# 代數導論二 - Ideal Generated by a Set

[TOC]

## 定義：包含一個集合的最小 Ideal

:::warning

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的環，且 $A \subseteq R$。則所有包含 $A$ 的 *ideal* 的交集也是一個 *ideal*，而且是包含 $A$ 的最小 *ideal*，記做 $(A)$。即：

$$
(A) = \bigcap_{A \subseteq I, I\text{ an ideal}} I
$$

若一個 *ideal* $I$ 有 $I = (A)$，其中 $|A| < \infty$，則稱 $I$ 為一個 *finitely generated ideal*; 若更進一步，$A$ 中僅有一個元素，則稱 $I$ 為一個 *principal ideal*。

:::

這是來自於：兩個包含 $A$ 的 *ideal* 交集也是一個包含 $A$ 的 *ideal*。

## 符號：RA、AR、RAR

:::warning

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的環，$\phi \neq A \subseteq R$ 。定義 $RA$ 為以下集合：

$$
RA = \left\{\sum_{i = 1}^{n}r_ia_i \mid r_i \in R, a_i \in A, n \in \Bbb N\right\}
$$

定義 $AR$ 為：

$$
AR = \left\{\sum_{i = 1}^{n}a_ir_i \mid r_i \in R, a_i \in A, n \in \Bbb N\right\}
$$

定義 $RAR$ 為：

$$
RAR = \left\{\sum_{i = 1}^{n}r_i'a_ir_i \mid r_i', r_i \in R, a_i \in A, n \in \Bbb N\right\}
$$

:::

### 觀察：RA/AR 是個包含 A 的 Left/Right Ideal

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的環，$\phi \neq A \subseteq R$。則 $RA$ 與 $AR$ 分別是個包含 $A$ 的 *left/right ideal*; 而 $RAR$ 則是個包含 $A$ 的 *ideal*。

:::

要驗證他就是要驗證「包含 $A$」「是 *subring*」跟「$R(RA) \subseteq RA$」。但後面那個是顯然，所以證明 *subring* 就好。

因為這邊 $R$ 都有 $1$，所以很明顯 $A \subseteq RA$，所以 $RA$ 非空：

$$
1 \cdot a \in RA \quad \forall a \in A
$$

另外一方面，驗證減法封閉性：

$$
\sum_{i = 1}^{n_1}r_ia_i - \sum_{i = 1}^{n_2}r_i'a_i'
$$

也具有 $\sum r_i a_i$ ，其中 $r_i \in R$ 的形式，所以也在 $RA$ 中。最後，乘法封閉也是類似。

最後，對於任意 $r \in R$，

## 觀察：包含一個集合最小的 Left/Right Ideal

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的環，且 $A \subseteq R$。則
1. 包含 $A$ 的最小 *left ideal* 恰好就是 $RA$
2. 包含 $A$ 的最小 *right ideal* 恰好就是 $AR$
3. 包含 $A$ 的最小 *ideal* 恰好就是 $RAR$

:::

以 *left ideal* 的版本為例，前面已經知道 $RA$ 是一個包含 $A$ 的 *left ideal*。也就是：

$$
A \subseteq RA
$$

另外一方面，對於任何一個包含 $A$ 的 *left ideal* $I$，因為 $A \subseteq I$，所以：

$$
rA \subseteq rI \subseteq I \quad \forall r \in R
$$

因此：

$$
\bigcup_{r \in R}(rA) = RA \subseteq I
$$

所以也包含了 $RA$。

### 觀察：R 可交換時三者相等

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的環，且 $A \subseteq R$。若 $R$ 可交換，則：

$$
(A) = RA = AR = RAR
$$

:::

在這個狀況下，$RA = AR = RAR$ 直接由定義可以得到。最後再加上 $(A) = RAR$ 就證明完了。

### 觀察：可交換而且只有一個元素時

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的環，且 $a \subseteq R$。則：

$$
b \in (a) \iff \exists r \in R.b = ra
$$

:::

($\Rightarrow$)因為這時候 $(a) = Ra$; $(\Leftarrow)$ 就是定義。