# 代數導論 (1.2) - 群的例子

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除了一些顯而易見的 $\mathbb R$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$ 等數係之外，還有一些群的例子：

## 例子：矩陣

若令：

$$
GL(n, \mathbb Q) = \{A_{n \times n}:A_{ij} \in \mathbb Q \text{ and } \det(A) \neq 0\}
$$

則 $GL(n, \mathbb Q)$ 搭配上矩陣乘法「$\cdot$」也是一個群。又比如：

$$
GL(n, \mathbb Z) = \{B_{n\times B} : B_{ij} \in \mathbb Z \text { and } \det(B) = \pm 1\}
$$

也是一個群。

## 例子：集合上的雙射

:::warning
假定 $X$ 是一個集合。令：

$$
S_X = \{f \mid f : X \to X \text{ and } f \text{ is bijective}\}
$$

那麼 $S_X$ 與函數合成 $\circ$ 構成一個群。

:::

像這樣由「在集合 $X$ 上的所有雙射」所形成的群，稱作「對稱群」，通常會簡記成 $S_X$。

首先，函數合成已經有結合律，所以結合律已經有保證; 除此之外，雙射函數必定存在反函數，所以這也保證了。最後，單位元取：

$$
I: X \to X \text{ where } I(x) = x
$$

這個 $f$ 就是單位元。很明顯他是個雙射，而且自己就是自己的反元素。如果任何 $f \in I_x$ 跟他合成，則對於任意 $x \in X$，有：

$$
\begin{cases}
(f \circ I)(x) = f(I(x)) = f(x)
\newline
(I \circ f)(x) = I(f(x)) = f(x)
\end{cases}
$$

既然對於每一個 $x \in X$ 都對，因此：

$$
\begin{cases}
f \circ I = f
\newline
I \circ f = f
\end{cases}
$$

也就是說，他是個 $S_X$ 中的單位元。

## 例子：對稱群

當討論如：

$$
A = \{1, 2 \dots n\}
$$

這類由連續正整數所形成的集合上的雙射時，會特別用 $S_n$ 這個符號表示這個對稱群。即：

$$
S_n = \{f \mid f : A \to A \text{ and } f \text{ is bijective}\}
$$

比如說：$\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 這個集合上的所有雙射，用 $S_5$ 來表示。而這樣的集合上的雙射，其實就是把 $1 \dots n$ 這 $n$ 個數字進行重排 (*permutation*)。

### 性質：對稱群的循環表示

任何一個 $S_n$ 中的元素都可以用「循環」來表示。比如說考慮 $S_3$，令這三個元素為 $\{1, 2, 3\}$，並且假定：

$$
\begin{align}
f(1) &= 2
\newline
f(2) &= 3
\newline
f(3) &= 1
\end{align}
$$

為了方便，碰到需要像上面這種列舉 $f$ 的每一個值的狀況時，會把它簡記成像下面這樣：

$$
f = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3
\newline
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
$$

第一列是定義域中的每個元素，第二列則是值域。

接著，可以觀察到：$1$, $2$, $3$ 這三個元素，在 $f$ 的不斷作用下，結果會形成一個循環。$f(1)$ 會得到 $2$，而 $f(2)$ 會得到 $3$，最後 $f(3)$ 又會回到 $1$：

$$
1 \overset f \to 2 \overset f \to 3 \overset f \to 1 \dots
$$

既然是個循環，只要明確指出每個元素在這個循環中的出現順序，那就可以描述出這個映射。比如說，這邊循環的順序是 $1$, $2$, $3$, $1$, $2$, $3$ ... 因此，就把 $f$ 表示為「$1, 2, 3$ 的循環」，並且記為：

$$
f = (1, 2, 3)
$$

又比如假定 $g \in S_3$，且：

$$
g = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3
\newline
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
$$

這時，做出類似上述地觀察：

$$
\begin{cases}
1 \overset f \to 1 \dots
\newline
2 \overset f \to 3 \overset f \to 2 \dots
\end{cases}
$$

這時可能會想說用 $g = (1)(2, 3)$ 來表示。不過這邊的約定是：如果會把自己映射到自己，那麼就不要把它放到循環表示式中。所以他的循環表示法是：

$$
g = \require{cancel}\cancelto{}{(1)}(2, 3) = (2, 3)
$$

接下來看一個更複雜的例子：

$$
f = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10
\newline
9 & 3 & 2 & 1 & 7 & 4 & 8 & 6 & 10 & 5
\end{pmatrix}
$$

從 $1$ 出發，會到達 $9$; 而從 $9$ 出發，會到達 $10$; 從 $10$ 出發，到達 $5$ ... 如此一直重複下去，直到回到 $1$ 為止。可以找到以下的循環：

$$
1 \to 9 \to 10 \to 5 \to 7 \to 8 \to 6 \to 4 \to 1 \dots
$$

除此之外，會發現 $2$ 沒有在裡面。因此從 $2$ 出發，找另外一個循環。會找到：

$$
2 \to 3 \to 2 \dots
$$

因此，這個 $f$ 就由兩個循環組成：

$$
\begin{cases}
& 1 \to 9 \to 10 \to 5 \to 7 \to 8 \to 6 \to 4 \to 1 \dots
\newline
& 2 \to 3 \to 2 \dots
\end{cases}
$$

故 $f$ 的循環表示法就是：

$$
f = (1, 9, 10, 5, 7, 8, 6, 4)(2, 3)
$$

## 例子：Z/nZ

:::warning
**Def (Z/nZ)**：$\mathbb Z / n\mathbb Z$ 定義為下列蒐集：

$$
\mathbb Z / n\mathbb Z = \{\bar 0, \bar 1 \dots \overline{n-1}\}
$$

其中， $\bar r$ 定義為：

$$
\bar r = \{nk + r | k \in \mathbb Z\}
$$

並且定義 $\mathbb Z /n\mathbb Z$ 中的加法運算 $+$ 為：

$$
\bar a + \bar b = \overline{a + b}
$$

:::

