# 代數導論 (11) - The First Isomorphism Theorem

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給定一個 *homomorphism* $\phi$ 之後，他的 *kernel* $K$ 也會是 *normal subgroup*。拿這個 *kernel* 去做 *quotient group* 其實就是把母集合分割成許多互斥的 *coset*，而且這些 *coset* 自己還能形成群。

而如果是拿 *kernel* 做，那麼處在同一個 *coset* 的元素，通通會被原來的 *homomorphism* 打到同一個地方，一個 *quotient group* 就代表著一堆會被送到同一個值的元素：


這樣看起來，*quotient group* (裡面每個元素都是個集合) 中的元素，跟原先那個映射的值域，似乎存在著某種一對一的關係。而 *first isomorphism theorem* 就是要說：他們之間有雙射，而且這個雙射還是個 *homomorphism*。

## 定義：Natural Projection

「用一個元素造出他在 *quotient group* 的集合」的這個動作有時會稱作 *narural projection*：

:::warning

假定 $G$ 是一個群，$K \lhd G$。則下列的映射 $\pi$：

$$
\boxed{\begin{align}
\pi : G &\to G/K
\newline
g &\to gK
\end{align}}
$$

稱為 *natural projection*。

:::

這個映射是 *well-defined* 的，因為若 $g_1, g_2$ 屬於同一個 *coset*，也就是說：

$$
g_1 \in (g_2K) \cap (g_1 K)
$$

那麼依照 *coset* 的性質，兩個 *coset* 不是一樣，就是沒有交集。現在他們明顯有交集，所以必定兩個 *coset* 是一樣的。因此，造出來的會是同一個 *coset*。

### 性質：是 Surjective Homomorphism

:::danger

**Lemma (Natural Projection 是 Surjective Homomorphism)**

假定 $G$ 是一個群，$K \lhd G$。定義 *natural projection* $\pi$ 為：

$$
\begin{align}
\pi : G &\to G/K
\newline
g &\to gK
\end{align}
$$

則 $\pi$ 是一個 ==*surjective homomorphism*==。

:::

==Surjective==：這根本由 $G/K$ 定義就可以直接得到。因為 $G/K$ 這個集合就是「所有 *coset* 的集合」，而這個映射就是拿所有的 $G$ 中元素去搭配 $K$ 造出所有可能的 *coset*，所以映成就是顯然。

==Homomorphism==：本質上還是出在 *coset* 的乘法定義。因為：

$$
\begin{align}
\pi(g_1g_2) &= (g_1g_2)H
\newline &= (g_1H) \cdot (g_2 H)
\newline &= \pi(g_1) \cdot \pi(g_2)
\end{align}
$$

### 性質：Natural Projection 的 Kernel

「把元素送到其所屬 *quotient group*」這個函數，他的 *kernel* 就是 *quotient group* 定義中的那個 *normal subgroup*：

:::danger

**Lemma (Natural Projection 是 Surjective Homomorphism)**

假定 $G$ 是一個群，$K \lhd G$。則 *natural projection* $\pi$：

$$
\begin{align}
\pi : G &\to G/K
\newline
g &\to gK
\end{align}
$$

有：

$$
\boxed{\ker \pi = K}
$$

:::

這個其實滿顯然的。首先，所有 $K$ 中的元素，都會是 $\ker \pi$ 中的元素。因為 $K$ 是一個 $G$ 的子群，所以對於任意 $k \in K$，有：

$$
k \in (kK \cap 1K)
$$

因此 $kK$ 與 $1K = K$ 就是兩個有交集的 *coset*。依照 *coset* 的性質，有：

$$
(kK \cap 1K) \neq \phi \Rightarrow (kK) = (1K)
$$

但這也就是在說：

$$
\phi(k) = kK = 1K
$$

而這邊的 $K$ 就是 *quotient group* 中的單位元。所以：

$$
k \in \ker \pi
$$

因為對於任意 $k \in K$ 都對，所以：

$$
K \subseteq \ker \pi
$$

接下來證明另外一個包含方向。因為 $K$ 是一個 *normal subgroup*，所以也是一個 *subgroup*，因此 $1$ 也在 $K$ 裡面。而現在想想 $\ker \pi$ 的定義：

