# 代數導論二 - Integral Domain, Division Ring, Field

[TOC]

## 定義：Integral Domain

:::warning
假定 $R$ 是一個 *ring*。若 $R$ 滿足：

++**1. 可交換**++

++**2. 加法單位元跟乘法單位元不同**++

$$
0 \neq 1
$$

++**3. 沒有 Zero Devisor**++

$$
\begin{cases}
a \neq 0\text{; and}
\newline
b \neq 0
\end{cases}\Rightarrow ab \neq 0
$$

則稱 $R$ 是一個 *integral domain*。

:::

這個 *integral domain* 就有算術中對於乘法消去律的那種直覺：對於任意 $a, b, c \in R$，有：

$$
ab = ac \Rightarrow a = 0 \text{ or }b = c
$$

這是對於「任意」 $a, b, c$ 都對。這是因為裡面沒有人是 *zer o divisor*，所以依照前面的敘述直接得到的。

## 定義：Division Ring (Skewed Field)

而如果 $0 \neq 1$，而且每一個元素都有乘法反元素，那就升級成了 *division ring*：

:::warning
**Def (Division Ring)**

假定 $R$ 是一個 *ring*，且

1. $R$ 的加法單位元 $0$ 與乘法單位元 $1$ 不相等，即：

$$
\boxed{1 \neq 0}
$$

2. $R$ 中的任意元素，都有乘法反元素，即：

$$
\boxed{\begin{align}
\forall a &\in R.\exists a' \in R.
\newline
&a \times a' = a'\times a = 1
\end{align}}
$$

則稱 $R$ 是一個 *division ring*，或是 *skewed field*。
:::

這其實也可以用高級一點的說法，比如說可以說「$F^{\times}$ 跟 $F \setminus \{0\}$ 一樣」，或說「每個非零元素都是 *unit*」等等。反正這邊定義的東西太多了。

最後最後，如果有一個 *ring* 包山包海，上面的性質都有滿足，那就會把它稱作一個 *field*：

## 定義：Field

:::warning
**Def (Field)**

若 $R$ 是個「可交換」的「*division ring*」，則稱 $R$ 是一個 *field*。

:::

有 *identity* 的而且所有元素都是 *unit* 的交換環。