# 代數導論二 Week 9 (Part 1) - Finitely Generated Extension

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## 定義：Finitely Generated Field Extension

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$。若存在有限數目的 $\alpha_1 \dots \alpha_n \in K$，使得：

$$
K = F(\alpha_1 \dots \alpha_n)
$$

則稱 $K/F$ 是 *finitely generated* 的 *field extension*。

:::

注意在定義上來說，*finite* 跟 *finitely generated* 是不一樣的兩個定義。*finite* 的定義是 $[K:F] < \infty$，而 *finitely generated* 的定義是可以補上有限數目的元素之後做出來。

### 觀察：2 個元素的 Extension = 連續做兩次單一元素的 Extension

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$。則對於任意 $\alpha, \beta \in K$，有：

$$
F(\alpha, \beta) = (F(\alpha))(\beta)
$$

:::

首先，因為：

$$
\begin{align}
F \subseteq F(\alpha, \beta)
\newline
\alpha \in F(\alpha, \beta)
\end{align} \Rightarrow F(\alpha) \subseteq F(\alpha, \beta)
$$

所以 $F(\alpha, \beta)$ 是一個同時包含 $F$ 跟 $\alpha$ 的 *field extension*，所以就會包含 $F$ 跟 $\alpha$ 做出的最小 *extension*。接著如法炮製，對 $F(\alpha), \beta$ 使用：

$$
\begin{align}
F(\alpha) \subseteq F(\alpha, \beta)
\newline
\beta \in F(\alpha, \beta)
\end{align} \Rightarrow (F(\alpha))(\beta) \subseteq F(\alpha, \beta)
$$

另外一方面，因為 $(F(\alpha))(\beta)$ 是個同時包含了 $F, \alpha, \beta$ 的一個 *field*，所以他就要包含 $F$ 跟 $alpha, \beta$ 做出來的那個最小的 *field extension*。也就是 $(F(\alpha))(\beta)$：

$$
\begin{align}
F \subseteq (F(\alpha))(\beta)
\newline
\alpha, \beta \in (F(\alpha))(\beta)
\end{align}\Rightarrow F(\alpha, \beta) \subseteq (F(\alpha))(\beta)
$$

### 推論：有限元素的 Extension = 逐個元素做 Extension

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假定 $F$ 是一個 *field*，$K/F$，且 $\alpha_1 \dots \alpha_n \in K$。則：

$$
F(\alpha_1, \dots \alpha_n) = F(\alpha_1)(\alpha_2)\dots(\alpha_n)
$$

:::

### 觀察：2 個代數元素的 Extension 的形式

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$。若 $\alpha, \beta \in K$ 是兩個 *algebraic* 的元素，且：

$$
\begin{align}
\deg \alpha &= n
\newline
\deg \beta &= m
\end{align}
$$

則：

$$
F(\alpha, \beta) = \left\{\sum_{j = 0}^{m-1} \sum_{i = 0}^{n-1}a_{ij}\alpha^i \beta^j \mid a_{ij} \in F\right\}
$$

:::

如果令：

$$
F(\alpha) = K
$$

由上面的引理，知道：

$$
F(\alpha, \beta) = K(\beta)
$$

所以對於任意 $x \in F(\alpha, \beta)$，有：

$$
x = \sum_{j = 0}^{m-1}k_i \beta_i \quad k_i \in K
$$

其中，因為 $k_i \in K = F(\alpha)$，所以：

$$
k_i = \sum_{i = 0}^{n-1}a_{ij}\alpha_i
$$

因此帶回，得到：

$$
x = \sum_{j = 0}^{m-1} \sum_{i = 0}^{n-1}a_{ij}\alpha^i \beta^j
$$

## 觀察：Finitely Generated Extension 的度數上限

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假定 $F$ 是一個 *field*，$K/F$，且 $\alpha_1 \dots \alpha_n \in K$ 都是 *algebraic* 的元素。則：

$$
[F(\alpha_1 \dots \alpha_n):F] \leq \prod_{i = 1}^n\deg_F \alpha_i
$$

:::

令：

$$
K_i = \begin{cases}
F & \text{if }i = 0
\newline
F(\alpha_1 \dots \alpha_i) & \text{if }1 \leq i \leq n
\end{cases}
$$

在這個符號之下，可以發現：

$$
[F(\alpha_1 \dots \alpha_n):F] = [K_n:K_0]
$$

且：

$$
K_{i - 1} \subseteq K_i
$$

因此，由剛剛的引理可以觀察：

$$
K_{i} = K_{i - 1}(\alpha_i)
$$

所以 $[K_i:K_{i-1}]$，其實也就是 $\alpha_i$ 在 $K_{i-1}$ 中的 *degree*。而因為 $\alpha_i$ 在 $K_{i - 1}$ 跟 $F$ 中的 *minimal polynomial* 有因式的關係：

$$
K_i \supseteq F \Rightarrow m_{\alpha_i, K_{i-1}} \mid m_{\alpha_i, F}
$$

所以對於每一個 $[K_i:K_{i-1}]$，他都不大於 $\alpha_i$ 在 $F$ 中的 *degree*：

$$
\underbrace{[K_i:K_{i-1}]}_{=\deg_{K_i}\alpha_i} \leq \deg_F \alpha_i
$$

因此：

$$
\begin{align}
[K_n:K_0] &= \prod_{i = 1}^{n}\overbrace{[K_{i}:K_{i-1}]}^{\leq \deg_F \alpha_i}
\newline
&\leq \prod_{i = 1}^{n} \deg_F \alpha_i
\end{align}
$$

