# 代數導論二 Week 9 (Part 2) - Composite of Field

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## 定義：Composite of Field

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假定 $K$ 是一個 *field*， $K_1, K_2$ 是兩個 $K$ 的 *subfield*。則 $K$ 中同時包含 $K_1, K_2$ 的最小 *subfield* 稱為 $K_1, K_2$ 的 *composite field*，並且用 $K_1K_2$ 表示。

:::

### 引理：拿別人的基底做 Extension = 拿別人在自己上面 Span

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假定 $K$ 是一個 *field*，且 $K_1, K_2$ 是兩個 $K$ 的 *subfield*，且 $K_1$、$K_2$ 又都是兩個 $F$ 上的 *finite extension*。若 $K_2/F$ 的基底為 $\beta$：

$$
\beta = \langle \beta_1 \dots \beta_m \rangle
$$

則：

$$
K_1(\beta) = \text{span}_{K_1}(\beta)
$$

:::

> 這個定理的敘述對 $K_1, K_2$ 來說是對稱的，所以把 $K_1, K_2$ 在敘述中的角色對調，就有另外一邊。

$\beta_1 \dots \beta_m$ 是 $F(\beta_1 \dots \beta_m) = \text{span}_{F}(\beta)$ 中的元素，而他是一個 *field*。所以 $\beta_1 \dots \beta_m$ 任意次方與乘積，都會掉在 $\text{span}_{F}(\beta)$ 中：

$$
\begin{align}
&\beta_i, \beta_j \in \underbrace{\text{span}_{F}(\beta)}_{=F(\beta_1 \dots \beta_m)}
\newline
&\Rightarrow \beta_i\beta_j \in \text{span}_{F}(\beta)
\end{align}
$$

但既然 $F \subseteq K_1$，所以任何 $\beta$ 在 $F$ 上的線性組合，都是一個 $\beta$ 在 $K$ 上的線性組合。因此，所有 $\beta$ 中元素任意乘積與次方，既然都在 $\text{span}_{F}(\beta)$ 中了，所以也會在 $\text{span}_{K_1}(\beta)$ 中：

$$
\begin{align}
\beta_i \beta_j &\in \text{span}_{F}(\beta)
\newline
& \subseteq \text{span}_{K_1}(\beta)
\end{align}
$$

換句話說，對於任意非負整數 $e_1 \dots e^{m}$，都有：

$$
\boxed{\prod_{i = 1}^{m}(\beta_i)^{e_i} \in \text{span}_{F}(\beta) \subseteq \text{span}_{K_1}(\beta)}
$$

有了這個，就可以推得 $\text{span}_{K_1}(\beta)$ 具有乘法封閉性。即：

$$
\boxed{\begin{align}
&x, y \in \text{span}_{K_1}(\beta)
\newline
& \Rightarrow xy \in \text{span}_{K_1}(\beta)
\end{align}}
$$

> 這是因為 $\sum a_i \beta_i$ 跟 $\sum{b_j\beta_j}$，其中 $a_i, b_j \in K_1$，相乘的結果會是 $\sum a_ib_j \beta_i\beta_j$。但是 $a_ib_j \in K_1$，$\beta_i\beta_j$ 又在 $\text{span}_{K_1}(\beta)$ 中。所以 $\sum a_i b_j \beta_i \beta_j$ 也會在 $\text{span}_{F}(\beta)$ 中。

接下來就可以一層一層把 $K_1(\beta_1 \dots \beta_m)$ 用 *simple extension* 的拆掉。為了方便，令：

$$
E_i = \begin{cases}
K_1 & \text{if }i = 0
\newline
K_1(\beta_1 \dots \beta_i) &\text{otherwise}
\end{cases}
$$

可以觀察：

$$
E_k = E_{k-1}(\beta_k)
$$

這邊注意：因為 $K_2$ 是 $F$ 的 *finite extension*，所以一定也是 *algebraic extension*。因此所有 $\beta$ 中的元素一定 *algebraic over* $F$。又因為對於任意 $k$，都有 $F \subseteq E_k$，所以這所有的 $\beta$ 中的元素也都 *algebraic over* 任意的 $E_k$。