$$
\ker \pi = \{g \mid g K = K\}
$$

既然任意一個 $\ker \pi$ 中的原元素 $g$，都有 $gK = K$，而且 $1 \in K$，所以：

$$
g \cdot 1 \in gK = K \Rightarrow g \in K
$$

既然任意 $\ker K$ 中的元素 $g$ 都滿足 $g \in K$，因此：

$$
\ker \pi \subseteq K
$$

### 性質：Normal Subgroup 與 Kernel

前面已經提過：任意 *homomorphism* 的 *kernel*，都會是一個 *normal subgrup*。現在反過來問：對於任意一個 *normal subgroup*，是否都存在著以他為 *kernel* 的 *homomorphism* 呢？從前面兩個觀察中可以立刻知道：答案是肯定的：

:::danger
**性質**

假定 $G$ 是一個群。則 $H \leq G$。則「$H$ 為 *normal subgroup*」的充分必要條件是「存在以 $H$ 為 *kernel* 的 *homomorphism*」：

$$
\begin{align}
H &\lhd G \iff
\newline
&\exists \text{ homo } \phi.\ker \phi = H
\end{align}
$$

:::

在看完前面兩個關於 *natural projection* 的敘述之後，這個定理幾乎成為顯然。

==$\Leftarrow$==：首先，任何 *homomorphism* 的 *kernel* 都一定是 *normal subgroup*。因為對於任意 $g \in G$ 及 $k \in \ker \phi$，都有：

$$
\phi(gkg^{-1}) = \phi(g)\underbrace{\phi(k)}_{1}\phi(g)^{-1} = 1
$$

所以 $gkg^{-1} \in \ker \Phi$。

==$\Rightarrow$==：另外一方面，如果 $H$ 是個 *normal subgroup*，把 $\phi$ 取成 *natural projection*：

$$
\phi = \pi
$$

再加上前 2 個敘述：$\pi$ 是 *homomorphism*、$\pi$ 的 *kernel* 是 $H$，就證明完了。

## 定理：The First Isomorphism Theorem

:::danger

**Thm (The First Isomorphism Theorem)**

假定 $G$ 是一個群，$\phi : G \to G'$ 是一個 *homomorphism*。則：

$$
\boxed{\ker \phi \lhd G}
$$

且更進一步，若令 $K = \ker \phi$，並定義：

$$
\boxed{\begin{align}
\phi' : G/K &\to G'
\newline
gK &\to \phi(g)
\end{align}}
$$

則 $\varphi$ 是個 *well-defined* 的 *injective* *homomorphism*。並且透過 $\varphi$ 可知：*kernel* 做出的 *quotient group* 跟值域同構：

$$
\boxed{G/ \ker \phi \simeq \phi(G)}
$$

:::

其實課本在 *first isomorphism theorem* 的部分只有寫到最後面同構的部分，並沒有把 $\varphi$ 明確地指出來; 而上課則是沒把同構寫出來，直接列出 $\varphi$。雖然說證明完 $\varphi$ 是 *injective* 之後，可以觀察到他就是 $G/\ker \phi$ 跟 $\phi(G)$ 之間的 *isomorphism*：

$$
\begin{align}
\phi'(G/H) &= \{\phi'(gK) \mid g \in G\}
\newline
&= \{\phi(g) \mid g \in G\}
\newline
&= \phi(G)
\end{align}
$$

所以自動是個 $G /\ker \phi$ 跟 $\phi(G)$ 間的 *surjection*，加上前面的 *injective* *homomorphism*，$\phi'$ 就自動是個 *isomorphism* 了。不過，同構的樣子畢竟看起來比較漂亮，所以就一起寫上來。

