# 代數導論二 Week 7 (Part 1) - Replacing Coefficients with Isomorphic Field

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## 觀察：「把多項式係數換成同構的體」是 Isomorphism

:::danger

假定：

1. $F, F^*$ 是兩個 *isomorphic* 的 *field*，且 $\phi : F \to F^*$ 是 $F$ 與 $F^*$ 的某個 *isomorphism*：

$$
F \overset{\phi}{\simeq}F'
$$

2. 定義 $\Phi$ 為「把係數的 *field* 替換掉」的動作：
$$
\begin{align}
\Phi :\ &F[x] \longrightarrow F^*[x]
\newline
&\sum_{i = 0}^{m}b_i x^i \mapsto \sum_{i = 0}^{m}\phi(b_i)x^i
\end{align}
$$

則：

1. $\Phi$ 是一個 $F[x]$ 跟 $F^*[x]$ 中的 *isomorphism*
$$
F[x] \overset{\Phi}{\simeq} F^*[x]
$$

2. 若 $p$ 是 *irreducible*，則 $\Phi(p)$ 也是 *irreducible*。

:::

### 證明：Homomorphism

這邊其實就是暴力。假定：

$$
A = \sum_{i = 0}^{m}a_ix^i
$$

$$
B = \sum_{i = 0}^{n}b_ix^i
$$

則：

$$
A + B = \sum (a_i + b_i) x^i
$$

所以會被送到：

$$
\begin{align}
\Phi(A + B) = \sum \phi(a_i + b_i)x^i
\end{align}
$$

等號右邊就發現可以簡化為 $\Phi(A) + \Phi(B)$：

$$
\begin{align}
&\sum \phi(a_i + b_i)x^i
\newline
&= \sum [\phi(a_i) + \phi(b_i)]x^i
\newline
&= \underbrace{\sum \phi(a_i)x^i}_{\Phi(A)} + \underbrace{\sum\phi(b_i)x^i}_{\Phi(B)}
\end{align}
$$

相乘也是類似：

$$
AB = \sum_{i = 0}^{m}\sum_{j = 0}^{n}(a_ib_j) x^{i + j}
$$

所以：

$$
\Phi(AB) = \sum_{i = 0}^{m}\sum_{j = 0}^{n}\phi(a_ib_j) x^{i + j}
$$

而等號右邊就會被送到：

$$
\begin{align}
&\sum_{i = 0}^{m}\sum_{j = 0}^{n}\phi(a_ib_j) x^{i + j}
\newline
&= \sum_{i = 0}^{m}\sum_{j = 0}^{n}\phi(a_i)\phi(b_j) x^{i + j}
\newline
&= \sum_{i = 0}^{m}\left(\phi(a_i)x^i\boxed{\left(\sum_{j = 0}^{n}\phi(b_j) x^{j}\right)}\right)
\newline
&= \underbrace{\left(\sum_{i = 0}^{m}\phi(a_i)x^i\right)}_{\Phi(A)}\underbrace{\boxed{\left(\sum_{j = 0}^{n}\phi(b_j) x^{j}\right)}}_{\Phi(B)}
\end{align}
$$

### 證明：Injection

看看這個東西的 *kernel* 是什麼。假定：

$$
\Phi\left(\sum_{i}a_ix^i\right) = 0
$$

也就是：

$$
\sum \phi(a_i)x^i = 0
$$

所以：

$$
\phi(a_i) = 0 \quad \forall i
$$

但是因為 $\ker \phi = \{0\}$，所以唯一的可能就是：

$$
a_i = 0 \quad \forall i
$$

### 證明：Surjection

假定：

$$
\sum_{i = 0}^{m}a_i^*x^i \in F^*[x]
$$

因為每一個 $a_i^*$ 都存在唯一的 $a_i \in F$，使得：

$$
\phi(a_i) = a_i^*
$$

所以把那些 $a_i$ 找出來，他們做成的多項式：

$$
\sum_{i = 0}^m a_i x^i \in F[x]
$$

就是一個會被 $\Phi$ 送到他的元素。

### 證明：Irreducibility

直覺地來看，如果在 $F^*[x]$ 中有分解，把他用 $\Phi$ 的逆送回 $F[x]$，就會是一個 $F[x]$ 的分解。或是用另外一個看法，若令：

$$
p^* = \Phi(p)
$$

則 $\Phi$ 會把 $(p)$ 送到 $(p^*)$：

$$
(p(x)) \overset{\Phi}{\to}(p^*(x))
$$

這是因為：

1. 因為 $p(x)$ 在 $F[x]$ 中 *irreducible*，所以是 *prime*，所以 $(p(x))$ 是個 *prime ideal*。
2. 因為 $F[x]$ 是個 *Euclidean Domain* ，所以 $(p(x))$ 在 $F[x]$ 中是個 *maximal ideal*。
3. 因為 $\Phi$ 是一個 *surjective ring homomorphism*，所以 $\Phi(p(x)) = (p^*(x))$ 也是一個 $F^*$ 中的 *maximal ideal*
4. 因為 *maximal ideal* 都是 *prime ideal* 所以 $(p^*(x))$ 也是個 *prime ideal*
5. 因此 $p^*(x)$ 在 $F^*[x]$ 中是 *prime*，所以等價於 *irreducible*。