接下來就是歸納法：

1. 假定 $E_{k - 1} \subseteq \text{span}_{K_1}(\beta)$，則因為 $E_k = E_{k-1}(\beta_k)$ ，所以任意 $x \in E_k$ 的元素，都有：

$$
x = \sum_i e_i (\beta_k)^i
$$

其中：

$$
e_i \in E_{k-1}
$$

2. 但因為 $E_{k-1} \subseteq \text{span}_{K_1}(\beta)$，所以 $e_i$ 其實也在 $\text{span}_{K_1}(\beta)$ 中：

$$
e_i \in \text{span}_{K_1}(\beta)
$$

3. 這時，由前面的推論，可知 $(\beta_k)^i$ 也會在 $\text{span}_{K_1}(\beta)$ 中：

$$
(\beta_k)^i \in \text{span}_{K_1}(\beta)
$$

5. 綜合上述兩點，有：

$$
e_i(\beta_k)^i \in \text{span}_{K_1}(\beta)
$$

4. 既然每一個 $e_i(\beta_k)^i \in \text{span}_{K_1}(\beta)$，所以由 $\text{span}_{K_1}(\beta)$ 是個向量空間，把他們通通加起來，還是會在 $\text{span}_{K_1}(\beta)$ 中。所以就發現 $x$ 在裡面：

$$
x = \sum_i e_i (\beta_k)^i \in \text{span}_{K_1}(\beta)
$$

因為對於每一個 $x \in E_k$ 都對，所以就證明完了。

## 觀察：Composite Field 的構造

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，$K_1/F$、$K_2/F$ 是兩個 *extension*。若令 $K_1/F$ 的基底 $\alpha$ 與 $K_2/F$ 的基底 $\beta$ 分別為：

$$
\alpha = \langle \alpha_1 \dots \alpha_n\rangle
$$

$$
\beta = \langle \beta_1 \dots \beta_m \rangle
$$

則下列三個集合是相同的：

1. $K_1$ 與 $K_2$ 的 *composite field*

$$
K_1K_2
$$

2. 由 $F$ 和 $\alpha, \beta$ 所生成的 *field extension*

$$
F(\alpha_1 \dots \alpha_n, \beta_1 \dots \beta_m)
$$

3. 由以下集合在 $F$ 上 *span* 出來的集合：

$$
\text{span}_F\{\alpha_i\beta_i \mid \alpha_i \in \alpha, \beta_j \in \beta\}
$$

:::

==(2 包含 1)==：若令：

$$
K = F(\alpha_1 \dots \alpha_n, \beta_1 \dots \beta_m)
$$

因為 $F, \alpha, \beta$ 都在 $K$ 當中。所以 $K$ 自然是一個包含 $K_1$ 與 $K_2$ 的 *field*。因為：

$$
K_1 = \text{span}_F(\alpha) \subseteq K
$$

$$
K_2 = \text{span}_F(\beta) \subseteq K
$$

所以由 $K_1K_2$ 的「最小」，他就包在 $K$ 當中：

$$
K_1, K_2 \subseteq K \Rightarrow K_1K_2 \subseteq K
$$

==(3 包含 2)==：這是因為 $\beta_1 \dots \beta_m$ 是 $K_2/F$ 的基底。所以用剛剛的引理：

$$
\underbrace{F(\alpha_1 \dots \alpha_n)}_{K_1}(\beta_1 \dots \beta_m) = \text{span}_{K_1}(\beta)
$$

也就是對於任意 $x \in K$，有：

$$
x = \sum_i b_i\beta_i
$$

其中，$b_i \in \text{span}_F(\alpha)$，所以又可以寫成 $\alpha$ 在 $F$ 上的 *span*。

$$
x = \sum_i\underbrace{\left(\sum_j a_j \alpha_j\right)}_{b_i}\beta_i
$$

所以就證明了：

$$
x \in \text{span}_F(\{\alpha_i\beta_j\})
$$

==(1 包含 3)==：因為 $K_1, K_2$ 是 $F$ 的 *extension*，所以 $F \subseteq K_1K_2$; 而 $\alpha \subseteq K_1$ 且 $\beta \subseteq K_2$，所以 $\alpha, \beta$ 也都包含在 $K_1K_2$ 中。換句話說：

$$
F, \alpha, \beta \subseteq K_1K_2
$$

因為 $K_1K_2$ 是一個 *field*，所以所有 $F, \alpha, \beta$ 中的元素任意相加相乘也都會在 $K_1K_2$ 中。所以任意以下形式的元素都會在 $K_1K_2$ 中：

$$
\sum_{i, j} a_{ij} \alpha_i \beta_j
$$

其中，$a_{ij} \in F$，$\alpha_i \in \alpha$，$\beta_j \in \beta$。因此就證明了 $\text{span}_F\{\alpha_i\beta_i\}$ 在 $K_1K_2$ 中。