雖然說 $\bar r$ 的定義看起來很像「所有除 $n$ 餘 $r$ 的整數形成的集合」，但這邊並沒有限定 $r$ 必須要滿足 $0 \leq r < n$，也就是說 $r$ 可以超過 $n$。之所以這樣定義是因為：如果限定 $0 \leq r < 1$，那麼當 $a + b$ 超過 $n - 1$ 時，加法就不 *well-defined*。但如果允許他超過 $n - 1$，由 $\bar r$ 的定義可以驗證：

$$
\overline {r} = \overline {n + r}
$$

除此之外，雖然這邊是寫加法的定義，但這邊的 $\bar 0 \dots \overline{n - 1}$ 都是一個集合。而目前似乎沒有說明為何在這樣的加法下，等號左右兩邊的集合會相等。因此，這邊就更進一步證明：左右兩個集合是相等的。也就是說：這樣定義的加法是 *well-defined* 的：

$$
\begin{align}
&a' \in \bar a \text{ and }b' \in \bar b
\newline
&\quad \Rightarrow a' + b' \in \overline{a + b}
\end{align}
$$

這個證明就是照定義爆開：

$$
\begin{align}
a' \in \bar a \Rightarrow a' = a + k_1 n
\newline
b' \in \bar b \Rightarrow b' = b + k_2 n
\end{align}
$$

故：

$$
a' + b' = (k_1 + k_2)n + (a' + b')
$$

這樣一來，加法就沒有問題了。確認加法 *well-defined* 之後，很容易就可以驗證這是個群。比如說，$\bar 0$ 是裡面的單位元，因為依照加法的定義：

$$
\begin{align}
\bar r + \bar 0 = \overline{r + 0} = \bar r
\newline
\bar 0 + \bar r = \overline{0 + r} = \bar r
\end{align}
$$

而結合律方面：

$$
\begin{align}
(\bar a + \bar b) + \bar c = \overline{a + b} + \bar c = \overline{a + b + c}
\newline
\bar a + (\bar b + \bar c) = \bar a + \overline{b + c} = \overline{a + b + c}
\end{align}
$$

由此得證。最後，可以觀察到： $\bar r$ 的反元素是 $\overline{n - r}$。因為暴力把他們用加法運算作用起來：

$$
\bar r + \overline{n - r} = \overline{n} = \overline{n + 0} = \bar 0
$$

由此得證。

## 例子：Dihedral Group

一個 *Dihedral Group* $D_{2n}$ 定義成：

$$
\begin{align}
D_{2n} = \{&\text{正 $n$ 邊形能進行的剛體移動中}，
\newline
&\text{做完能疊回去的那些}\}
\end{align}
$$

這樣聽起來有點怪，舉例子也許必較好理解。舉例來說，一個正八邊形的標誌，把它旋轉、鏡射之後還是可以疊回原來的正八邊形：


那麼，這些旋轉、鏡射的動作，都在 $D_{16}$ 中。

而之所以正 $n$ 邊形，下標卻是要用 $2n$，寫成 $D_{2n}$ 的理由是：對於這樣的正 $n$ 邊形，作用之後能疊回原來的樣子的操作不外乎下列操作的組合：

1. 轉動：正 $n$ 型可以轉動的方法，就是把 $V_1$ 轉到 $V_1 \dots V_{n}$，所以就有 $n$ 種方法。
2. 鏡射：正 $n$ 邊形有 $n$ 條對稱軸，所以就有 $n$ 種鏡射方法。

這樣加起來就有 $2n$ 種基本的方法。

這些運動更精確地說，假定 $X_n$ 是一個正 $n$ 邊形，並且假定：

$$
V = \{v_1 \dots v_n\}
$$

依序為這個正 $n$ 邊形的頂點，而所有的邊是：

$$
E = \{e_i : e_i = \overline{v_i v_{i + 1}}, 1 \leq i \leq n - 1\}\cup \overline{v_n v_1}
$$

那所有「旋轉」的運動，本質上就是：

$$
r = (v_1, v_2, \dots ,v_n)(e_1,\dots e_n)
$$

這個 *permutation* 的冪次：

$$
r^1, r^2 \dots r^n = 1
$$

表達出來。每做一次，就把所有頂點往後移動一個，最多可以移動 $n$ 個 (回到原位)。

而對於「鏡射」的剛體運動，以 $n = 6$ 為例，對於通過 $v_1$ 的對稱軸進行的鏡射，就是：

$$
s(v_1) = (v_2, v_6)(v_3, v_{5})(e_1, e_6)(e_2, e_5)(e_3, e_4)
$$

而對於所以鏡射，可以用某個一個鏡射搭配旋轉表達出來：

$$
sr, sr^1, sr^2 \dots sr^n
$$

因為 $r^1 \dots r^n$ 都不一樣，所以 $sr \dots sr^n$ 也都不一樣。

### 性質：對稱群的代數性質

除了明顯的群的性質之外，對稱群還有一些代數性質：

$$
\begin{align}
r^i \cdot r^j &= r^{i + j}
\newline
sr^i \cdot s^j &= s^{i + j}
\newline
r^i \cdot sr^{j} &= sr^{i - j}
\newline
sr^{i}\cdot sr^{j} &= r^{j - i}
\end{align}
$$

這些性質其實滿明顯的，比如說旋轉的角度就是疊加起來; 而鏡射之後旋轉，先往反方向再旋轉是一樣的意思。