# 代數導論 (12) - Diamond Isomorphism Theorem

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*Diamond Isomorphism Theorem* 又叫 *second isomorphism theorem*，算是 *isomorphism theorem* 系列的第二個定理。之所以會稱作 *Diamond*，是因為他描述的同構關係就像一個鑽石~~嗎？~~。平行的邊所代表的 *quotient group* 之間，會有同構關係：


## 前置準備

*Diamond isomorphism theorem* 關注如 $HK$ 這種形式的集合之間的關係。其中，$HK$ 定義為：

### 定義：集合相乘

:::warning
**Def**

假定 $H, K$ 是兩個集合。則定義：

$$
\boxed{HK = \{hk \mid h \in H, k \in K\}}
$$

:::

這其實就只是寫起來方便。看起來有點像是找出一個集合的所有 *coset*。

### 性質：Lagrange 定理的應用

:::danger
**Prop 1**

假定 $G$ 是一個群，$H \leq G$，$K \leq G$，且 $|H|, |K| < \infty$。則：

$$
\boxed{ \frac{|HK|}{|K|} = \frac {|H|}{|H \cap K|}}
$$

:::

> 這個定理意義上比較像是：
>
> $$
> |HK/K| = |H / (H \cap K)|
> $$
>
> 然後後面會提到：在夠好的狀況下，左右兩邊除了數目等，還有 *Isomorphism*：
>
> $$
> HK/K \simeq H/(H\cap K)
> $$

為了方便，令：

$$
M = H \cap K
$$

因為 $H, K$ 都是子群，所以 $(H \cap K)$ 也是一個子群。接著考慮集合：

$$
HK/K = \{(hk)K \mid h \in H, k \in K\}
$$

這個集合是個 *coset* 的集合。但如果仔細觀察：如果 $k \in K$，那麼 $kK$ 這個 *coset* 跟 $K$ 根本就是同一個集合。所以上面這個集合可以簡化成：

$$
HK/K = \{hK \mid h \in H\}
$$

接下來，如果可以證明：

$$
|HK/K| = |H/M|
$$

那麼依照 *Lagrange* 定理，因為 $|H/M| = |H|/|M|$，就有：

$$
|HK/K| = \frac {|HK|}{|K|} = \frac {|H|}{|M|} \Rightarrow |HK| = \frac {|K||H|}{|M|}
$$

就得證需要的敘述。那要怎麼證明這件事呢？最直接的方法就是造一個 *bijection*。考慮：

$$
\begin{align}
\phi : H/M &\to HK/K
\newline
\phi(hM) &= hK
\end{align}
$$

首先，這是一個 *well-defined* 的映射。首先，如果選了不同的代表元素，比如存在 $h, h' \in H$，使得：

$$
hM = h'M
$$

這表示：

$$
h^{-1}h' \in M = (H \cap K) \subseteq K
$$

因此：

$$
hK = h'K
$$

而 *injection* 方面，假定：

$$
hK = h'K
$$

這表示：

$$
h^{-1}h' \in K
$$

但另外一方面，$h, h' \in H$，而 $H$ 是一個子群。所以：

$$
h^{-1}h' \in H \Rightarrow h^{-1}h' \in (H \cap K) = M
$$

由此得證：

$$
hM = h'M
$$

最後，*surjection* 是顯然。因為 $H/M$ 中的 $h$ 是從 $H$ 中任取，所以映射所對應到的 $hK$ 中，$h$ 也是從所有的 $H$ 中選取，因此所有可能的 *coset* 都被打到。

### 性質：HK 是子群的充要條件

:::danger
**Prop 2**

假定 $G$ 是一個群，且 $H, K \leq G$。則：

$$
HK \leq G \iff HK = KH
$$

:::

==$\Rightarrow$==

首先可以觀察：

$$
\begin{align}
H &\subseteq HK
\newline
K &\subseteq HK
\end{align}
$$

接著看另外一個集合 $KH$。對於任意 $KH$ 中的元素 $u$，都存在：

$$
\begin{align}
k &\in K \subseteq HK
\newline
h &\in H \subseteq HK
\end{align}
$$

使得：

$$
u = kh
$$

但既然 $k$ 與 $h$ 都是 $HK$ 中的元素，$HK$ 又是一個子群，所以 $kh$ 就要在 $HK$ 中，也就是：

$$
u = kh \in HK
$$

因為對於任意一個 $KH$ 中的元素都對，因此 $KH$ 是 $HK$ 的子集合：

$$
KH \subseteq HK
$$

另外一方面，同樣的論證，只是把 $HK$ 與 $KH$ 的位置交換，可以得到：

$$
KH \supseteq HK
$$

由此得證 $KH = HK$

==$\Leftarrow$==：

因為是要證 $HK$ 是子群，所以就要任取 $g_1, g_2 \in HK$，然後用 *subgroup criteria* 驗看看是不是成立。因為 $g_1, g_2 \in HK$，所以假定：

$$
\begin{align}
g_1 &= k_1 h_1
\newline
g_2 &= k_2 h_2
\end{align}
$$

其中，$k_1, k_2 \in K$，且 $h_1, h_2 \in H$。這時，考慮：

$$
g_1g_2^{-1} = k_1h_1h_2^{-1}k_2^{-1}
$$

這時，如果想辦法把 $k_1$ 往左交換兩次，那麼這東西就會有 $h_1h_2^{-1}k_1k_2^{-1}$ 的樣子，然後再用 $K, H$ 與 $KH$ 都是群的性質就解決了。雖然說他不是 *abelian*，不能直接交換，但他有 $HK = KH$，所以每次替換的時候，都可以找到代替的元素。