## 敘述：Composite Field 的度數 (P19)

:::danger

假定 $K$ 是一個 *field*，$K_1, K_2 \subseteq K$ 是兩個 $K$ 中的 *subfield*，且 $K_1/F, K_2/F$ 又各自是 $F$ 的 *field extension*。則：

1. *Compositite Field* 的度數不大於兩者相乘：

$$
[K_1K_2 : F] \leq [K_1:F][K_2:F]
$$

2. 等號成立的充分必要條件是：$K_1/F, K_2/F$ 其中一者的基底，在另外一者上線性獨立。

:::

只要證明：

$$
[K_1K_2:K_1] \leq [K_2:F]
$$

這樣的話就會有：

$$
[K_1K_2 : F] = \underbrace{[K_1K_2 : K_1]}_{\leq [K_2:F]}[K_1 : F]
$$

然後就證明完了。而會有這個的理由是剛剛的引理，有：

$$
K_1K_2 = F(\alpha_1 \dots \alpha_n, \beta_1 \dots \beta_m)
$$

因為 *extension* 的順序可以拆開，所以可以拆成：

$$
\begin{align}
K_1K_2 &= \underbrace{F(\alpha_1 \dots \alpha_n)}_{K_1}(\beta_1 \dots \beta_m)
\newline
&= K_1(\beta_1 \dots \beta_m)
\end{align}
$$

又因為第二個引理，就會發現：

$$
K_1K_2 = K_1(\beta) = \text{span}_{K_1}(\beta)
$$

換句話說，$\beta$ 可以在 $K_1$ 上 *span* 出 $K_1K_2$ 這個向量空間，也就是 $\beta$ 是一個 $K_1K_2$ 的 *spanning set*。因此他的數目不少於 $K_1K_2/K_1$ 這個向量空間的維度，也就是：

$$
\underbrace{\dim_{K_1} K_1K_2}_{[K_1K_2:K_1]} \leq \underbrace{|\beta|}_{[K_2:F]}
$$

而「等號成立」時，就是：

$$
\dim_{K_1}K_1K_2 = |\beta|
$$

因為前面證明過 $K_1K_2$ 就是 $\text{span}_{K_1}(\beta)$，所以等號成立的條件就可以改寫成：

$$
\dim_{K_1} (\underbrace{\text{span}_{K_1}(\beta)}_{K_1K_2}) = |\beta|
$$

換句話說，就是 $\beta$ 在 $K_1$ 上 *span* 出來的向量空間要跟 $\beta$ 中的元素數目一樣多。所以就是「$\beta$ 要在 $K_1$ 中線性獨立」。

### 推論：Extension 的度數互質，Composite 的度數相乘 (C19)

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假定 $K$ 是一個 *field*，$K_1, K_2 \subseteq K$ 是兩個 $K$ 中的 *subfield*，且 $K_1/F, K_2/F$ 又各自是 $F$ 的 *field extension*。若：

$$
\gcd([K_1:F], [K_2:F]) = 1
$$

則：

$$
[K_1K_2:F] = [K_1:F][K_2:F]
$$

:::

套用剛剛的敘述：

$$
[K_1K_2:F] = [K_1K_2:K_1][K_1 : F]
$$

$$
[K_1K_2:F] = [K_1K_2:K_2][K_2 : F]
$$

所以 $[K_1:F]$ 跟 $[K_2:F]$ 都是 $K_1K_2:F$ 的因數：

$$
[K_1:F] \mid [K_1K_2:F]
$$

$$
[K_2:F] \mid [K_1K_2:F]
$$

又因為這兩個人是 $[K_1K_2;F]$ 中互質的因數，所以相乘也是 $[K_1K_2:F]$ 的因數：

$$
[K_1:F][K_2:F] \mid [K_1K_2:F]
$$

這表示：

$$
[K_1K_2:F] \geq [K_1:F][K_2:F]
$$

但由剛剛證明的定理，有：

$$
[K_1K_2:F] \leq [K_1:F][K_2:F]
$$

所以就有：

$$
[K_1K_2:F] = [K_1:F][K_2:F]
$$