\sigma_{xz} \\
\frac{\partial }{\partial x}\sigma_{yx} + \frac{\partial }{\partial y}\sigma_{yy} + \frac{\partial }{\partial z}\sigma_{yz} \\
\frac{\partial }{\partial x}\sigma_{zx} + \frac{\partial }{\partial y}\sigma_{zy} + \frac{\partial }{\partial z}\sigma_{zz} \\
\end{bmatrix}
$$

這個理由是因為每個方向的面都有一個 x 分項的應力，把他們沿那個方向前後變化的差值算出來再加起來，就會得到上面那個東西。

記憶的方法是「對後面的 index 偏微」。

因此，受力的總和就是：

$$\sum \vec{F_{net}} = \vec{F_{body}} + \vec{F_{surface}} = \int (\rho \vec{g{}} + \nabla \sigma) dV$$

### 左手邊

左手邊可以用 Leibniz's Rule 換掉
$$\frac {d}{dt}\int (\rho \vec{v{}})dV = \int \frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}})dV + \oint_{A}(\rho\vec{v{}})(\vec{v{}}\cdot\vec{dA})$$

注意我們現在是圈起來「一坨」流體，所以是用 Control Mass 的觀點在看這坨東西（課本是叫 system，老師上課的符號是 $V_{x}$）。

然後注意右邊那個面積分裡面的東西：

$$(\rho\vec{v{}})(\vec{v{}}\cdot\vec{dA})$$

我們要對他動一點手腳。首先把他暴力寫出它應該要是什麼樣子：

$$
(\rho \vec{v{}})(\vec{v{}} \cdot \vec{dA})=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\rho u \\ \rho v \\ \rho w
\end{bmatrix}
}_{\rho \vec{v{}}}
\underbrace {
\bigg{(}
\begin{bmatrix}
u & v & w
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dA_{x} \\ dA_{y} \\ dA_{z}
\end{bmatrix}
\bigg{)}
}_{\vec{v{}} \cdot \vec{dA}}
$$

然後我們把括號擺成另一個樣子：

$$
(\rho \vec{v{}})(\vec{v{}} \cdot \vec{dA})=
\bigg{(}
\begin{bmatrix}
\rho u \\ \rho v \\ \rho w
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u & v & w
\end{bmatrix}
\bigg{)}
\begin{bmatrix}
dA_{x} \\ dA_{y} \\ dA_{z}
\end{bmatrix}
$$

接著乘開括號裡面的東西，得到：

$$
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\rho uu & \rho uv & \rho uw \\
\rho vu & \rho vv & \rho vw \\
\rho wu & \rho wv & \rho ww
\end{bmatrix}
}_{然後就發現這可以看成一個張量\\叫他 \rho \vec{v{}}\vec{v{}}}
\begin{bmatrix}
dA_{x} \\ dA_{y} \\ dA_{z}
\end{bmatrix}
$$

所以原式就變成了：

$$\oint_{A}(\rho \vec{v{}})\cdot (\vec{v{}}\cdot \vec{dA}) = \oint_{A}(\rho \vec{v{}}\vec{v{}})\vec{dA}$$

這樣一來，就可以順理成章的用「張量的散度定律」把他變成體積分了：

$$\oint_{A}(\rho \vec{v{}}\vec{v{}})\vec{dA} = \int\nabla(\rho \vec{v{}}\vec{v{}})dV$$

所以本來是這樣東西

$$\frac {d}{dt}\int \rho \vec{v{}}dV$$

就變成了：

$$\int \frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}}) + \nabla(\rho \vec{v{}}\vec{v{}})dV$$

### 動量方程式：微分形式

所以總和以上，本來長這樣的東西：

$$\frac {d}{dt}\int \rho \vec{v{}}dV = \sum \vec{F_{net}}$$

實際上就變成了：

$$
\int \frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}}) + \nabla(\rho \vec{v{}}\vec{v{}})dV =
\int \rho \vec{g{}} + \nabla \sigma dV
$$

然後就會手癢把它寫在一起嘛：

$$
\int (\frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}}) + \nabla(\rho \vec{v{}}\vec{v{}}) - \rho \vec{g{}} - \nabla \sigma) dV=
0$$

然後根據 Localization Theorem 可以得到：

$$\frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}}) + \nabla(\rho \vec{v{}}\vec{v{}}) - \rho \vec{g{}} - \nabla \sigma = 0$$

移回去就得到：

$$\frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}}) + \nabla(\rho \vec{v{}}\vec{v{}}) = \rho \vec{g{}} + \nabla \sigma$$

這個是微分形式，或是說 Euler Discription 的 Momentum Equation 了。

可以注意的是，這個再差一點點就可以導出 Navier Stokes Equation

### 驗證與 RTT 的一致性

就是把上面那坨東西對「Control Volume」積回去，然後就會發現他們一樣：

$$\int_{CV}\frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}}) + \nabla(\rho \vec{v{}}\vec{v{}}) = \int_{CV}\rho \vec{g{}} + \nabla \sigma$$