一個 *homomorphism* 的 *kernel* 是一個 *normal subgroup* 在更之前已經證明過了。

==well-defined==：是否 *well-defined* 的問題出自於：不同的 $g$ 之下，他們生出來的 $gK$ 可能相同。在這樣的狀況之下，這些表示法不同的 $gK$ 會被 $\phi'$ 送到 $G'$ 中的同一個值嗎？答案是會。這是因為假定：

$$
g_2K = g_1K
$$

這也就是在說：$g_2 \in g_1 K$。也就是存在 $k_1 \in K$，使得：

$$
g_2 = g_1k_1
$$

但把這個東西用 $\phi'$ 送過去

$$
\begin{align}
\phi'(g_2K) &=: \phi(g_2)
\newline
&= \phi(g_1k_1)
\newline &= \phi(g_1)\cdot \phi(k)
\newline &= \phi(g_1) \cdot 1
\end{align}
$$

因此，就算這個 *coset* 挑出來的「代表」不同，最終他們都還是會被送到一樣的地方。

==homomorphism==：一樣是因為有 *coset* 的乘法，讓兩個 *coset* 之間的乘法，變成代表那個 *coset* 的元素出來香橙就好：

$$
\begin{align}
\phi'(g_1H \cdot g_2H) &= \phi'(g_1g_2H)
\newline
&= g_1g_2
\newline
&= \phi'(g_1H)\phi'(g_2H)
\end{align}
$$

==Injective==：

假定：

$$
\phi'(g_1H) = \phi'(g_2H)
$$

依照 $\phi'$ 的定義，這就是在說：

$$
\phi(g_1) = \phi(g_2)
$$

依照 *homomorphism* 的性質，可知：

$$
\phi(g_1)^{-1}\phi(g_2) = \phi(g_1^{-1}g_2) = 1
$$

但這樣一來，$g_1^{-1}g_2$ 就在 $\phi$ 的 *kernel* 裡面，也就是說 $g_1^{-1}g_2 \in K$。但這就表示：存在 $k \in K$，使得：

$$
\begin{align}
g_1^{-1}g_2 = k &\Rightarrow g_2= g_1 k
\newline
&\Rightarrow g_2 \in g_1K
\end{align}
$$

最後，加上 *coset* 的性質，只要有交集，兩個 *coset* 就必定是一樣的集合，得證：

$$
g_1H = g_2H
$$

### 觀察：怒空僅零

在討論完 *kernel* 之後，接下來就是大名鼎鼎的「怒空僅零」：

:::danger
**Corollary**

$G, H$ 是兩個群，且 $\phi : G \to H$ 是一個 *homomorphism*。則：

$$
\boxed{
\begin{align}
\phi \mathbf{\ injective\ } \iff \ker \phi = \{1\}
\end{align}}
$$

:::

這個線性代數出現過的定理，連證明方式都跟線性代數一樣。

==$\Rightarrow$==：首先，*homomorphism* 必定把單位元送到單位元。因此，在 $\phi$ *injective* 的狀況下，所以每個值域中的元素，都只有一個定義域的元素到得了，值域的單位元也不例外。因此，只有 $G$ 中的 $1$ 能送到 $H$ 中的 $1$，故 *kernel* 就只有 $\{1\}$。

==$\Leftarrow$==：另外一方面，在 $\ker \phi = \{1\}$ 的狀況下，假定存在 $x, y \in G$，使得：

$$
\phi(x) = \phi(y)
$$

這也就是在說：

$$
\begin{align}
&\phi(xy^{-1}) = 1
\newline
&\Rightarrow xy^{-1} \in \ker \phi = \{1\}
\end{align}
$$

但 $\ker \phi$ 裡面根本只有 $1$ 這個元素，所以這也就是在說：

$$
xy^{-1} = 1 \Rightarrow x = y
$$

> 這其實是隨機客教線性代數的用語，本來是在說「線性轉換 *null space* (怒空) 只有 (僅) 向量空間的單位元 (零) 的時候，會是個 *injection*」的定理。而這邊只是群的版本。所以就沿用了這個我覺得很舒適的詞彙。
>