所以這邊的意思是：如果 *finitely generated* 用來做的元素都是 *algebraic*，那他就是一個 *finite* 的 *extension*。那反過來呢？答案也是：

## 「由代數數 Finitely Generated」 = 「Finite」

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$。則下列兩個敘述等價：

1. $K$ 能在 $F$ 上以有限數目的代數數生成。即：存在 *algebraic* 的 $\alpha_1 \dots \alpha_n \in K$，使得：

$$
K = F(\alpha_1 \dots \alpha_n)
$$

3. $K$ 是一個 $F$ 的 *finite extension*。

$K/F$ is a finite extension if and only if $K$ is generated by a finite number of algebbraic element over $F$. i.e. exists $\alpha_1 \dots \alpha_n \in K$, such that

$$
K = F(\alpha_1 \dots \alpha_n)
$$

:::

($\Rightarrow$) 的方向就是剛剛的觀察。因為這時每個 $\alpha_1 \dots \alpha_n$ 都是 *algebraic*，所以套上面的結論：：

$$
[K:F] \leq \prod_{i = 1}^{n}\deg_F \alpha_i
$$

($\Leftarrow$)：另外一方面，如果 $K/F$ 是 *finite*，也就是 $K$ 作為一個 $F$ 上的向量空間時，維度是某個有限的 $n$。那 $K$ 就可以用這組有限大小的基底跟 $F$ 生成出來。因為假定這組基底是：

$$
\alpha = \langle\alpha_1 \dots \alpha_n\rangle
$$

所以 $\alpha$ 是 $K/F$ 的基底的意思就是：

$$
K = \text{span}_F(\alpha)
$$

而因為所有的 *finite extension* 都一定是 *algebraic extension*，所以 $\alpha_1 \dots \alpha_n$ 通通都是 *algebraic* 的元素。

這時可以觀察：

1. 因為 $\alpha \subseteq F(\alpha_1 \dots \alpha_n)$，且 $F \subseteq F(\alpha_1 \dots \alpha_n)$，所以任何在 $F$ 上用 $\alpha$ 搭配 $F$ 做係數 *span* 做出來的元素，都會在 $F(\alpha_1 \dots \alpha_n)$ 當中。也就是：

$$
K = \text{span}_F(\alpha) \subseteq F(\alpha_1 \dots \alpha_n)
$$

2. 另外一方面，$\alpha, F \subseteq K$，所以 $K$ 就要包含由 $F$ 跟 $\alpha$ 所生成的那個最小 *extension*。也就是：

$$
F, \alpha \subseteq K \Rightarrow F(\alpha_1 \dots \alpha_1) \subseteq K
$$

兩個包含關係合起來，就有：

$$
K = F(\alpha_1 \dots \alpha_n)
$$

所以就發現 $K$ 可以由 $K/F$ 的基底生成。又因為這個基底是有限的，所以 $K$ 就是 *finitely generated*。

### Corollary 16

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Let $\alpha, \beta$ be algebraic element over $F$, then

$$
\alpha \pm \beta, \alpha/\beta, \alpha\beta
$$

are all algebraic over $F$.

:::

### Corollary 17

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Let $L/F$ be an arbtrary extension. Then the collection of elements of $L$ that are algebraic over $F$ form a subfield of $L$

:::

## Theorem 18

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Let

$$
L \supseteq K \supseteq F
$$

be fields. Suppose that $L/K$ and $K/F$ are algebraic, then $L/F$ is algebraic

:::

> 沒有說是不是 *finite extension*, 所以不能用 degree 相乘直接做
>
> $$
> p(x) = x^2 + x + 1
> $$
>
> $\alpha$ be a root of $p(x)$
>
> $$
> \Bbb Q (\alpha) \simeq \Bbb Q(1, \alpha, \alpha^2)
> $$
>
> However, $\alpha$ doesn't for a basis of $\Bbb Q (\alpha) /\Bbb Q$

Suppose that $\alpha \in L$, since $L/K$ is an algebraic extension, then exists

$$
f(x) = \sum_{i = 0}^{n}a_ix^i \in K[x]
$$

such that

$$
f(\alpha) = 0
$$

Let

$$
K' = F(a_0, a_1, \dots a_n)
$$

Since $K/F$ is algebraic, $a_0 \dots a_n \in K$ are algebraic. By theorem 15, $K'$ is a finite extension over $F$. Moreover, since

$$
f(x) \in K'(x)
$$

and

$$
f(\alpha) = 0
$$

thus

$$
[K'(\alpha): K'] \text{ is finite}
$$

so

$$
[K'(\alpha):F] = [K'(\alpha):K'][K':F] < \infty
$$

Thus $\alpha$ is algebraic over $F$

> 關鍵是可以用 *minimal polynomial* 把 *field* 縮小