其中：

$$\int_{CV}\frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{v{}}) = \int_{CV}\frac {d}{dt}\rho \vec{v{}}dV - \oint_{CS}\rho \vec{v{}}(\vec{V_{CS}}\cdot \vec{dA})$$

所以原式就變成：

$$
\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho \vec{v{}}dV - \oint_{CS}\rho \vec{v{}}(\vec{V_{CS}}\cdot \vec{dA})+\oint_{CS}\rho \vec{v{}}(\vec{v{}}\cdot \vec{dA})=\int_{CV}\rho \vec{g{}}dV + \oint_{CS}\sigma\vec{dA}
$$

所以就得到：

$$
\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho \vec{v{}}dV +\oint_{CS}\rho (\vec{v{}}-\vec{V_{CS}})(\vec{v{}}\cdot \vec{dA})=\int_{CV}\rho \vec{g{}}dV + \oint_{CS}\sigma\vec{dA}
$$

上面這個結論跟 RTT 有 87% 像。事實上就是 RTT 。

角動量也可以寫出類似的關係，不過沒有特別的名字。

## Control Volume 的策略

選擇 Control Volume :通常會
1. 盡量貼齊流體表面。
2. 如果有進出流量，盡量取表面與流出方向垂直。

如果這樣的話，Momentum Equation 可以進一步簡化為：

$$\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho\vec{v{}}dV + \sum_{out}\rho\vec{v{}}|\vec{v_{n}}|dA-\sum_{in}\rho\vec{v{}}|\vec{v_{n}}|dA = \sum \vec{F_{}}$$

## 動量方程式：特例

現在我們得到的東西長這樣：

$$\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho\vec{v{}}dV + \sum_{out}\rho\vec{v{}}|\vec{v_{n}}|dA-\sum_{in}\rho\vec{v{}}|\vec{v_{n}}|dA = \sum \vec{F_{}}$$

這個結論在某些狀況下可以進一步簡化。有一些狀況可以化簡左手邊的項，有一些狀況是簡化右手邊，以下就分這兩類討論。

### 特例：左手邊

跟連續方程式那裡有點像，不過這裡還多了幾種：

#### 1. Steady State

所有對時微分的項通通變成 0：

$$\frac {d}{dt}\int_{CV}\rho\vec{v{}}dV = 0$$

#### 2. Constant Density 不可壓縮流「體」

$$\rho = const.$$

所以：

$$\int \rho \vec{v{}}|\vec{v{}}_{n, rel}|dA = \rho \int \vec{v{}}|\vec{v{}}_{n, rel}|dA$$

#### 3. Fixed Control Volume

$$\vec{V_{CS}} = 0$$

其實也就是 $\vec{v{}}_{rel} = \vec{v{}}$ 的意思，因此$\vec{v{}}_{rel, n} = \vec{v{}}_{n}$。所以：

$$\int \rho \vec{v{}}|\vec{v{}}_{n, rel}|dA = \int \rho \vec{v{}}|\vec{v{}}_{n}|dA = \int \rho |\vec{v{}}_{n}|^2\hat{n{}}dA$$

#### 4. Uniform Flow

$$|\vec{v{}}_{n}| = const = v_{avg}$$

$$\int \rho \vec{v{}}|\vec{v{}}_{n,rel}|dA = v_{avg}\int \rho |\vec{v{}}_{n, rel}|dA$$

#### 5. 上面通通一起來

$$\int \rho \vec{v{}}|\vec{v{}}_{n, rel}|dA = (\rho v_{avg}^2 A) \hat{n{}}$$

如果把上面那個用質量流率代掉：

$$\dot{m} = \rho v_{avg} A$$

就會變成：

$$\int \rho \vec{v{}}|\vec{v{}}_{n,rel}|dA = \dot{m}v_{avg}^2\hat{n{}}$$

這樣就更有動量的樣子了～～

不過在實務上，通常狀況都是「只測得到的是平均流，但是流場不是平均分佈」。那要怎麼轉換這個兩個流呢？這時候就要定義一個常數 $\beta$

$$\beta = \frac {\int\rho|v_{n}|^2dA}{\rho v_{avg}^2A}$$

如果密度是常數的話，可以更進一步把密度消掉：

$$\beta = \frac {\int|v_{n}|^2dA}{ v_{avg}^2 A} = \frac {1}{A}\int(\frac {|v_{n}|}{v_{avg}})^2dA$$

通常 $\beta > 1$ ，因為負的地方平方後變正的，然後就會讓加總的值變比較大。

這樣的話，只要找到平均速度，也查到某個速度分佈的 $\beta$ 值之後，就可以立刻用下面的方法找到實際上的動量流率：

$$\frac {\int|v_{n}|^2dA}{ v_{avg}^2 A} = \beta \rho v_{avg}^2A$$

這裡舉一個例子，比如說 Couette 的 $\beta$ 值：


因為是線性的，所以很顯然 $v_{avg} = \frac {U}{2}$。因此做上面的積分：

$$\beta = \frac {1}{h}\int (\frac {U\frac {y}{h}}{\frac {U}{2}})^2 dy = \frac {4}{h^3}\int_{0}^h y^2 dy = \frac {4}{3}$$

