# 代數導論 (5.2) - Group Action Intro (Part 2)

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接下來會定義一些跟 *group action* 有關的群。有一些「特別」的 *group action*，也有一些他們專屬的子群。因此也會在裡面出現。

## 定義：Stabalizer

:::warning
**Def (Stabalizer)**

假定 $G$ 是一個群，$X$ 是一個集合。則對於某一個 $x \in X$，以下集合稱作 $x$ 的 *stabalizer*：

$$
G_x = \{g \in G \mid gx = x\}
$$

其中，$gx$ 是指「$g$ 作為一個 *group action* 作用在 $x$ 上」。
:::

這個定義白話一點就像是「以 $x$ 為不動點的那些作用元素」。

### 例子：一個 S3 的例子

舉例來說，假定：

$$
\begin{align}
G &= S_3
\newline
X &= \{1, 2, 3\}
\end{align}
$$

則：

$$
G_3 = \{I, (1, 2)\}
$$

因為單位運算就只是把 $3$ 送給自己，而 $(1, 2)$ 只會把 $1$ 送到 $2$、$2$ 送到 $1$，其他什麼都不動。

### 例子：D2n

又比如說，令 $G = X = D_{2n}$，其中 $n > 2$。並定義 *group action* 為：

$$
f(g, x) = gxg^{-1}
$$

則 $r$ 的 *stabalizer* 為：

$$
G_r = \{1, r, \dots r^{2n}\}
$$

這是因為對於任意 $k$，有：

$$
r^{k} \cdot r = r \cdot r^{k}
$$

### 性質：Stabalizer 是一個子群

:::danger
**Prop (Stablizer 是個子群)**
假定 $G$ 是一個群，$X$ 是一個集合。則對於任意 $x \in X$，有：

$$
G_x \leq G
$$

即：在以 $G$ 做 *group action* 時，任何元素 $x$ 的 stabalizer 都形成一個 $G$ 的子群。
:::

假定 $g_1, g_2 \in G_x$，即：

$$
g_1 x = x = g_2x
$$

目標是湊到：

$$
(g_1g^{-1}_2)x= x
$$

既然有 $x = g_2x$，依照 *group action* 定義所保證的性質，有：

$$
\begin{align}
x = g_2 x \Rightarrow g_2^{-1}x &= g_2^{-1}(g_2x)
\newline
&= (g_2^{-1}g_2)x
\newline
&= x
\end{align}
$$

既然現在有 $x = g_2^{-1}x$，把它丟進 $g_1x = x$ 裡面，得到：

$$
g_1x = g_1(g_2^{-1}x) = x
$$

但是依照 *group action* 的定義：

$$
g_1(g_2^{-1}x) = (g_1g_2^{-1})x
$$

因此得證：

$$
g_1g_2^{-1} = x
$$

## 定義：Orbit & Kernel

:::danger
**Def (Orbit & kernel)**
假定有一個 *group action* $G \times X \to X$。則對於某一個 $x \in X$，該元素的 *orbit* 定義為以下的集合

$$
\boxed{Ob(x) = \{gx \mid g \in G\}}
$$

而該 *group action* 的 *kernel* 定義為以下集合：

$$
\boxed{\{g \in G \mid gx = x \quad \forall x \in X\}}
$$

更進一步，若一個集合 $Y \subset X$ 對一個 *group action* 有：

$$
\forall \in G. \forall y \in Y. gy \in Y
$$

則稱 $Y$ 在該 *group action* 的作用下是「*stable*」的。

:::

可以觀察到 *group action* 的 *kernel* 定義，其實就是在收集那些「所有元素共有的 *stablizer*」。把他換成 *stablizer* 的語言，其實也就是在說 *kernel* 是「所有 *stablizer* 的交集」：

$$
\bigcap_{x \in X}G_x
$$

除此之外，如果把 *group action* 視為是一個 *homomorphism*，那麼上述定義的 *kernel*，其實就恰好對應到這個 *homomorphism* 的 *kernel*。