比如說，因為

$$
k_1 h_1 \in KH = HK
$$

既然 $k_1h_1$ 也在 $HK$ 中，這表示存在 $h_1' \in H$, $k_1' \in K$，使得：

$$
\begin{align}
h_1'k_1' = k_1h_1
\end{align}
$$

所以帶回：

$$
\begin{align}
g_1g_2^{-1} &= \underbrace{(k_1h_1)}_{代換}h_2^{-1}k_2^{-1}
\newline
&= (h_1'k_1')h_2^{-1}k_2^{-1} = h_1'(k_1'h_2^{-1})k_2^{-1}
\end{align}
$$

對 $k_1'h_2^{-1}$ 再做一次，知道存在 $k_1'' \in K$, $h_2''^{-1} \in H$，使得：

$$
k_1'h_2^{-1} = (h_2'')^{-1}k_1''
$$

所以：

$$
\begin{align}
g_1g_2^{-1} &= h_1'\underbrace{(k_1'h_2^{-1})}_{代換}k_2^{-1}
\newline
&= h_1'(h_2''^{-1} k_1'')k_2^{-1} = (h_1'h_2''^{-1})( k_1''k_2^{-1}) \in HK
\end{align}
$$

由此得證是個子群。

### 性質：HK 是子群的充分條件

:::danger
**Prop 3**

假定 $G$ 是一個群，$K \leq G$。若一個集合 $H$ *normalizes* $G$，則 $HK$ 是一個 $G$ 的子群。即：

$$
H \leq N_G(K) \Rightarrow HK \leq G
$$

:::

因為 $H$ 可以 *normalize* $K$，也就是說對於任意 $h \in H$，有：

$$
hKh^{-1} = K
$$

但這也就是在說：對於任意 $h \in H$，有：

$$
hK = Kh
$$

既然對於任意 $h \in H$ 都對，所以：

$$
HK = KH
$$

套用 *prop 2* 的條件，得證 $HK \leq G$。

## 定理：Diamond Isomorphic Theorem

:::danger
**Thm (Diamond Isomorphic Theorem)**

假定 $G$ 是一個群，$H, K \leq G$。若：

$$
\boxed{H \leq N_G(K)}
$$

則下列三個敘述成立：

++**1. H, K 的交集是 H 的不變子群**++

$$
\boxed{(H \cap K) \lhd H}
$$

++**2. K 是 HK 的不變子群**++

$$
\boxed{K \lhd HK}
$$

++**3. 兩個不變子群生成的商群同構**++

$$
\boxed{H/(H \cap K) \simeq HK/K}
$$

:::

++**證明：H, K 的交集是 H 的不變子群**++

因為 $H, K$ 都是 $G$ 的子群，所以 $(H \cap K)$ 是個子群，只差證明他是 $H$ 的 *normal subgroup* 就可以了。而要證明這件事，就是要證明：對於任意 $h \in H$，有：

$$
h(H \cap K)h^{-1} \subseteq (H \cap K)
$$

就可以了。而既然要證明是在 $H, K$ 的交集，只要證明這個集合既在 $H$ 中，也在 $K$ 中就可以了。

首先，這個集合在 $H$ 中是顯然。因為 $(H \cap K)$ 與 $h$ 都在 $H$ 中，所以：

$$
\begin{align}
(H &\cap K) \subseteq H
\newline
&\Rightarrow h(H \cap K)h^{-1} \subseteq H
\end{align}
$$

接下來證明這個集合在 $K$ 中。首先，老樣子用 $(H\cap K) \subseteq K$ 這招，有：

$$
h(H \cap K)h^{-1} \subseteq hKh^{-1}
$$

接接下來的關鍵在 $H \leq N_G(K)$，也就是 $H$ *normalizes* $K$。而 *normalize* 的意思是對於任意 $h \in H$，有：

$$
hKh^{-1} = K
$$

但跟前面的結論比較，就會發現他在 $K$ 當中：

$$
h(H \cap K)h^{-1} \subseteq hKh^{-1} = K
$$

++**證明：K 是 HK 的不變子群**++

第二個也滿顯然的，因為對於任意 $hk \in HK$，其中 $h \in H$, $k \in K$，把他帶進 *normal subgroup* 的性質檢驗看看：

$$
(hk)K(hk)^{-1} = hkKk^{-1}h^{-1} \subseteq hKh^{-1}
$$

但因為 $H$ *normalize* $K$，所以對於任意 $h \in H$，有：

$$
hKh^{-1} = K
$$

所以塞回上面的東西，得到：

$$
(hk)K(hk)^{-1} \subseteq hKh^{-1} \subseteq K
$$

因此，所有 $HK$ 的元素都 *normalize* $K$。由此得證 $HK$ 是 $K$ 的 *normalizer*。

++**證明：兩個不變子群各自的商群同構**++

前面已經知道：

$$
h(H\cap K) \to hK
$$

是一個 *well-defined* 的 *bijection*。接下來只要驗證他是 *homomorphism*，但這直接用 *coset* 間的運算就得到了。若假定：

$$
\begin{align}
h_1(H \cap K) \to (h_1K)
\newline
h_2(H \cap K) \to (h_2K)
\end{align}
$$

則可觀察到：$(h_1h_1)(H \cap K)$ 送過去的結果，恰好是個字送過去的結果互相作用：

$$
(h_1h_1)(H \cap K) \to (h_1h_2)K = (h_1K)(h_2K)
$$

由此得證。