可以發現比 1 大。

### 特例：右手邊

#### 1. 邊界有固體

$$\vec{F{}}_{作用在流體上} = -\vec{F{}}_{作用在邊界上}$$

#### 2. Streams

邊界通常會考慮邊界受力，而受力又可以分成壓力與剪應力（重力也可以考慮，不過這裡暫時不考慮）。但是因為剪應力要考慮流場的分佈等因素很複雜，所以這裡就只考慮壓力。

1. 暴露在空氣中：$$P = P_{atm}$$
2. 在管子中：伯努利方程式

## 所以我說那個 F = ma 呢？

這時候突然想到了一件事：以前在學牛二的時候我們明明還有學一個東西叫做：

$$\vec{F{}} = m \vec{a{}} = m \frac {d \vec{v{}}}{dt}$$

這時候就會手癢想要猜：

$$\rho \vec{g{}} + \nabla \sigma = \rho \frac {D\vec{v{}}}{Dt}$$

這個有沒對？答案是肯定的。

### 證明

剛剛導出來的東西長這樣：

$$\frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{\ v}) + \nabla(\rho \vec{\ v}\vec{\ v}) = \rho \vec{\ g} + \nabla \sigma$$

這裡對他做一點改寫。首先把所有的微分都給他展開：

$$\frac {\partial}{\partial t}(\rho \vec{\ v}) + \nabla(\rho \vec{\ v}\vec{\ v}) = (\frac {\partial \rho}{\partial t}\vec{v{}} + \rho \frac {\partial \vec{v{}}}{\partial t}) + (\nabla\cdot(\rho \vec{v{}})) + (\rho \vec{v{}}\cdot \nabla)\vec{v{}}$$

這裡偷偷用到了一個之前沒看過的 Chain Rule：

$$\nabla(\rho \vec{\ v}\vec{\ v}) = (\nabla\cdot(\rho \vec{v{}}))\vec{v{}} + (\rho \vec{v{}}\cdot \nabla)\vec{v{}}$$

這個為什麼成立的理由其實也很單純，就是把它爆開看看長怎樣：

$$\rho \vec{v{}}\vec{v{}}=
\begin{bmatrix}
\rho uu & \rho uv & \rho uw \\
\rho vu & \rho vv & \rho vw \\
\rho wu & \rho wv & \rho ww
\end{bmatrix} \\ \Rightarrow
\nabla{\rho \vec{v{}}\vec{v{}}} = \begin{bmatrix}
\frac {\partial }{\partial x}(\rho u) u + \frac {\partial }{\partial y}(\rho v) u + \frac {\partial }{\partial z}(\rho w) u \\
\frac {\partial }{\partial x}(\rho u) v + \frac {\partial }{\partial y}(\rho v) v + \frac {\partial }{\partial z}(\rho w) v\\
\frac {\partial }{\partial x}(\rho u) w + \frac {\partial }{\partial y}(\rho v) w + \frac {\partial }{\partial z}(\rho w) w
\end{bmatrix}\\ =
\underbrace{
\begin{bmatrix}
u\frac {\partial (\rho u)}{\partial x }+
u\frac {\partial (\rho v)}{\partial y }+
u\frac {\partial (\rho w)}{\partial x } +
(\rho u) \frac {\partial u}{\partial x} +
(\rho v) \frac {\partial u}{\partial x} +
(\rho w) \frac {\partial u}{\partial x}\\
...
\\
...
\end{bmatrix} }_{每個偏微分都用 Chain Rule 寫開}\\ =
\begin{bmatrix}
u \nabla \cdot {(\rho \vec{v{}})} + (\rho\vec{v{}})\nabla u\\
v \nabla \cdot {(\rho \vec{v{}})} + (\rho\vec{v{}})\nabla v\\
w \nabla \cdot {(\rho \vec{v{}})} + (\rho\vec{v{}})\nabla w
\end{bmatrix} = (\nabla\cdot(\rho \vec{v{}}))\vec{v{}} + (\rho \vec{v{}}\cdot \nabla)\vec{v{}}
$$

然後有密度的跟有密度的合併，有速度的跟有速度的合併：

$$\vec{v{}}\underbrace{(\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla(\rho \vec{v{}}))}_{0,\ 因為連續方程式} + \rho\underbrace{(\frac {\partial \vec{v{}}}{\partial t} + (\vec{v{}}\cdot \nabla)\vec{v{}})}_{根本就 total\ derivative 的長相} = \rho \frac {D\vec{u{}}}{Dt}$$

所以，原式就變成了：

$$\rho \frac {D\vec{u{}}}{Dt} = \rho \vec{\ g} + \nabla \sigma$$

這裡的意思大概就是說：除了 $F = \frac {dP}{dt}$ 有流體的版本之外，$F = ma$ 也有流體的版本。