前面提到過 *group action* 可以看作是一個

$$
\Phi : G \to S_X
$$

的 *homomorphism*，即給定一個 $G$ 中的元素，這個 *homomorphism* 就會生出一個 $X$ 上的 *bijection*，且生成的 *bijection* 如下：

$$
[\Phi(g)](x) = g \star x
$$

在這樣的意義下，*group action* 的 *kernel* 所對應到的，就是「會輸入給 *group action* 之後，會生出 $X$ 上的 *identity* 的那些元素」。也就是：

$$
\{g \mid \Phi(g) = I_X\}
$$

### 例子：一個 S3 的例子

舉例來說，如果令：

$$
\begin{align}
G &= S_3
\newline
X &= \{1, 2, 3\}
\end{align}
$$

而 *group action* 定義為「將 $S_3$ 的運算作用在 $X$ 上」。即：

$$
gx = g(x)
$$

而元素 $1$ 的 *orbit* 就會是：

$$
\{1, 2, 3\}
$$

因為 $S_2$ 中的作用可以把 $1$ 送到 $1, 2, 3$ 中任何一個元素。而對於元素 $2$ 來說，他的 *orbit* 也是 $\{1, 2, 3\}$。道理也是一樣的，因為所有 $S_3$ 中都包含可以把 $2$ 送到 $1, 2, 3$ 中的任意一元素的轉換。

## 定義：Centralizer

對一個元素取 *conjugate* 是一個 $G \times G \to G$ 的 *group action*。而這個 *group action* 所對應的 *stablizer*，又稱作 *centralizer*：

:::warning
**Def (Centralizer)**：假定 $G$ 是一個群。若將「取 *conjugate*」視為一 *group action*：

$$
\begin{align}
G \times G &\to G
\newline
(g, x) &\to g x g^{-1}
\end{align}
$$

則對於任意 $x \in G$，該元素所對應的 *stablizer* 稱作該元素的 *centralizer*。即：

$$
C_x = \{g \in G \mid gxg^{-1} = g\}
$$

:::

如果某一個 $x$ 是 $g$ 的 *centralizer*，那麼也就是說：

$$
x = gxg^{-1} \Rightarrow xg = gx
$$

也就是說，*centralizer* 就是在收集「在群的二元運算下，跟 $g$ 可交換的所有元素的收集」。而既然 *centralizer* 只是 *stablizer* 的特例，所以 *centralizer* 也是一個子群。

## 定義：Normalizer

:::warning
**Def (Normalizer)**

假定 $G$ 是一個群，$K \leq G$。則 $K$ 的 *normalizer* 定義為以下的集合：

$$
N_G(K) = \{g \in G \mid gkg^{-1} \in K \quad \forall k \in K\}
$$

而若一個子群 $H$ 是另一個群 $K$ 的 *normalizer* 的子群，即：

$$
H \leq N_G(K)
$$

則稱群 $H$ *normalizes* $K$。

:::

這邊跟前面的 *normal subgroup* 相呼應。因為如果參照 *normal subgroup* 的定義，那麼 *normal subgroup* 的定義可以描述為：==若某個子群 $H$ *normalizer* 恰好就是整個母群 $G$，那麼這個子群就是個 *normal subgroup*==。

### 性質：Normalizer 與其他群的關係

:::danger
**Prop**

假定 $G$ 是一個群，$K \leq G$。則：

$$
K \leq N_G(K) \leq G
$$

:::

首先，*normalizer* 是個子群。因為對於任意 $g_1, g_2 \in N_G(K)$，$g_1g_2^{-1}$ 有：

$$
\begin{align}
(g_1g_2^{-1})k(g_1g_2^{-1})^{-1} &= (g_1g_2^{-1})k(g_2 g_1^{-1})
\newline
&= g_1\underbrace{(g_2^{-1}kg_2)}_{*}g_1^{-1}
\newline
&= g_1kg_1^{-1} = k
\end{align}
$$

星號部分是將 $g$ 的角色用 $g^{-1}$ 取代，也就是：

$$
g^{-1}kg = g^{-1}k(g^{-1})^{-1}
$$

但在使用之前，要先證明：若 $g \in N_G(K)$，則 $g^{-1} \in N_G(K)$。但這很明顯，因為對於任意 $k \in K$，左右同時使用消去律：

$$
gkg^{-1} = k \Rightarrow g^{-1}kg = k
$$

由此得證。